Trikampė piramidė ir jos ploto nustatymo formulės

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 05:34

Piramidė – geometrinė erdvinė figūra, kurios charakteristikos mokomos vidurinėje mokykloje per kietosios geometrijos kursą. Šiame straipsnyje apžvelgsime trikampę piramidę, jos tipus, taip pat jos paviršiaus ploto apskaičiavimo formules.

Apie kurią piramidę mes kalbame?

Trikampė piramidė yra figūra, kurią galima gauti sujungus visas savavališko trikampio viršūnes su vienu tašku, kuris nėra šio trikampio plokštumoje. Pagal šį apibrėžimą nagrinėjama piramidė turėtų būti sudaryta iš pradinio trikampio, kuris vadinamas figūros pagrindu, ir trijų šoninių trikampių, kurie turi vieną bendrą kraštinę su pagrindu ir yra sujungti vienas su kitu taške. Pastaroji vadinama piramidės viršūne.

Aukščiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduota savavališka trikampė piramidė.

Aptariama figūra gali būti įstriža arba tiesi. Pastaruoju atveju statmenas, nuleistas nuo piramidės viršūnės iki jos pagrindo, turi kirsti jį geometriniame centre. bet kurio geometrinis centrastrikampis yra jo medianų susikirtimo taškas. Geometrinis centras sutampa su figūros masės centru fizikoje.

Jei tiesios piramidės pagrinde yra taisyklingasis (lygiakrais) trikampis, jis vadinamas taisyklingu trikampiu. Taisyklingoje piramidėje visos kraštinės yra lygios viena kitai ir yra lygiakraščiai trikampiai.

Jei taisyklingos piramidės aukštis yra toks, kad jos kraštiniai trikampiai tampa lygiakraščiais, ji vadinama tetraedru. Tetraedre visi keturi paviršiai yra lygūs vienas kitam, todėl kiekvienas iš jų gali būti laikomas pagrindu.

Piramidės elementai

Šie elementai apima figūros veidus arba šonus, jos kraštus, viršūnes, aukštį ir apotemus.

Kaip parodyta, visos trikampės piramidės kraštinės yra trikampiai. Jų skaičius yra 4 (3 šonuose ir vienas apačioje).

Viršūnės yra trijų trikampių kraštinių susikirtimo taškai. Nesunku atspėti, kad nagrinėjamai piramidei jų yra 4 (3 priklauso piramidės pagrindui ir 1 viršūnei).

Kraštai gali būti apibrėžti kaip linijos, kertančios dvi trikampio kraštines, arba kaip linijos, jungiančios kas dvi viršūnes. Briaunų skaičius atitinka dvigubą pagrindo viršūnių skaičių, tai yra, trikampei piramidei jis yra 6 (3 briaunos priklauso pagrindui, o 3 briaunas sudaro šoniniai paviršiai).

Aukštis, kaip minėta aukščiau, yra statmens, nubrėžto nuo piramidės viršūnės iki pagrindo, ilgis. Jei nubrėžtume aukščius iš šios viršūnės į kiekvieną trikampio pagrindo pusę,tada jie bus vadinami apotemais (arba apotemais). Taigi, trikampė piramidė turi vieną aukštį ir tris apotemus. Pastarosios yra lygios viena kitai taisyklingai piramidei.

Piramidės pagrindas ir jo plotas

Kadangi nagrinėjamos figūros pagrindas paprastai yra trikampis, norint apskaičiuoti jo plotą, pakanka rasti jo aukštį h_o ir pagrindo kraštinės ilgį a, ant kurios jis nuleistas. Pagrindo srities S_o formulė yra:

S_o=1/2h_oa

Jei pagrindo trikampis yra lygiakraštis, tada trikampės piramidės pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal šią formulę:

S_o=√3/4a²

Tai yra, plotas S_o yra vienareikšmiškai nustatomas pagal trikampio pagrindo kraštinės a ilgį.

Figūros šonas ir bendras plotas

Prieš svarstant trikampės piramidės plotą, naudinga parodyti jos raidą. Ji pavaizduota žemiau.

Šio braukimo plotas, sudarytas iš keturių trikampių, yra bendras piramidės plotas. Vienas iš trikampių atitinka pagrindą, kurio nagrinėjamos vertės formulė buvo parašyta aukščiau. Trys šoniniai trikampiai veidai kartu sudaro šoninę figūros sritį. Todėl norint nustatyti šią reikšmę, pakanka kiekvienam iš jų pritaikyti aukščiau pateiktą savavališko trikampio formulę ir pridėti tris rezultatus.

Jei piramidė teisinga, tada skaičiavimasšoninio paviršiaus plotas yra palengvintas, nes visi šoniniai paviršiai yra vienodi lygiakraščiai trikampiai. Pažymėkite h_bapotemos ilgį, tada šoninio paviršiaus plotą S_b galima nustatyti taip:

S_b=3/2ah_b

Ši formulė išplaukia iš bendrosios trikampio ploto išraiškos. Skaičius 3 atsirado skaitikliuose dėl to, kad piramidė turi tris šoninius paviršius.

Apotema h_b taisyklingoje piramidėje gali būti apskaičiuojama, jei žinomas figūros h aukštis. Taikydami Pitagoro teoremą gauname:

h_b=√(h²+ a²/12)

Akivaizdu, kad bendras figūros paviršiaus plotas S yra lygus jos kraštinių ir pagrindo plotų sumai:

S=S_o+ S_b

Įprastai piramidei, pakeičiant visas žinomas reikšmes, gauname formulę:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Trikampės piramidės plotas priklauso tik nuo jos pagrindo kraštinės ilgio ir aukščio.

Problemos pavyzdys

Žinoma, kad trikampės piramidės šoninis kraštas yra 7 cm, o pagrindo kraštas yra 5 cm. Turite rasti figūros paviršiaus plotą, jei žinote, kad piramidė yra įprastas.

Naudokite bendrą lygybę:

S=S_o+ S_b

Sritis S_oyra:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825 cm}2.

Norėdami nustatyti šoninio paviršiaus plotą, turite rasti apotemą. Nesunku parodyti, kad per šoninės briaunos ilgį a_b jis nustatomas pagal formulę:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 cm.}

Tada S_b plotas yra:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

Bendras piramidės plotas yra:

S=S_o+ S_b=10,825 + 49,035=59,86 cm².

Atkreipkite dėmesį, kad spręsdami užduotį, skaičiuodami nenaudojome piramidės aukščio reikšmės.