Platus sąryšių spektras aibių pavyzdyje yra lydimas daugybės sąvokų, pradedant jų apibrėžimais ir baigiant analitine paradoksų analize. Straipsnyje apie rinkinį aptartos koncepcijos įvairovė yra begalinė. Nors kalbant apie dvigubus tipus, tai reiškia dvejetainius ryšius tarp kelių vertybių. Taip pat tarp objektų ar teiginių.
Paprastai dvejetainiai santykiai žymimi simboliu R, tai yra, jei xRx bet kuriai x vertei iš lauko R, tokia savybė vadinama refleksine, kurioje x ir x yra priimtini mąstymo objektai, ir R yra ženklas, ar kitokios formos santykiai tarp asmenų. Tuo pačiu metu, jei išreiškiate xRy® arba yRx, tai rodo simetrijos būseną, kur ® yra implikacijos ženklas, panašus į sąjungą „jei … tada …“. Ir, galiausiai, dekodavimas užrašas (xRy Ùy Rz) ®xRz pasakoja apie pereinamąjį ryšį, o ženklas Ù yra jungtukas.
Dvejetainis ryšys, kuris yra ir refleksyvus, simetriškas ir tranzityvus, vadinamas ekvivalentiškumu. Ryšys f yra funkcija, o lygybė y=z išplaukia iš Î f ir Î f. Galima lengvai pritaikyti paprastą dvejetainę funkcijąį du paprastus argumentus tam tikra tvarka, ir tik šiuo atveju tai suteikia jiems prasmę, nukreiptą į šiuos du posakius, paimtus konkrečiu atveju.
Reikėtų pasakyti, kad f susieja x su y,
jei f yra funkcija su diapazonu x ir diapazonu y. Tačiau kai f ekstrapoliuoja x į y, o y Í z, tai priverčia f rodyti x z. Paprastas pavyzdys: jei f(x)=2x yra teisinga bet kuriam sveikajam skaičiui x, tada sakoma, kad f susieja visų žinomų sveikųjų skaičių pažymėtą aibę su tų pačių sveikųjų skaičių aibe, bet šį kartą lyginiais skaičiais. Kaip minėta pirmiau, dvejetainiai santykiai, kurie yra ir refleksyvūs, simetriški ir tranzityvūs, yra lygiaverčiai santykiai.
Remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, dvejetainių santykių lygiavertiškumo ryšius lemia savybės:
- refleksyvumas – santykis (M ~ N);
- simetrijos - jei lygybė M ~ N, tada bus N ~ M;
- tranzityvumas - jei dvi lygybės M ~ N ir N ~ P, tai rezultatas M ~ P.
Išsamiau panagrinėkime deklaruojamas dvejetainių santykių savybes. Refleksyvumas yra viena iš tam tikrų ryšių savybių, kai kiekvienas tiriamos aibės elementas yra tam tikroje lygybėje sau. Pavyzdžiui, tarp skaičių a=c ir a³ c yra refleksiniai ryšiai, nes visada a=a, c=c, a³ a, c³ c. Tuo pačiu metu nelygybės a>c ryšys yra antirefleksinis, nes nelygybės a>a egzistavimas yra neįmanomas. Šios savybės aksioma užkoduota ženklais: aRc®aRa Ù cRc, čia simbolis ® reiškia žodį „apima“(arba „implikuoja“), o ženklas Ù – yra jungtis „ir“(arba jungtis). Iš šio teiginio matyti, kad jei sprendimas aRc yra teisingas, išraiškos aRa ir cRc taip pat yra teisingos.
Simetrija reiškia santykio buvimą, net jei psichiniai objektai yra keičiami, tai yra, esant simetriškam ryšiui, objektų pertvarkymas nesukelia „dvejetainių santykių“tipo transformacijos. Pavyzdžiui, lygybės a=c ryšys yra simetriškas dėl santykio c=a ekvivalentiškumo; teiginys a¹c taip pat yra tas pats, nes jis atitinka ryšį su¹a.
Tranzityvinė aibė yra savybė, atitinkanti šį reikalavimą: y н x, z н y ® z н x, kur ® yra ženklas, pakeičiantis žodžius: "jei …, tada …". Formulė žodžiu skaitoma taip: „Jei y priklauso nuo x, z priklauso y, tai z priklauso ir nuo x“.
