Taisyklinga šešiakampė piramidė. Tūrio ir paviršiaus ploto formulės. Geometrinio uždavinio sprendimas

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Stereometrija, kaip geometrijos erdvėje atšaka, tiria prizmių, cilindrų, kūgių, rutuliukų, piramidžių ir kitų trimačių figūrų savybes. Šis straipsnis skirtas išsamiai šešiakampės taisyklingosios piramidės charakteristikų ir savybių apžvalgai.

Kokia piramidė bus tiriama

Taisyklinga šešiakampė piramidė yra figūra erdvėje, kurią riboja vienas lygiakraštis ir lygiakampis šešiakampis bei šeši vienodi lygiašoniai trikampiai. Šie trikampiai tam tikromis sąlygomis taip pat gali būti lygiakraščiai. Ši piramidė parodyta žemiau.

Čia parodyta ta pati figūra, tik vienu atveju ji pasukta šonine puse į skaitytuvą, o kitu - šonine briauna.

Įprasta šešiakampė piramidė turi 7 paviršius, kurie buvo paminėti aukščiau. Jis taip pat turi 7 viršūnes ir 12 briaunų. Skirtingai nuo prizmių, visos piramidės turi vieną specialią viršūnę, kurią sudaro šoninės sankirtostrikampiai. Įprastoje piramidėje ji atlieka svarbų vaidmenį, nes statmenas, nuleistas nuo jos iki figūros pagrindo, yra aukštis. Be to, aukštis bus pažymėtas raide h.

Parodyta piramidė vadinama teisinga dėl dviejų priežasčių:

• jo pagrinde yra šešiakampis su vienodais kraštinių ilgiais a ir vienodais kampais 120o;
• Piramidės aukštis h kerta šešiakampį tiksliai jo centre (susikirtimo taškas yra vienodu atstumu nuo visų šešiakampio kraštų ir visų šešiakampio viršūnių).

Paviršiaus plotas

Taisyklingos šešiakampės piramidės savybės bus vertinamos pagal jos ploto apibrėžimą. Norėdami tai padaryti, pirmiausia naudinga išskleisti figūrą plokštumoje. Scheminis jo vaizdas parodytas žemiau.

Matyti, kad nubraukimo plotas, taigi ir visas nagrinėjamos figūros paviršius, yra lygus šešių vienodų trikampių ir vieno šešiakampio plotų sumai.

Norėdami nustatyti šešiakampio plotą S_{6, naudokite universalią įprasto n-kampio formulę:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

Kur a yra šešiakampio kraštinės ilgis.

Šoninės kraštinės trikampio plotą S₃ galima rasti, jei žinote jo aukščio reikšmę h_b:

S₃=1/2h_ba.

Nes visi šešitrikampiai yra lygūs vienas kitam, tada gauname darbinę išraišką šešiakampės piramidės su teisingu pagrindu plotui nustatyti:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_).

Piramidės tūris

Kaip ir plotas, šešiakampės taisyklingosios piramidės tūris yra svarbi jos savybė. Šis tūris apskaičiuojamas pagal bendrą visų piramidžių ir kūgių formulę. Užsirašykime:

V=1/3S_oh.

Čia simbolis S_o yra šešiakampio pagrindo plotas, t. y. S_o=S _6.

Pakeisdami aukščiau pateiktą S_{6 išraišką V formulėje, gauname galutinę lygybę taisyklingos šešiakampės piramidės tūriui nustatyti:}

V=√3/2a2h.

Geometrinės problemos pavyzdys

Taisyklingos šešiakampės piramidės šoninis kraštas yra du kartus ilgesnis už pagrindo kraštinę. Žinant, kad pastarasis yra 7 cm, reikia apskaičiuoti šios figūros paviršiaus plotą ir tūrį.

Kaip galite spėti, šios problemos sprendimas apima aukščiau gautų posakių naudojimą S ir V. Vis dėlto jų nebus galima panaudoti iš karto, nes nežinome apotemos ir Taisyklingos šešiakampės piramidės aukštis. Apskaičiuokime juos.

Apotemą h_b galima nustatyti atsižvelgiant į statųjį trikampį, pastatytą iš kraštinių b, a/2 ir h_{b. Čia b yra šoninio krašto ilgis. Naudojant problemos sąlygą, gauname:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 cm.}

Piramidės aukštį h galima nustatyti lygiai taip pat, kaip ir apotemą, bet dabar turėtume apsvarstyti trikampį su kraštinėmis h, b ir a, esančiais piramidės viduje. Aukštis bus:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 cm.}

Matyti, kad apskaičiuota aukščio reikšmė yra mažesnė nei apotemos vertė, kuri galioja bet kuriai piramidei.

Dabar galite naudoti apimties ir ploto išraiškas:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96 cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48 cm^3.

Taigi, norėdami nedviprasmiškai nustatyti bet kurią taisyklingos šešiakampės piramidės charakteristiką, turite žinoti bet kuriuos du jos tiesinius parametrus.