Idealiųjų dujų molekulių vidutinio kvadratinio greičio formulė. Užduoties pavyzdys

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 05:34

Molekulinė-kinetinė teorija leidžia, analizuojant sistemos mikroskopinį elgesį ir naudojant statistinės mechanikos metodus, gauti svarbias termodinaminės sistemos makroskopines charakteristikas. Viena iš mikroskopinių charakteristikų, susijusių su sistemos temperatūra, yra vidutinis kvadratinis dujų molekulių greitis. Pateikiame formulę ir apsvarstysime ją straipsnyje.

Idealios dujos

Iš karto pažymime, kad dujų molekulių kvadratinio vidutinio greičio formulė bus pateikta specialiai idealioms dujoms. Pagal ją fizikoje laikoma tokia daugelio dalelių sistema, kurioje dalelės (atomai, molekulės) nesąveikauja viena su kita (jų kinetinė energija keliais dydžiais viršija potencialią sąveikos energiją) ir neturi matmenų, tai yra, jie yra baigtinės masės taškai (atstumas tarp dalelių keliomis eilėmis didesnis už jų dydį.linijinis).

Bet kokios dujos, sudarytos iš chemiškai neutralių molekulių arba atomų ir kurios yra žemo slėgio ir aukštos temperatūros, gali būti laikomos idealiomis. Pavyzdžiui, oras yra idealios dujos, bet vandens garai nebėra tokie (tarp vandens molekulių veikia stiprūs vandenilio ryšiai).

Molekulinė kinetinė teorija (MKT)

Studijuodami idealias dujas pagal MKT, turėtumėte atkreipti dėmesį į du svarbius procesus:

1. Dujos sukuria slėgį, perkeldamos į indo, kuriame yra jos, sieneles impulsą, kai su jomis susiduria molekulės ir atomai. Tokie susidūrimai yra visiškai elastingi.
2. Dujų molekulės ir atomai atsitiktinai juda visomis kryptimis skirtingais greičiais, kurių pasiskirstymas paklūsta Maxwell-Boltzmann statistikai. Dalelių susidūrimo tikimybė yra labai maža dėl nereikšmingo jų dydžio ir didelių atstumų tarp jų.

Nepaisant to, kad atskiri dujų dalelių greičiai labai skiriasi vienas nuo kito, vidutinė šios vertės vertė laikui bėgant išlieka pastovi, jei sistemai nėra išorinio poveikio. Dujų molekulių vidutinio kvadratinio greičio formulę galima gauti įvertinus ryšį tarp kinetinės energijos ir temperatūros. Šią problemą nagrinėsime kitoje straipsnio pastraipoje.

Idealiųjų dujų molekulių kvadratinio vidutinio greičio formulės išvedimas

Kiekvienas studentas iš bendro fizikos kurso žino, kad kūno, kurio masė m, slenkamojo judėjimo kinetinė energija apskaičiuojama taip:

E_k=mv²/2

Kur v yra tiesinis greitis. Kita vertus, dalelės kinetinė energija taip pat gali būti nustatoma pagal absoliučią temperatūrą T, naudojant konversijos koeficientą k_B (Boltzmanno konstanta). Kadangi mūsų erdvė yra trimatė, E_k apskaičiuojama taip:

E_k=3/2k_BT.

Akvivalentus abiem lygybėms ir iš jų išreiškus v, gauname kvadratinių idealiųjų dujų vidutinio greičio formulę:

mv²/2=3/2k_BT=>

v=√(3k_BT/m).

Šioje formulėje m yra dujų dalelės masė. Jo vertę nepatogu naudoti atliekant praktinius skaičiavimus, nes ji yra maža (≈ 10^-27kg). Kad išvengtume šio nepatogumo, prisiminkime universaliąją dujų konstantą R ir molinę masę M. Konstanta R su k_B yra susijusi lygybe:

k_B=R/N_A.

M reikšmė apibrėžiama taip:

M=mN_A.

Atsižvelgdami į abi lygybes, gauname tokią molekulių vidutinio kvadratinio greičio išraišką:

v=√(3RT/M).

Taigi, vidutinis kvadratinis dujų dalelių greitis yra tiesiogiai proporcingas absoliučios temperatūros kvadratinei šaknei ir atvirkščiai proporcingas molinės masės kvadratinei šaknims.

Problemos sprendimo pavyzdys

Visi žino, kad oras, kuriuo kvėpuojame, yra 99 % azoto ir deguonies. Būtina nustatyti molekulių N₂ ir O₂ vidutinių greičių skirtumus 15 ^{o temperatūroje} C.

Ši problema bus išspręsta nuosekliai. Pirmiausia temperatūrą paverčiame absoliučiais vienetais, turime:

T=273, 15 + 15=288, 15 K.

Dabar užrašykite kiekvienos svarstomos molekulės molines mases:

M_N2=0,028 kg/mol;

M_O2=0,032 kg/mol.

Kadangi molinių masių reikšmės šiek tiek skiriasi, jų vidutiniai greičiai esant tokiai pačiai temperatūrai taip pat turėtų būti artimi. Naudodami v formulę, gauname tokias azoto ir deguonies molekulių reikšmes:

v (N₂)=√ (38, 314288, 15/0, 028)=506,6 m/s;

v (O₂)=√ (38, 314288, 15/0, 032)=473,9 m/s.

Kadangi azoto molekulės yra šiek tiek lengvesnės už deguonies molekules, jos juda greičiau. Vidutinis greičio skirtumas yra:

v (N₂) – v (O₂)=506,6–473,9=32,7 m/s.

Gauto vertė yra tik 6,5 % vidutinio azoto molekulių greičio. Atkreipiame dėmesį į didelius molekulių greičius dujose, net esant žemai temperatūrai.