Tema "aritmetinė progresija" nagrinėjama bendrame algebros kurse mokyklose 9 klasėje. Ši tema yra svarbi tolesniam nuodugniam skaičių eilučių matematikos tyrimui. Šiame straipsnyje susipažinsime su aritmetine progresija, jos skirtumu, taip pat su tipinėmis užduotimis, su kuriomis gali susidurti moksleiviai.
Algebrinės progresijos samprata
Skaičių progresija yra skaičių seka, kurios kiekvienas paskesnis elementas gali būti gaunamas iš ankstesnio, jei taikomas koks nors matematinis dėsnis. Yra du paprasti progresijos tipai: geometrinė ir aritmetinė, kuri dar vadinama algebrine. Pakalbėkime apie tai išsamiau.
Įsivaizduokime kokį nors racionalųjį skaičių, pažymėkite jį simboliu a1, kur indeksas nurodo jo eilės numerį nagrinėjamoje serijoje. Prie a1 pridėkime kitą skaičių, pažymėkime jį d. Tada antrasisserijos elementas gali būti atspindėtas taip: a2=a1+d. Dabar vėl pridėkite d, gausime: a3=a2+d. Tęsdami šį matematinį veiksmą, galite gauti visą skaičių eilę, kuri bus vadinama aritmetine progresija.
Kaip galima suprasti iš aukščiau, norėdami rasti n-ąjį šios sekos elementą, turite naudoti formulę: a =a1+ (n -1)d. Iš tiesų, išraiškoje pakeitę n=1, gauname a1=a1, jei n=2, tada formulė reiškia: a2=a1 + 1d ir taip toliau.
Pavyzdžiui, jei aritmetinės progresijos skirtumas yra 5, o a1=1, tai reiškia, kad nagrinėjamo tipo skaičių serija atrodo taip: 1, 6, 11, 16, 21, … Kaip matote, kiekvienas jo narys yra didesnis nei ankstesnis 5.
Aritmetinės progresijos skirtumo formulės
Iš aukščiau pateikto nagrinėjamos skaičių serijos apibrėžimo matyti, kad norint ją nustatyti, reikia žinoti du skaičius: a1 ir d. Pastarasis vadinamas šios progresijos skirtumu. Tai vienareikšmiškai lemia visos serijos elgesį. Iš tiesų, jei d yra teigiamas, tada skaičių eilutė nuolat didės, priešingai, neigiamo d atveju skaičiai eilutėje didės tik modulio, o jų absoliuti reikšmė mažės didėjant skaičiui n.
Kuo skiriasi aritmetinė progresija? Apsvarstykite dvi pagrindines formules, kurios naudojamos šiai vertei apskaičiuoti:
- d=an+1-a , ši formulė tiesiogiai išplaukia iš nagrinėjamos skaičių serijos apibrėžimo.
- d=(-a1+a)/(n-1), ši išraiška gaunama išreiškiant d pagal pateiktą formulę ankstesnėje straipsnio pastraipoje. Atkreipkite dėmesį, kad ši išraiška tampa neapibrėžta (0/0), jei n=1. Taip yra dėl to, kad norint nustatyti jos skirtumą, būtina žinoti bent 2 serijos elementus.
Šios dvi pagrindinės formulės naudojamos bet kuriai progresijos skirtumo nustatymo problemai išspręsti. Tačiau yra ir kita formulė, apie kurią taip pat turite žinoti.
Pirmųjų elementų suma
Formulę, kuria remiantis istoriniais įrodymais galima nustatyti bet kokio algebrinės progresijos narių skaičių, pirmą kartą gavo XVIII amžiaus matematikos „princas“Carlas Gaussas. Vokiečių mokslininkas, dar mokydamasis kaimo mokyklos pradinėse klasėse, pastebėjo, kad norint sudėti natūraliuosius skaičius eilutėje nuo 1 iki 100, pirmiausia reikia susumuoti pirmąjį ir paskutinį elementą (gautoji reikšmė bus lygi iki priešpaskutinio ir antrojo, priešpaskutinio ir trečiojo elementų sumos ir pan.), tada šis skaičius turi būti padaugintas iš šių sumų skaičiaus, ty iš 50.
