Žodžiu „begalybė“kiekvienas žmogus turi savo asociacijas. Daugelis savo vaizduotėje piešia jūrą, kuri išeina už horizonto, o kitiems prieš akis atsiveria begalinio žvaigždėto dangaus vaizdas. Matematikai, įpratę operuoti skaičiais, begalybę įsivaizduoja visai kitaip. Daugelį amžių jie bandė rasti didžiausią iš fizinių dydžių, reikalingų matuoti. Vienas iš jų yra Grahamo numeris. Kiek jame yra nulių ir kam jis naudojamas, sužinosite šiame straipsnyje.
Be galo didelis skaičius
Matematikoje tai yra tokio kintamojo pavadinimas x , jei bet kuriam teigiamam skaičiui M galima nurodyti natūralųjį skaičių N, kad visų skaičių n būtų didesnis už N nelygybė |x | > M. Tačiau ne, pavyzdžiui, sveikasis skaičius Z negali būti laikomas be galo dideliu, nes jis visada bus mažesnis už (Z + 1).
Keli žodžiai apie „milžinus“
Laikoma, kad didžiausi skaičiai, turintys fizinę reikšmę:
- 1080. Šis skaičius, kuris paprastai vadinamas kvinkvavigintilijonu, naudojamas apytiksliui kvarkų ir leptonų (mažiausių dalelių) skaičiui Visatoje žymėti.
- 1 „Google“. Toks skaičius dešimtainėje sistemoje rašomas kaip vienetas su 100 nulių. Remiantis kai kuriais matematiniais modeliais, nuo Didžiojo sprogimo iki masyviausios juodosios skylės sprogimo turėtų praeiti nuo 1 iki 1,5 googolio metų, po kurių mūsų visata pereis į paskutinį savo egzistavimo etapą, t.y. tarkime, kad šis skaičius turi tam tikrą fizinę reikšmę.
- 8, 5 x 10185. Planko konstanta yra 1,616199 x 10-35 m, t. y. dešimtainiu ženklu ji atrodo kaip 0,000000000000000000000000000000616199 m. Yra apie 1 googol Planck ilgis colyje. Apskaičiuota, kad apie 8,5 x 10185 Plankų ilgiai gali tilpti visoje mūsų visatoje.
- 277 232 917 – 1. Tai didžiausias žinomas pirminis skaičius. Jei jo dvejetainis žymėjimas yra gana kompaktiškas, norint jį pavaizduoti dešimtaine forma, reikės ne mažiau kaip 13 milijonų simbolių. Jis buvo rastas 2017 m. kaip Mersenne numerių paieškos projekto dalis. Jei entuziastai ir toliau dirbs šia kryptimi, tada, esant dabartiniam kompiuterių technologijų išsivystymo lygiui, artimiausiu metu vargu ar pavyks rasti Mersenne skaičių, didesnį nei 277 232 917- 1, nors tokslaimingasis gaus 150 000 US$.
- Hugoplex. Čia tiesiog paimame 1 ir po jo pridedame nulius 1 googolio kiekiu. Šį skaičių galite parašyti kaip 10^10^100. Neįmanoma jo pavaizduoti dešimtaine forma, nes jei visa Visatos erdvė užpildyta popieriaus lapeliais, ant kurių kiekvieno būtų užrašytas 0 su 10 šrifto „Word“šriftu, tai šiuo atveju tik pusė visi 0 po 1 būtų gauti „googolplex“skaičiui.
- 10^10^10^10^10^1.1. Tai skaičius, rodantis metų skaičių, po kurio, remiantis Puankaro teorema, mūsų Visata dėl atsitiktinių kvantinių svyravimų grįš į būseną, artimą šiandienai.
Kaip atsirado Greimo skaičiai
1977 m. žinomas mokslo populiarintojas Martinas Gardneris žurnale Scientific American paskelbė straipsnį apie Grahamo vienos iš Ramse'o teorijos problemų įrodymą. Jame mokslininko nustatytą ribą jis pavadino didžiausiu skaičiumi, naudotu rimtuose matematiniuose samprotavimuose.
