Praktikoje dažnai iškyla užduotys, kurioms reikalinga galimybė sudaryti įvairių formų geometrinių formų pjūvius ir rasti pjūvių plotą. Šiame straipsnyje apžvelgsime, kaip statomos svarbios prizmės, piramidės, kūgio ir cilindro atkarpos ir kaip apskaičiuoti jų plotus.
3D figūros
Iš stereometrijos žinoma, kad absoliučiai bet kokio tipo trimatę figūrą riboja daugybė paviršių. Pavyzdžiui, tokių daugiakampių kaip prizmė ir piramidė šie paviršiai yra daugiakampės kraštinės. Kalbant apie cilindrą ir kūgį, mes kalbame apie cilindrinių ir kūginių figūrų apsisukimų paviršius.
Jei imsime plokštumą ir savavališkai susikirsime su trimatės figūros paviršiumi, gausime atkarpą. Jo plotas lygus tos plokštumos dalies, kuri bus figūros tūrio viduje, plotui. Minimali šios srities reikšmė yra nulis, kuri realizuojama plokštumai paliečiant figūrą. Pavyzdžiui, atkarpa, sudaryta iš vieno taško, gaunama, jei plokštuma eina per piramidės arba kūgio viršūnę. Didžiausia skerspjūvio ploto vertė priklauso nuosantykinė figūros ir plokštumos padėtis, taip pat figūros forma ir dydis.
Toliau apsvarstysime, kaip apskaičiuoti dviejų apsisukimų skaičių (cilindro ir kūgio) ir dviejų daugiakampių (piramidės ir prizmės) suformuotų pjūvių plotą.
Cilindras
Apskritasis cilindras yra stačiakampio sukimosi aplink bet kurią jo kraštinę figūra. Cilindrui būdingi du tiesiniai parametrai: pagrindo spindulys r ir aukštis h. Toliau pateiktoje diagramoje parodyta, kaip atrodo apskritas tiesus cilindras.
Šiam paveikslui yra trys svarbūs skirsnių tipai:
- apvalus;
- stačiakampis;
- elipsės formos.
Eliptinė susidaro dėl to, kad plokštuma susikerta su figūros šoniniu paviršiumi tam tikru kampu su jos pagrindu. Apvalus yra šoninio paviršiaus, lygiagrečios su cilindro pagrindu, pjovimo plokštumos susikirtimo rezultatas. Galiausiai gaunamas stačiakampis, jei pjovimo plokštuma lygiagreti cilindro ašiai.
Apskritimo plotas apskaičiuojamas pagal formulę:
S1=pir2
Ašinės dalies, ty stačiakampio, einančios per cilindro ašį, plotas apibrėžiamas taip:
S2=2rh
Kūgio sekcijos
Kūgis yra stačiojo trikampio sukimosi aplink vieną iš kojų figūra. Kūgis turi vieną viršų ir apvalų pagrindą. Jo parametrai taip pat yra spindulys r ir aukštis h. Popieriaus kūgio pavyzdys parodytas žemiau.
Yra keletas kūginių pjūvių tipų. Išvardykime juos:
- apvalus;
- elipsinis;
- parabolinė;
- hiperbolinis;
- trikampis.
Jie pakeičia vienas kitą, jei padidinate slenkančios plokštumos pasvirimo kampą apvalios bazės atžvilgiu. Lengviausias būdas yra užrašyti apskritimo ir trikampio skerspjūvio ploto formules.
Apvalus pjūvis susidaro susikirtus kūginiam paviršiui su plokštuma, kuri yra lygiagreti pagrindui. Jo plotui galioja ši formulė:
S1=pir2z2/h 2
Čia z yra atstumas nuo figūros viršaus iki suformuotos dalies. Matyti, kad jei z=0, tai plokštuma eina tik per viršūnę, todėl plotas S1 bus lygus nuliui. Kadangi z < h, tiriamos atkarpos plotas visada bus mažesnis nei jo reikšmė bazei.
Trikampis gaunamas, kai plokštuma kerta figūrą išilgai jos sukimosi ašies. Gautos sekcijos forma bus lygiašonis trikampis, kurio kraštinės yra pagrindo skersmuo ir du kūgio generatoriai. Kaip rasti trikampio skerspjūvio plotą? Atsakymas į šį klausimą bus tokia formulė:
S2=rh
Ši lygybė gaunama pritaikius savavališko trikampio ploto formulę per jo pagrindo ilgį ir aukštį.
Prizmės sekcijos
Prizmė yra didelė figūrų klasė, kuriai būdingi du identiški daugiakampiai pagrindai, lygiagrečiai vienas kitam,sujungtos lygiagretainiais. Bet kuri prizmės atkarpa yra daugiakampis. Atsižvelgiant į nagrinėjamų figūrų įvairovę (įstrižinės, tiesios, n-kampės, taisyklingos, įgaubtos prizmės), jų pjūvių įvairovė taip pat didelė. Toliau nagrinėjame tik kai kuriuos specialius atvejus.
Jei pjovimo plokštuma lygiagreti pagrindui, prizmės skerspjūvio plotas bus lygus šio pagrindo plotui.
Jei plokštuma eina per dviejų pagrindų geometrinius centrus, tai yra lygiagreti figūros šoninėms briaunoms, tai pjūvyje susidaro lygiagretainis. Tiesių ir taisyklingų prizmių atveju nagrinėjamas pjūvio vaizdas bus stačiakampis.
Piramidė
Piramidė yra dar vienas daugiakampis, susidedantis iš n kampo ir n trikampių. Trikampės piramidės pavyzdys parodytas žemiau.
Jei pjūvis nubrėžtas plokštuma, lygiagrečia n kampo pagrindui, tada jos forma bus tiksliai lygi pagrindo formai. Tokios atkarpos plotas apskaičiuojamas pagal formulę:
S1=So(h-z)2/h 2
Kur z yra atstumas nuo pagrindo iki pjūvio plokštumos, So yra pagrindo plotas.
Jei pjovimo plokštumoje yra piramidės viršūnė ir ji kerta jos pagrindą, tada gauname trikampę pjūvį. Norėdami apskaičiuoti jo plotą, turite naudoti atitinkamą trikampio formulę.
