Tiesioginis krypties vektorius: apibrėžimas ir pavyzdžiai

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Svarbus geometrinis objektas, tiriamas plokščioje erdvėje, yra tiesi linija. Trimatėje erdvėje, be tiesės, yra ir plokštuma. Abu objektai yra patogiai apibrėžti naudojant krypties vektorius. Kas tai yra, kaip šie vektoriai naudojami tiesės ir plokštumos lygtims nustatyti? Šie ir kiti klausimai aptariami straipsnyje.

Tiesioginė linija ir kaip ją apibrėžti

Kiekvienas mokinys puikiai supranta, apie kokį geometrinį objektą kalba. Matematikos požiūriu tiesė yra taškų rinkinys, kuris, esant savavališkam poriniam ryšiui, veda į lygiagrečių vektorių rinkinį. Šis linijos apibrėžimas naudojamas rašant dviejų ir trijų dimensijų lygtį.

Aptariamam vienmačiui objektui apibūdinti naudojamos skirtingų tipų lygtys, kurios išvardytos žemiau esančiame sąraše:

bendras vaizdas;
parametrinis;
vektorius;
kanoninis arba simetriškas;
segmentais.

Kiekviena iš šių rūšių turi tam tikrų pranašumų prieš kitas. Pavyzdžiui, lygtį atkarpose patogu naudoti tiriant tiesės elgseną koordinačių ašių atžvilgiu, bendroji lygtis patogi ieškant krypties, statmenos duotai tiesei, taip pat apskaičiuojant jos kampą. sankirta su x ašimi (plokščiam atvejui).

Kadangi šio straipsnio tema yra susijusi su tiesės nukreipimo vektoriumi, toliau nagrinėsime tik lygtį, kurioje šis vektorius yra pagrindinis ir yra aiškiai įtrauktas, tai yra, vektorinė išraiška.

Tiesios linijos nurodymas per vektorių

Tarkime, kad turime vektorių v¯ su žinomomis koordinatėmis (a; b; c). Kadangi yra trys koordinatės, vektorius pateikiamas erdvėje. Kaip jį pavaizduoti stačiakampėje koordinačių sistemoje? Tai daroma labai paprastai: ant kiekvienos iš trijų ašių nubrėžiama atkarpa, kurios ilgis lygus atitinkamai vektoriaus koordinatei. Trijų statmenų, atkurtų xy, yz ir xz plokštumose, susikirtimo taškas bus vektoriaus pabaiga. Jo pradžia yra taškas (0; 0; 0).

Nepaisant to, nurodyta vektoriaus padėtis nėra vienintelė. Panašiai galima nubrėžti v¯ nustatant jo pradžią savavališkame erdvės taške. Šie argumentai sako, kad neįmanoma nustatyti konkrečios linijos naudojant vektorių. Ji apibrėžia begalinio skaičiaus lygiagrečių linijų šeimą.

Dabarpataisykite tam tikrą tarpo tašką P(x₀; y₀; z_{0). Ir mes nustatome sąlygą: tiesė turi eiti per P. Šiuo atveju vektorius v¯ taip pat turi turėti šį tašką. Paskutinis faktas reiškia, kad vieną eilutę galima apibrėžti naudojant P ir v¯. Jis bus parašytas kaip tokia lygtis:}

Q=P + λ × v¯

Čia Q yra bet kuris taškas, priklausantis linijai. Šį tašką galima gauti pasirinkus atitinkamą parametrą λ. Užrašyta lygtis vadinama vektorine lygtimi, o v¯ vadinama tiesės krypties vektoriumi. Išdėstydami jį taip, kad jis eitų per P ir pakeitus jo ilgį parametru λ, kiekvieną Q tašką gauname kaip tiesę.

Koordinačių pavidalu lygtis bus parašyta taip:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ × (a; b; c)}

Ir aiškia (parametrine) forma galite parašyti:

x=x_{0+ λ × a;}

y=y_{0+ λ × b;}

z=z_{0+ λ × c}

Jei iš aukščiau pateiktų išraiškų neįtrauksime trečiosios koordinatės, gausime plokštumos tiesės vektorines lygtis.

Kokioms užduotims atlikti naudinga žinoti krypties vektorių?

Paprastai tai yra užduotys, skirtos tiesių lygiagretumui ir statmenumui nustatyti. Be to, tiesioginis vektorius, nustatantis kryptį, naudojamas apskaičiuojant atstumą tarp tiesių ir taško bei tiesės, kad apibūdintų tiesės elgesį plokštumos atžvilgiu.

Dutiesės bus lygiagrečios, jei jų krypties vektoriai yra. Atitinkamai, tiesių statmenumas įrodomas naudojant jų vektorių statmenumą. Tokio tipo uždaviniuose pakanka apskaičiuoti nagrinėjamų vektorių skaliarinę sandaugą, kad gautumėte atsakymą.