Kas yra Ronaldas Lewisas Grahamas
Mokslininkas, kuriam dabar 80 metų, gimė Kalifornijoje. 1962 m. Berklio universitete įgijo matematikos daktaro laipsnį. Jis 37 metus dirbo „Bell Labs“, o vėliau persikėlė į „AT&T Labs“. Mokslininkas aktyviai bendradarbiavo su vienu didžiausių XX amžiaus matematikų Palu Erdősu ir yra daugelio prestižinių apdovanojimų laureatas. Grahamo mokslinėje bibliografijoje yra daugiau nei 320 mokslinių straipsnių.
70-ųjų viduryje mokslininkas domėjosi problema, susijusia su teorijaRamsey. Jo įrodyme buvo nustatyta viršutinė sprendinio riba, kuri yra labai didelis skaičius, vėliau pavadintas Ronaldo Grahamo vardu.
Hiperkubo problema
Norėdami suprasti Grahamo skaičiaus esmę, pirmiausia turite suprasti, kaip jis buvo gautas.
Mokslininkas ir jo kolega Bruce'as Rothschildas sprendė šią problemą:
Yra n matmenų hiperkubas. Visos jo viršūnių poros sujungtos taip, kad gaunamas pilnas grafikas su 2viršūnių. Kiekvienas jo kraštas yra mėlynos arba raudonos spalvos. Reikėjo rasti minimalų viršūnių skaičių, kurį turi turėti hiperkubas, kad kiekviename tokiame dažyme būtų pilnas monochromatinis pografas su 4 viršūnėmis, esančiomis toje pačioje plokštumoje.
Sprendimas
Grahamas ir Rothschildas įrodė, kad problemos sprendimas N' atitinka sąlygą 6 ⩽ N' ⩽N, kur N yra gerai apibrėžtas, labai didelis skaičius.
Apatinę N ribą vėliau patikslino kiti mokslininkai, kurie įrodė, kad N turi būti didesnis arba lygus 13. Taigi mažiausio hiperkubo viršūnių skaičiaus, atitinkančio aukščiau pateiktas sąlygas, išraiška tapo 13 ⩽ N'⩽ N.
Knutho rodyklės užrašas
Prieš apibrėždami Greimo skaičių, turėtumėte susipažinti su jo simbolinio vaizdavimo metodu, nes nei dešimtainis, nei dvejetainis žymėjimas tam visiškai netinka.
Šiuo metu šiam kiekiui pavaizduoti naudojamas Knutho rodyklės užrašas. Pasak jos:
ab=a rodyklė aukštyn b.
Kad veiktų daugybinis eksponentas, buvo įvestas įrašas:
a "rodyklė aukštyn" "rodyklė aukštyn" b=ab="bokštas, sudarytas iš a iš b vienetų."
Ir pentacijai, t. y. simboliniam ankstesnio operatoriaus pakartotinio eksponentinio didinimo žymėjimui, Knuth jau naudojo 3 rodykles.
Naudodami šį Grahamo skaičiaus žymėjimą, turime "rodyklių" sekas, įdėtas viena į kitą, 64 vnt.
Mastelis
Jų garsusis skaičius, kuris sužadina vaizduotę ir plečia žmogaus sąmonės ribas, pernešdamas jį už Visatos ribų, Grahamas ir jo kolegos gavo jį kaip viršutinę skaičiaus N ribą hiperkubo įrodyme. aukščiau pateikta problema. Paprastam žmogui labai sunku įsivaizduoti, koks didelis jo mastas.
Klausimas apie simbolių skaičių arba, kaip kartais klaidingai sakoma, nulių Greimo skaičiuje, domina beveik visus, kurie apie šią reikšmę girdi pirmą kartą.
Pakanka pasakyti, kad susiduriame su sparčiai augančia seka, kurią sudaro 64 nariai. Netgi pirmasis jo terminas neįsivaizduojamas, nes jis susideda iš n „bokštų“, susidedančių iš 3 iki. Jau jo „apatinis aukštas“iš 3 triviečių yra lygus 7 625 597 484 987, t.y. viršija 7 mlrd., tai yra apie 64 aukštą (ne narys!). Taigi šiuo metu neįmanoma tiksliai pasakyti, koks yra Greimo skaičius, nes jo nepakanka apskaičiuoti.bendra visų šiandien Žemėje esančių kompiuterių galia.
Rekordas sulaužytas?