Formulė, kuri atspindi nurodytą rezultatą konkrečiame pavyzdyje, gali būti apibendrinta iki savavališko atvejo. Tai atrodys taip: S =n/2(a +a1). Atkreipkite dėmesį, kad norint rasti nurodytą reikšmę, nereikia žinoti skirtumo d,jei žinomi du progresijos terminai (a ir a1).
1 pavyzdys. Nustatykite skirtumą, žinodami du a1 ir an
serijų terminus
Parodykime, kaip taikyti aukščiau straipsnyje minėtas formules. Pateiksime paprastą pavyzdį: aritmetinės progresijos skirtumas nežinomas, reikia nustatyti, kam jis bus lygus, jei a13=-5, 6 ir a1 =-12, 1.
Kadangi žinome dviejų skaitinės sekos elementų reikšmes ir vienas iš jų yra pirmasis skaičius, skirtumui d nustatyti galime naudoti formulę Nr. Turime: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Išraiškoje naudojome reikšmę n=13, nes narys su šiuo eilės numeriu yra žinoma.
Gautas skirtumas rodo, kad progresija didėja, nepaisant to, kad problemos sąlygoje pateikti elementai turi neigiamą reikšmę. Matyti, kad a13>a1, nors |a13|<|a 1 |.
2 pavyzdys. Teigiami progreso nariai pavyzdyje 1
Panaudokime ankstesniame pavyzdyje gautą rezultatą, kad išspręstume naują problemą. Jis formuluojamas taip: nuo kokio eilės numerio 1 pavyzdžio progresijos elementai pradeda įgauti teigiamas reikšmes?
Kaip parodyta, progresija, kurioje a1=-12, 1 ir d=0. 54167 didėja, todėl nuo tam tikro skaičiaus skaičiai ims įgauti tik teigiamus vertybes. Norint nustatyti šį skaičių n, reikia išspręsti paprastą nelygybę, kuri yramatematiškai parašyta taip: a >0 arba, naudodami atitinkamą formulę, perrašome nelygybę: a1 + (n-1)d>0. Reikia rasti nežinomą n, išreikškime jį: n>-1a1/d + 1. Dabar belieka pakeisti žinomas skirtumo reikšmes ir pirmąjį narį iš sekos. Gauname: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 arba n>23, 338. Kadangi n gali turėti tik sveikąsias reikšmes, iš gautos nelygybės išplaukia, kad bet kurie serijos nariai, kurie bus jei skaičius didesnis nei 23, bus teigiamas.
Patikrinkite savo atsakymą naudodami aukščiau pateiktą formulę, kad apskaičiuotumėte 23 ir 24 šios aritmetinės progresijos elementus. Turime: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (neigiamas skaičius); a24=-12, 1 + 230. 54167=0, 3584 (teigiama reikšmė). Taigi gautas rezultatas teisingas: pradedant nuo n=24, visi skaičių eilutės nariai bus didesni už nulį.
3 pavyzdys. Kiek rąstų tilps?
Duokime vieną kuriozišką problemą: kirtimo metu buvo nuspręsta pjautus rąstus sukrauti vieną ant kito, kaip parodyta paveikslėlyje žemiau. Kiek rąstų galima sukrauti tokiu būdu, žinant, kad iš viso tilps 10 eilučių?
Tokiu būdu sukraunant rąstus galima pastebėti vieną įdomų dalyką: kiekvienoje paskesnėje eilutėje bus vienu rąstu mažiau nei ankstesnėje, tai yra, yra algebrinė progresija, kurios skirtumas yra d=1. Darant prielaidą, kad rąstų skaičius kiekvienoje eilutėje yra šios progresijos narys,ir taip pat atsižvelgiant į tai, kad a1=1 (tik vienas rąstas tilps pačiame viršuje), randame skaičių a10. Turime: a10=1 + 1(10-1)=10. Tai yra, 10-oje eilėje, kuri guli ant žemės, bus 10 rąstų.
Visą šios „piramidinės“konstrukcijos kiekį galima gauti naudojant Gauso formulę. Gauname: S10=10/2(10+1)=55 žurnalai.
