Sekundės, liestinės – visa tai geometrijos pamokose buvo galima išgirsti šimtus kartų. Tačiau mokyklos baigimas baigėsi, metai bėga, o visos šios žinios pasimiršta. Ką reikėtų atsiminti?
Essence
Sąvoka „apskritimo liestinė“tikriausiai žinoma visiems. Tačiau vargu ar kiekvienas sugebės greitai suformuluoti jo apibrėžimą. Tuo tarpu liestinė yra tokia tiesi linija, esanti toje pačioje plokštumoje su apskritimu, kuris ją kerta tik viename taške. Jų gali būti labai daug, tačiau jie visi turi tas pačias savybes, kurios bus aptartos toliau. Kaip galite atspėti, sąlyčio taškas yra ta vieta, kur susikerta apskritimas ir linija. Kiekvienu atveju jis yra vienas, bet jei yra daugiau, tai bus sekantas.
Atradimų ir studijų istorija
Tangento sąvoka atsirado senovėje. Šių tiesių, pirmiausia į apskritimą, o paskui į elipses, paraboles ir hiperboles, konstravimas liniuote ir kompasu buvo atliktas net pradinėse geometrijos raidos stadijose. Žinoma, istorija neišsaugojo atradėjo vardo, betakivaizdu, kad ir tuo metu žmonės puikiai žinojo apskritimo liestinės savybes.
Šiais laikais susidomėjimas šiuo reiškiniu vėl įsiplieskė – prasidėjo naujas šios sąvokos tyrinėjimo etapas kartu su naujų kreivių atradimu. Taigi, „Galileo“pristatė cikloido koncepciją, o Fermatas ir Dekartas sukūrė jos liestinę. Kalbant apie būrelius, panašu, kad šioje vietovėje senovei nepalikta jokių paslapčių.
Ypatybės
Spindulys, nubrėžtas iki susikirtimo taško, bus statmenas linijai. Tai
pagrindinė, bet ne vienintelė savybė, kurią turi apskritimo liestinė. Kitas svarbus bruožas apima jau dvi tiesias linijas. Taigi per vieną tašką, esantį už apskritimo, galima nubrėžti dvi liestinės, o jų atkarpos bus lygios. Šia tema yra dar viena teorema, tačiau ji retai nagrinėjama standartinio mokyklos kurso rėmuose, nors ji yra labai patogi kai kurioms problemoms spręsti. Tai skamba taip. Iš vieno taško, esančio už apskritimo, į jį nubrėžiama liestinė ir sekantas. Sudaromi segmentai AB, AC ir AD. A yra tiesių sankirta, B yra sąlyčio taškas, C ir D yra sankirtos. Šiuo atveju galios tokia lygybė: apskritimo liestinės ilgis kvadratu bus lygus atkarpų AC ir AD sandaugai.
Iš to, kas pasakyta, yra svarbi pasekmė. Kiekvienam apskritimo taškui galite sukurti liestinę, bet tik vieną. To įrodymas yra gana paprastas: teoriškai numetę į jį statmeną iš spindulio, sužinome, kadtrikampis negali egzistuoti. Ir tai reiškia, kad liestinė yra vienintelė.
Pastatas
Be kitų geometrijos problemų, paprastai yra speciali kategorija, o ne
mėgsta mokinių ir studentų. Norėdami išspręsti šios kategorijos užduotis, jums reikia tik kompaso ir liniuotės. Tai yra statybos užduotys. Taip pat yra liestinės sudarymo būdų.
Taigi, atsižvelgiant į apskritimą ir tašką, esantį už jo ribų. Ir per juos būtina nubrėžti liestinę. Kaip tai padaryti? Visų pirma, reikia nubrėžti atkarpą tarp apskritimo centro O ir nurodyto taško. Tada, naudodami kompasą, padalinkite jį per pusę. Norėdami tai padaryti, turite nustatyti spindulį - šiek tiek daugiau nei pusę atstumo tarp pradinio apskritimo centro ir nurodyto taško. Po to reikia pastatyti du susikertančius lankus. Be to, kompaso spindulio keisti nereikia, o kiekvienos apskritimo dalies centras bus atitinkamai pradinis taškas ir O. Lankų sankirtos turi būti sujungtos, o tai padalins segmentą per pusę. Nustatykite kompaso spindulį, lygų šiam atstumui. Tada, kai centras yra susikirtimo taške, nubrėžkite kitą apskritimą. Ant jo bus ir pradinis taškas, ir O. Tokiu atveju bus dar dvi sankirtos su užduotyje pateiktu apskritimu. Jie bus iš pradžių nurodyto taško kontaktiniai taškai.
Įdomu
Tai buvo apskritimo liestinių konstravimas, dėl kurio gimė
diferencialinis skaičiavimas. Pirmasis darbas šia tema buvoišleido žymus vokiečių matematikas Leibnicas. Jis numatė galimybę rasti maksimumus, minimumus ir tangentus, neatsižvelgiant į trupmenines ir iracionaliąsias vertes. Na, dabar jis naudojamas ir daugeliui kitų skaičiavimų.
