Tiesioginė trikampė prizmė. Tūrio ir paviršiaus ploto formulės. Geometrinio uždavinio sprendimas

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Vidurinėje mokykloje, išstudijavę figūrų savybes plokštumoje, jie pereina prie erdvinių geometrinių objektų, tokių kaip prizmės, sferos, piramidės, cilindrai ir kūgiai, svarstymo. Šiame straipsnyje pateiksime išsamiausią tiesios trikampės prizmės aprašymą.

Kas yra trikampė prizmė?

Straipsnį pradėkime nuo figūros apibrėžimo, kuris bus aptariamas toliau. Prizmė geometrijos požiūriu – tai figūra erdvėje, sudaryta iš dviejų identiškų n kampų, išsidėsčiusių lygiagrečiose plokštumose, kurių tuos pačius kampus jungia tiesios atkarpos. Šie segmentai vadinami šoniniais šonkauliais. Kartu su pagrindo kraštais jie sudaro šoninį paviršių, kuris paprastai vaizduojamas lygiagrečiais.

Du n kampučiai yra figūros pagrindas. Jei šoniniai kraštai yra statmeni jiems, tada jie kalba apie tiesią prizmę. Atitinkamai, jei daugiakampio kraštinių skaičius n prie pagrindų yra trys, tada tokia figūra vadinama trikampe prizme.

Trikampė tiesi prizmė parodyta aukščiau esančiame paveikslėlyje. Ši figūra taip pat vadinama reguliaria, nes jos pagrindai yra lygiakraščiai trikampiai. Figūros šoninės briaunos ilgis, paveiksle nurodytas raide h, vadinamas jo aukščiu.

Paveikslėlyje parodyta, kad prizmė su trikampiu pagrindu sudaryta iš penkių paviršių, iš kurių du yra lygiakraščiai trikampiai, o trys yra identiški stačiakampiai. Be paviršių, prizmė turi šešias viršūnes prie pagrindų ir devynis kraštus. Nagrinėjamų elementų skaičiai yra susieti vienas su kitu pagal Eilerio teoremą:

kraštinių skaičius=viršūnių skaičius + kraštinių skaičius - 2.

Stačios trikampės prizmės plotas

Aukščiau sužinojome, kad nagrinėjamą figūrą sudaro penki dviejų tipų veidai (du trikampiai, trys stačiakampiai). Visi šie paviršiai sudaro visą prizmės paviršių. Jų bendras plotas yra figūros plotas. Žemiau yra trikampė prizmė, kurią galima gauti iš pradžių nupjovus du pagrindus nuo figūros, o tada išpjaunant išilgai vieno krašto ir išskleidžiant šoninį paviršių.

Pateikime formules, kaip nustatyti šio šlavimo paviršiaus plotą. Pradėkime nuo stačios trikampės prizmės pagrindų. Kadangi jie žymi trikampius, kiekvieno iš jų plotą S_{3 galima rasti taip:}

S₃=1/2ah_a.

Čia a yra trikampio kraštinė, h_{a yra aukštis, nuleistas nuo trikampio viršūnės į šią pusę.}

Jei trikampis yra lygiakraštis (reguliarus), tada S_{3 formulė priklauso tik nuo vieno parametro a. Atrodo taip:}

S₃=√3/4a^2.

Šią išraišką galima gauti atsižvelgiant į statųjį trikampį, sudarytą iš atkarpų a, a/2, h_a.

Įprastos figūros bazių S_o plotas yra dvigubai didesnis už S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Kalbant apie šoninio paviršiaus plotą S_{b, jį apskaičiuoti nėra sunku. Norėdami tai padaryti, pakanka padauginti iš trijų vieno stačiakampio, sudaryto iš kraštinių a ir h, plotą. Atitinkama formulė yra:}

S_b=3ah.

Taigi, taisyklingos prizmės su trikampiu pagrindu plotas randamas pagal šią formulę:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Jei prizmė yra tiesi, bet netaisyklinga, tada norėdami apskaičiuoti jos plotą, turėtumėte atskirai pridėti stačiakampių, kurie nėra lygūs vienas kitam, plotus.

Figūros tūrio nustatymas

Prizmės tūris suprantamas kaip erdvė, kurią riboja jos šonai (veideliai). Apskaičiuoti stačios trikampės prizmės tūrį yra daug lengviau nei apskaičiuoti jos paviršiaus plotą. Norėdami tai padaryti, pakanka žinoti pagrindo plotą ir figūros aukštį. Kadangi tiesios figūros aukštis h yra jos šoninės briaunos ilgis ir kaip apskaičiuoti pagrindo plotą, mes nurodėme ankstesniame skyriuje.tašką, tada belieka šias dvi reikšmes padauginti viena iš kitos, kad gautumėte norimą tūrį. Formulė tampa tokia:

V=S_3h.

Atkreipkite dėmesį, kad vieno pagrindo ploto ir aukščio sandauga suteiks ne tik tiesios prizmės, bet ir įstrižos figūros bei net cilindro tūrį.

Problemų sprendimas

Stiklinės trikampės prizmės naudojamos optikoje elektromagnetinės spinduliuotės spektrui tirti dėl dispersijos reiškinio. Yra žinoma, kad įprastos stiklinės prizmės pagrindo kraštinės ilgis yra 10 cm, o krašto ilgis - 15 cm. Koks yra jos stiklo paviršių plotas ir koks jos tūris?

Norėdami nustatyti plotą, naudosime straipsnyje parašytą formulę. Turime:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 cm^2.

Norėdami nustatyti garsumą V, taip pat naudojame aukščiau pateiktą formulę:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

Nepaisant to, kad prizmės kraštai yra 10 cm ir 15 cm ilgio, figūros tūris yra tik 0,65 litro (kubo, kurio kraštinė yra 10 cm, tūris yra 1 litras).