Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos mokiniams tradiciškai sukelia sunkumų. Galimybė apskaičiuoti skaičiaus lanko tangentą gali būti reikalinga atliekant planimetrijos ir stereometrijos USE užduotis. Norėdami sėkmingai išspręsti lygtį ir uždavinį su parametru, turite suprasti arkos liestinės funkcijos savybes.
Apibrėžimas
Skaičiaus x lanko liestinė yra skaičius y, kurio liestinė yra x. Tai matematinis apibrėžimas.
Arktangento funkcija parašyta taip y=arctg x.
Bendriau: y=Carctg (kx + a).
Skaičiavimas
Norėdami suprasti, kaip veikia atvirkštinė trigonometrinė arktangento funkcija, pirmiausia turite atsiminti, kaip nustatoma skaičiaus liestinės reikšmė. Pažiūrėkime atidžiau.
X liestinė yra x sinuso ir x kosinuso santykis. Jei žinomas bent vienas iš šių dviejų dydžių, antrojo modulį galima gauti iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės:
sin2 x + cos2 x=1.
Žinoma, norint atrakinti modulį reikės įvertinimo.
Jeižinomas pats skaičius, o ne jo trigonometrinės charakteristikos, tada daugeliu atvejų reikia apytiksliai įvertinti skaičiaus liestinę, remiantis Bradis lentele.
Išimtys yra vadinamosios standartinės reikšmės.
Jie pateikti šioje lentelėje:
Be to, kas išdėstyta pirmiau, bet kokios reikšmės, gautos iš duomenų pridedant ½πк formos skaičių (к - bet koks sveikasis skaičius, π=3, 14), gali būti laikomos standartinėmis.
Lygiai tas pats pasakytina ir apie lanko liestinę: dažniausiai apytikslę reikšmę galima pamatyti iš lentelės, tačiau tiksliai žinomos tik kelios reikšmės:
Praktikoje, sprendžiant mokyklinės matematikos uždavinius, įprasta pateikti atsakymą išraiškos forma, kurioje yra arc liestinė, o ne apytikslis jo įvertinimas. Pavyzdžiui, arctg 6, arctg (-¼).
Grafiko sudarymas
Kadangi liestinė gali turėti bet kokią reikšmę, arktangento funkcijos sritis yra visa skaičių eilutė. Paaiškinkime išsamiau.
Tą pačią liestinę atitinka begalinis argumentų skaičius. Pavyzdžiui, ne tik nulio liestinė yra lygi nuliui, bet ir bet kurio π k formos skaičiaus liestinė, kur k yra sveikas skaičius. Todėl matematikai sutiko pasirinkti lanko liestinės reikšmes iš intervalo nuo -½ π iki ½ π. Tai turi būti suprantama taip. Arktangentinės funkcijos diapazonas yra intervalas (-½ π; ½ π). Tarpo galai neįtraukti, nes liestinės -½p ir ½p neegzistuoja.
Nurodytu intervalu liestinė yra nuolatinėdideja. Tai reiškia, kad atvirkštinė lanko liestinės funkcija taip pat nuolat didėja visoje skaičių tiesėje, bet ribojama iš viršaus ir apačios. Dėl to jis turi dvi horizontalias asimptotes: y=-½ π ir y=½ π.
Šiuo atveju tg 0=0, kiti susikirtimo taškai su abscisių ašimi, išskyrus (0;0), grafikas negali turėti dėl padidėjimo.
Kaip matyti iš liestinės funkcijos pariteto, arktangentas turi panašią savybę.
Norėdami sudaryti grafiką, paimkite kelis taškus iš standartinių reikšmių:
Funkcijos y=arctg x išvestinė bet kuriame taške apskaičiuojama pagal formulę:
Atkreipkite dėmesį, kad jo išvestinė vertė visur yra teigiama. Tai atitinka anksčiau padarytą išvadą apie nuolatinį funkcijos didinimą.
Antra arctangento išvestinė išnyksta taške 0, yra neigiama teigiamoms argumento reikšmėms ir atvirkščiai.
Tai reiškia, kad arkinės liestinės funkcijos grafikas turi vingio tašką ties nuliu ir yra išgaubtas žemyn intervale (-∞; 0] ir aukštyn išgaubtas intervale [0; +∞).
