Viena iš geometrijos aksiomų teigia, kad per bet kuriuos du taškus galima nubrėžti vieną tiesią liniją. Ši aksioma liudija, kad egzistuoja unikali skaitinė išraiška, vienareikšmiškai apibūdinanti nurodytą vienmatį geometrinį objektą. Apsvarstykite straipsnyje pateiktą klausimą, kaip parašyti tiesės, einančios per du taškus, lygtį.
Kas yra taškas ir linija?
Prieš svarstant klausimą, kaip erdvėje ir plokštumoje sukurti lygties tiesę, einančią per skirtingų taškų porą, reikėtų apibrėžti nurodytus geometrinius objektus.
Tašką vienareikšmiškai nustato koordinačių rinkinys tam tikroje koordinačių ašių sistemoje. Be jų, nėra daugiau taško charakteristikų. Ji yra nulinio matmens objektas.
Kalbėdamas apie tiesią liniją, kiekvienas žmogus įsivaizduoja liniją, pavaizduotą ant b alto popieriaus lapo. Tuo pačiu metu galima pateikti tikslų geometrinį apibrėžimąšis objektas. Tiesi linija yra tokia taškų rinkinys, kurį sujungus kiekvieną iš jų su visais kitais, gaunamas lygiagrečių vektorių rinkinys.
Šis apibrėžimas naudojamas nustatant tiesės vektorinę lygtį, kuri bus aptarta toliau.
Kadangi bet kuri linija gali būti pažymėta savavališko ilgio segmentu, ji laikoma vienmačiu geometriniu objektu.
Skaičių vektoriaus funkcija
Lygtį per du einančios tiesės taškus galima parašyti įvairiomis formomis. Trimatėse ir dvimatėse erdvėse pagrindinė ir intuityviai suprantama skaitinė išraiška yra vektorius.
Tarkime, kad yra tam tikras nukreiptas segmentas u¯(a; b; c). 3D erdvėje vektorius u¯ gali prasidėti bet kuriame taške, todėl jo koordinatės apibrėžia begalinį lygiagrečių vektorių rinkinį. Tačiau jei pasirinksime konkretų tašką P(x0; y0; z0) ir įdėsime tai kaip vektoriaus u¯ pradžią, tada, padauginus šį vektorių iš savavališko realaus skaičiaus λ, galima gauti visus vienos tiesės taškus erdvėje. Tai reiškia, kad vektorinė lygtis bus parašyta taip:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Akivaizdu, kad plokštumos atveju skaitinė funkcija yra tokia:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Šio tipo lygčių pranašumas, palyginti su kitomis (segmentais, kanoninėmis,bendroji forma) slypi tame, kad joje yra aiškiai nurodytos krypties vektoriaus koordinatės. Pastarasis dažnai naudojamas norint nustatyti, ar linijos yra lygiagrečios, ar statmenos.
Bendra segmentuose ir kanoninė funkcija tiesei dvimatėje erdvėje
Spręsdami uždavinius, kartais reikia tam tikra, konkrečia forma parašyti tiesės, einančios per du taškus, lygtį. Todėl reikėtų pateikti kitus šio geometrinio objekto apibūdinimo dvimatėje erdvėje būdus (paprastumo dėlei nagrinėjame atvejį plokštumoje).
Pradėkime nuo bendrosios lygties. Jo forma:
Ax + By + C=0
Paprastai plokštumoje tiesės lygtis rašoma tokia forma, tik y yra aiškiai apibrėžtas per x.
Dabar pakeiskite aukščiau pateiktą išraišką taip:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Ši išraiška vadinama lygtimi segmentuose, nes kiekvieno kintamojo vardiklis parodo, kiek ilgio linijos atkarpa nukertama atitinkamoje koordinačių ašyje, palyginti su pradiniu tašku (0; 0).
Belieka pateikti kanoninės lygties pavyzdį. Norėdami tai padaryti, aiškiai įrašome vektorių lygybę:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Iš čia išreikškime parametrą λ ir sulyginkime gautas lygybes:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Paskutinė lygybė vadinama lygtimi kanonine arba simetriška forma.
Kiekvieną iš jų galima konvertuoti į vektorių ir atvirkščiai.
Tiesios linijos, einančios per du taškus, lygtis: kompiliavimo technika
Atgal prie straipsnio klausimo. Tarkime, kad erdvėje yra du taškai:
M(x1; y1; z1) ir N(x 2; y2; z2)
Per juos eina vienintelė tiesi linija, kurios lygtį labai lengva sudaryti vektorine forma. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame nukreiptos atkarpos MN¯ koordinates, turime:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Nesunku atspėti, kad šis vektorius bus tiesės, kurios lygtis turi būti gauta, vadovas. Žinodami, kad jis taip pat eina per M ir N, galite naudoti bet kurio iš jų koordinates vektorinei išraiškai. Tada norima lygtis įgauna tokią formą:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Dvimatėje erdvėje gauname panašią lygybę nedalyvaujant kintamajam z.
Kai tik bus įrašyta eilutės vektorinė lygybė, ji gali būti išversta į bet kurią kitą formą, kurios reikalauja problemos klausimas.
Užduotis:parašykite bendrąją lygtį
Žinoma, kad tiesė eina per taškus, kurių koordinatės (-1; 4) ir (3; 2). Būtina sudaryti per juos einančios tiesės lygtį bendra forma, išreiškiančią y kaip x.
Siekdami išspręsti problemą, pirmiausia parašome lygtį vektorine forma. Vektoriaus (kreipiančiosios) koordinatės yra:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Tada tiesės lygties vektorinė forma yra tokia:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Belieka jį parašyti bendra forma y(x) forma. Šią lygybę aiškiai perrašome, išreiškiame parametrą λ ir neįtraukiame į lygtį:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 – 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Iš gautos kanoninės lygties išreiškiame y ir gauname atsakymą į problemos klausimą:
y=-0,5x + 3,5
Šios lygybės pagrįstumą galima patikrinti pakeitus uždavinio teiginyje nurodytų taškų koordinates.
Problema: tiesi linija, einanti per atkarpos centrą
Dabar išspręskime vieną įdomią problemą. Tarkime, kad pateikti du taškai M(2; 1) ir N(5; 0). Yra žinoma, kad tiesi linija eina per atkarpos, jungiančios taškus, vidurio tašką ir yra jam statmena. Parašykite tiesės, einančios per atkarpos vidurį, lygtį vektorine forma.
Norima skaitinė išraiška gali būti suformuota apskaičiavus šio centro koordinatę ir nustačius krypties vektorių, kurisatkarpa sudaro 90 kampą o.
Atkarpos vidurio taškas yra:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Dabar apskaičiuokime vektoriaus MN¯ koordinates:
MN¯=N - M=(3; -1)
Kadangi norimos tiesės krypties vektorius yra statmenas MN¯, jų skaliarinė sandauga yra lygi nuliui. Tai leidžia apskaičiuoti nežinomas vairavimo vektoriaus koordinates (a; b):
a3 – b=0=>
b=3a
Dabar parašykite vektorinę lygtį:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Štai mes pakeitėme produktą aλ nauju parametru β.
Taigi, mes sukūrėme tiesės, einančios per atkarpos centrą, lygtį.