Įrodinėjant Kruskalio teoremą, Greimo skaičius buvo „numestas nuo pjedestalo“. Mokslininkas pasiūlė šią problemą:
Yra begalinė baigtinių medžių seka. Kruskal įrodė, kad visada egzistuoja kokio nors grafo atkarpa, kuri yra ir didesnio grafo dalis, ir tiksli jo kopija. Šis teiginys nekelia jokių abejonių, nes akivaizdu, kad begalybėje visada bus tiksliai pasikartojantis derinys
Vėliau Harvey'us Friedmanas šiek tiek susiaurino šią problemą, atsižvelgdamas tik į tokius aciklinius grafikus (medžius), kad tam tikram, kurio koeficientas i, yra daugiausia (i + k) viršūnių. Jis nusprendė išsiaiškinti, koks turėtų būti aciklinių grafikų skaičius, kad naudojant šį jų užduoties metodą visada būtų galima rasti pomedį, kuris būtų įterptas į kitą medį.
Ištyrus šią problemą, buvo nustatyta, kad N, priklausomai nuo k, auga milžinišku greičiu. Visų pirma, jei k=1, tada N=3. Tačiau esant k=2, N jau pasiekia 11. Įdomiausia prasideda tada, kai k=3. Šiuo atveju N greitai "pakyla" ir pasiekia reikšmę, kuri yra daug kartų didesnis už Greimo skaičių. Norint įsivaizduoti, koks jis didelis, pakanka užrašyti Ronaldo Grahamo apskaičiuotą skaičių G64 forma (3). Tada Friedmano-Kruskal reikšmė (rev. FinKraskal(3)) bus G(G(187196)) eilės. Kitaip tariant, gaunama mega reikšmė, kuri yra be galo didesnėneįsivaizduojamai didelis Grahamo skaičius. Tuo pačiu metu net ir jis bus milžinišku skaičiumi mažesnis už begalybę. Tikslinga apie šią sąvoką pakalbėti išsamiau.
Begalybė
Dabar, kai paaiškinome, kas yra Greimo skaičius ant pirštų, turėtume suprasti prasmę, kuri buvo ir yra investuojama į šią filosofinę koncepciją. Juk „begalybė“ir „be galo didelis skaičius“tam tikrame kontekste gali būti laikomi tapačiais.
Didžiausią indėlį į šios problemos tyrimą įnešė Aristotelis. Didysis antikos mąstytojas begalybę skirstė į potencialią ir aktualią. Pastaruoju jis turėjo omenyje begalinių dalykų egzistavimo tikrovę.
Pasak Aristotelio, idėjų apie šią esminę sąvoką š altiniai yra:
- laikas;
- vertybių atskyrimas;
- sienos samprata ir kažko už jos buvimas;
- kūrybinės prigimties neišsemiamumas;
- mąstymas neturi ribų.
Šiuolaikinėje begalybės interpretacijoje negalite nurodyti kiekybinio mato, todėl didžiausio skaičiaus paieška gali tęstis amžinai.
Išvada
Ar metafora „Žvilgsnis į begalybę“ir Greimo skaičius tam tikra prasme gali būti laikomi sinonimais? Greičiau taip ir ne. Abiejų neįmanoma įsivaizduoti net turint stipriausią vaizduotę. Tačiau, kaip jau minėta, jo negalima laikyti „labiausiai, labiausiai“. Kitas dalykas yra tai, kad šiuo metu reikšmės, didesnės už Greimo skaičių, nėra nustatytosfizinis pojūtis.
Be to, jis neturi begalinio skaičiaussavybių, tokių kaip:
- ∞ + 1=∞;
- yra begalinis skaičius ir nelyginių, ir lyginių skaičių;
- ∞ - 1=∞;
- nelyginių skaičių skaičius yra lygiai pusė visų skaičių;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Apibendrinant: pagal Gineso rekordų knygą Greimo skaičius yra didžiausias matematinio įrodymo praktikoje. Tačiau yra skaičių, kurie yra daug kartų didesni už šią reikšmę.
Greičiausiai ateityje prireiks dar didesnių „milžinų“, ypač jei žmogus išeis už mūsų saulės sistemos ribų arba išras ką nors neįsivaizduojamo dabartiniame mūsų sąmonės lygyje.