Be to, apskritimo liestinė yra susijusi su geometrine liestinės reikšme. Iš čia ir kilęs jos pavadinimas. Išvertus iš lotynų kalbos, tangens reiškia „liestinė“. Taigi ši sąvoka yra susijusi ne tik su geometrija ir diferencialiniu skaičiavimu, bet ir su trigonometrija.
Du apskritimai
Ne visada liestinė veikia tik vieną formą. Jei į vieną apskritimą galima nubrėžti daugybę tiesių linijų, kodėl gi ne atvirkščiai? Gali. Tačiau užduotis šiuo atveju yra labai sudėtinga, nes dviejų apskritimų liestinė gali neperžengti jokių taškų, o visų šių figūrų santykinė padėtis gali būti labai
skirtinga.
Tipos ir veislės
Kalbant apie du apskritimus ir vieną ar daugiau eilučių, net jei žinoma, kad tai liestinės, ne iš karto tampa aišku, kaip visos šios figūros yra viena kitos atžvilgiu. Remiantis tuo, yra keletas veislių. Taigi, apskritimai gali turėti vieną ar du bendrus taškus arba jų visai neturėti. Pirmuoju atveju jie susikirs, o antruoju – susilies. Ir čia yra dvi veislės. Jei vienas apskritimas yra tarsi įterptas į antrąjį, tada prisilietimas vadinamas vidiniu, jei ne, tada išoriniu. suprasti abipusįfigūrų vieta galima ne tik pagal brėžinį, bet ir turint informaciją apie jų spindulių sumą bei atstumą tarp jų centrų. Jei šie du dydžiai yra lygūs, apskritimai liečiasi. Jei pirmasis didesnis, jie susikerta, o jei mažesnis, tada jie neturi bendrų taškų.
Tas pats su tiesiomis linijomis. Bet kokiems dviem apskritimams, kurie neturi bendrų taškų, galite
sukonstruokite keturias liestines. Du iš jų susikirs tarp figūrų, jie vadinami vidiniais. Keletas kitų yra išoriniai.
Jei mes kalbame apie apskritimus, kurie turi vieną bendrą tašką, tada užduotis labai supaprastinta. Faktas yra tas, kad bet kokiam tarpusavio susitarimui šiuo atveju jie turės tik vieną liestinę. Ir jis praeis per jų susikirtimo tašką. Taigi sunkumų konstrukcija nesukels.
Jei figūros turi du susikirtimo taškus, tai joms galima nubrėžti tiesę, liečiančią apskritimą, ir vieną, ir antrą, bet tik išorinę. Šios problemos sprendimas panašus į tai, kas bus aptarta toliau.
Problemos sprendimas
Dviejų apskritimų vidines ir išorines liestinės nėra taip paprasta sukonstruoti, nors šią problemą galima išspręsti. Faktas yra tas, kad tam naudojama pagalbinė figūra, todėl pagalvokite apie šį metodą patys
gana problematiška. Taigi, du apskritimai su skirtingais spinduliais ir centrais O1 ir O2. Jiems reikia sudaryti dvi liestinių poras.
Visų pirma, netoli didesnio centroapskritimus reikia statyti pagalbinius. Šiuo atveju ant kompaso turi būti nustatytas skirtumas tarp dviejų pradinių skaičių spindulių. Pagalbinio apskritimo liestinės statomos iš mažesnio apskritimo centro. Po to iš O1 ir O2 į šias linijas brėžiami statmenys, kol jie susikerta su pradinėmis figūromis. Kaip matyti iš pagrindinės liestinės savybės, randami norimi taškai abiejuose apskritimuose. Problema išspręsta, bent jau pirmoji jos dalis.
Norėdami sukurti vidines liestines, turėsite išspręsti praktiškai
panaši užduotis. Vėlgi reikia pagalbinės figūros, tačiau šį kartą jos spindulys bus lygus pradinių sumai. Iš vieno iš pateiktų apskritimų centro jam sudaromos liestinės. Tolesnę sprendimo eigą galima suprasti iš ankstesnio pavyzdžio.
Apskritimo ar net dviejų ar daugiau liestinė nėra tokia sudėtinga užduotis. Žinoma, matematikai jau seniai nebesprendžia tokių problemų rankiniu būdu ir patiki skaičiavimus specialioms programoms. Tačiau nemanykite, kad dabar nebūtina to daryti pačiam, nes norint teisingai suformuluoti užduotį kompiuteriui, reikia daug ką padaryti ir suprasti. Deja, baiminamasi, kad galutinai perėjus prie žinių kontrolės testinės formos, konstravimo užduotys mokiniams sukels vis daugiau sunkumų.
Kalbant apie bendrų liestinių radimą daugiau apskritimų, tai ne visada įmanoma, net jei jie yra toje pačioje plokštumoje. Tačiau kai kuriais atvejais galite rasti tokią tiesią liniją.
Gyvenimo pavyzdžiai
Praktikoje dažnai sutinkama bendra dviejų apskritimų liestinė, nors ji ne visada pastebima. Konvejeriai, blokų sistemos, skriemulių transmisijos diržai, siūlų įtempimas siuvimo mašinoje ir net tik dviračio grandinė – visa tai pavyzdžiai iš gyvenimo. Taigi nemanykite, kad geometrinės problemos lieka tik teoriškai: inžinerijoje, fizikoje, statybose ir daugelyje kitų sričių jos randa praktinio pritaikymo.