Atliekant užduotis, skirtas atstumams tarp tiesių ir taškų apskaičiuoti, krypties vektorius yra aiškiai įtrauktas į atitinkamą formulę. Užsirašykime:

d=|[P₁P_{2¯ × v¯] | / |v¯|}

Čia P₁P₂¯ – pagrįsta taškais P₁ ir P ₂ nukreiptas segmentas. Taškas P₂ yra savavališkas, esantis tiesėje su vektoriumi v¯, o taškas P_{1 yra tas, iki kurio turėtų būti atstumas. Būk atkaklus. Jis gali būti nepriklausomas arba priklausyti kitai linijai ar plokštumai.}

Atkreipkite dėmesį, kad prasminga skaičiuoti atstumą tarp linijų tik tada, kai jos lygiagrečios arba susikerta. Jei jie susikerta, tada d yra nulis.

Aukščiau pateikta d formulė galioja ir skaičiuojant atstumą tarp plokštumos ir jai lygiagrečios tiesės, tik šiuo atveju P_{1turėtų priklausyti plokštumai.}

Išspręskime keletą problemų, kad geriau parodytume, kaip naudoti svarstomą vektorių.

Vektorinės lygties problema

Žinoma, kad tiesė apibūdinama tokia lygtimi:

y=3 × x - 4

Turėtumėte įrašyti atitinkamą išraiškąvektorinė forma.

Tai tipinė tiesės lygtis, kurią žino kiekvienas moksleivis, parašyta bendra forma. Parodykime, kaip jį perrašyti vektorine forma.

Išraiška gali būti pateikiama kaip:

(x; y)=(x; 3 × x - 4)

Matyti, kad atidarę jį gausite pirminę lygybę. Dabar mes padalijame jo dešinę pusę į du vektorius, kad tik viename iš jų būtų x, turime:

(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)

Belieka išimti x iš skliaustų, pažymėti jį graikišku simboliu ir sukeisti dešinės pusės vektorius:

(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)

Gavome pradinės išraiškos vektorinę formą. Tiesės krypties vektoriaus koordinatės yra (1; 3).

Užduotis nustatyti santykinę linijų padėtį

Tarpoje nurodytos dvi eilutės:

(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);

(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

Ar jie lygiagrečiai, kertasi ar susikerta?

Nuliniai vektoriai (-1; 3; 1) ir (1; 2; 0) bus šių eilučių orientyrai. Išreikškime šias lygtis parametrine forma ir pirmosios koordinates pakeiskime antrąja. Gauname:

x=1 – λ;

y=3 × λ;

z=-2 + λ;

x=3 + γ=1 – λ=>γ=-2 – λ;

y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ - 1;

z=2=-2 + λ=> λ=4

Pakeiskite rastą parametrą λ į dvi aukščiau pateiktas lygtis, gausime:

γ=-2 - λ=-6;

γ=3/2 × λ-1=5

Parametras γ vienu metu negali turėti dviejų skirtingų reikšmių. Tai reiškia, kad linijos neturi vieno bendro taško, tai yra, jos susikerta. Jie nėra lygiagretūs, nes nuliniai vektoriai nėra lygiagretūs vienas kitam (jų lygiagretumui turi būti skaičius, kurį padauginus iš vieno vektoriaus būtų gaunamos antrojo koordinatės).

Matematinis plokštumos aprašymas

Norėdami nustatyti plokštumą erdvėje, pateikiame bendrąją lygtį:

A × x + B × y + C × z + D=0

Čia lotyniškos didžiosios raidės žymi konkrečius skaičius. Pirmieji trys iš jų apibrėžia plokštumos normaliojo vektoriaus koordinates. Jei jis žymimas n¯, tada:

n¯=(A; B; C)

Šis vektorius yra statmenas plokštumai, todėl jis vadinamas kreiptuvu. Jo žinios, taip pat žinomos bet kurio plokštumai priklausančio taško koordinatės vienareikšmiškai lemia pastarąjį.

Jei taškas P(x₁; y₁; z_{1) priklauso plokštuma, tada kirtis D apskaičiuojama taip:}

D=-1 × (A × x₁+ B × y₁ + C × z₁₎

Išspręskime keletą uždavinių naudodami bendrąją plokštumos lygtį.

Užduotisrasti normalųjį plokštumos vektorių

Lėktuvas apibrėžiamas taip:

(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1

Kaip rasti jos krypties vektorių?

Iš aukščiau pateiktos teorijos išplaukia, kad normaliojo vektoriaus n¯ koordinatės yra koeficientai prieš kintamuosius. Šiuo atžvilgiu, norint rasti n¯, lygtis turėtų būti parašyta bendra forma. Turime:

1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0

Tada normalus plokštumos vektorius yra:

n¯=(1/3; 1/2; -1/4)

Plokštumos lygties sudarymo problema

Duotos trijų taškų koordinatės:

M_{1(1; 0; 0);}

M_{2(2; -1; 5);}

M_{3(0; -2; -2)}

Kaip atrodys plokštumos, kurioje yra visi šie taškai, lygtis.

Per tris taškus, kurie nepriklauso tai pačiai tiesei, galima nubrėžti tik vieną plokštumą. Norėdami rasti jos lygtį, pirmiausia apskaičiuojame plokštumos n¯ krypties vektorių. Norėdami tai padaryti, elgiamės taip: randame atsitiktinius du vektorius, priklausančius plokštumai, ir apskaičiuojame jų vektorinę sandaugą. Tai duos vektorių, kuris bus statmenas šiai plokštumai, tai yra n¯. Turime: