Prizmės samprata. Įvairių tipų prizmių tūrio formulės: taisyklingos, tiesios ir įstrižos. Problemos sprendimas

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 05:34

Tūris yra bet kurios figūros, kurios matmenys nėra nuliniai visuose trijuose erdvės matmenyse, charakteristika. Šiame straipsnyje stereometrijos (erdvinių figūrų geometrijos) požiūriu apžvelgsime prizmę ir parodysime, kaip rasti įvairių tipų prizmių tūrius.

Kas yra prizmė?

Stereometrija turi tikslų atsakymą į šį klausimą. Prizmė joje suprantama kaip figūra, sudaryta iš dviejų vienodų daugiakampių paviršių ir kelių lygiagretainių. Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduotos keturios skirtingos prizmės.

Kiekvieną iš jų galima gauti taip: reikia paimti daugiakampį (trikampį, keturkampį ir pan.) ir tam tikro ilgio atkarpą. Tada kiekviena daugiakampio viršūnė turi būti perkelta lygiagrečiais segmentais į kitą plokštumą. Naujoje plokštumoje, kuri bus lygiagreti pradinei, bus gautas naujas daugiakampis, panašus į iš pradžių pasirinktą.

Prizmės gali būti įvairių tipų. Taigi, jie gali būti tiesūs, įstrižai ir teisingi. Jei šoninis prizmės kraštas (segmentas,jungiantys pagrindų viršūnes) statmenai figūros pagrindams, tai pastaroji yra tiesi linija. Atitinkamai, jei ši sąlyga neįvykdyta, mes kalbame apie pasvirusią prizmę. Taisyklinga figūra yra stačioji prizmė su lygiakampiu ir lygiakraštiniu pagrindu.

Vėliau straipsnyje parodysime, kaip apskaičiuoti kiekvieno iš šių prizmių tipų tūrį.

Įprastų prizmių tūris

Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo. Pateikiame taisyklingos prizmės su n kampu pagrindu tūrio formulę. Bet kurios nagrinėjamos klasės figūros tūrio formulė V yra tokia:

V=S_oh.

Tai yra, norint nustatyti tūrį, pakanka apskaičiuoti vienos iš bazių plotą S_o ir padauginti jį iš paveikslo aukščio h.

Taisyklingos prizmės atveju jos pagrindo kraštinės ilgį pažymėkime raide a, o aukštį, kuris lygus šoninės briaunos ilgiui, raide h. Jei n kampo pagrindas yra teisingas, paprasčiausias būdas apskaičiuoti jo plotą yra naudoti šią universalią formulę:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Kraštinių skaičiaus n reikšmę ir vienos kraštinės a ilgį pakeitę lygybe, galite apskaičiuoti n kampo pagrindo plotą. Atkreipkite dėmesį, kad kotangentinė funkcija čia apskaičiuojama kampui pi/n, kuris išreiškiamas radianais.

Atsižvelgiant į lygybę, parašyta S, gauname galutinę taisyklingosios prizmės tūrio formulę:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Kiekvienu konkrečiu atveju galite parašyti atitinkamas V formules, bet jas visasvienareikšmiškai išplaukia iš rašytinės bendrosios išraiškos. Pavyzdžiui, taisyklingai keturkampei prizmei, kuri bendruoju atveju yra stačiakampė gretasienis, gauname:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Jei šioje išraiškoje imsime h=a, gausime kubo tūrio formulę.

Tiesioginių prizmių tūris

Iš karto pažymime, kad tiesioms figūroms nėra bendros tūrio skaičiavimo formulės, kuri buvo pateikta aukščiau įprastoms prizmėms. Ieškant aptariamą reikšmę, reikia naudoti pradinę išraišką:

V=S_oh.

Čia h yra šoninio krašto ilgis, kaip ir ankstesniu atveju. Kalbant apie bazinį plotą S_o, jis gali įgauti įvairias reikšmes. Tiesiosios tūrio prizmės skaičiavimo užduotis sumažinama iki jos pagrindo ploto.

S_o vertės apskaičiavimas turėtų būti atliktas remiantis pačios bazės charakteristikomis. Pavyzdžiui, jei tai trikampis, plotą galima apskaičiuoti taip:

S_o3=1/2ah_a.

Čia h_a yra trikampio apotema, ty jo aukštis nuleistas iki pagrindo a.

Jei pagrindas yra keturkampis, tai gali būti trapecija, lygiagretainis, stačiakampis arba visiškai savavališkas tipas. Visais šiais atvejais, norėdami nustatyti plotą, turėtumėte naudoti atitinkamą planimetrijos formulę. Pavyzdžiui, trapecijos formulė atrodo taip:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Kur h_a yra trapecijos aukštis, a₁ ir a₂ yra ilgiai lygiagrečių kraštinių.

Norėdami nustatyti aukštesnės eilės daugiakampių plotą, padalykite juos į paprastas formas (trikampius, keturkampius) ir apskaičiuokite pastarųjų plotų sumą.

Tilted Prism Volume

Tai pats sunkiausias prizmės tūrio skaičiavimo atvejis. Taip pat galioja bendroji tokių skaičių formulė:

V=S_oh.

Tačiau prie pagrindo, vaizduojančio savavališką daugiakampį, ploto sudėtingumo, pridedama figūros aukščio nustatymo problema. Jis visada yra mažesnis už šoninio krašto ilgį pasvirusioje prizmėje.

Lengviausias būdas rasti šį aukštį, jei žinote bet kurį figūros kampą (plokščias arba dvikampis). Jei toks kampas yra duotas, tuomet prizmės viduje reikia sukonstruoti stačiakampį trikampį, kurio vienoje iš kraštinių būtų aukštis h ir naudojant trigonometrines funkcijas bei Pitagoro teoremą rasti reikšmę h.

Geometrinio tūrio problema

Duota taisyklinga prizmė su trikampiu pagrindu, kurios aukštis 14 cm, o kraštinės ilgis 5 cm. Koks yra trikampės prizmės tūris?

Kadangi kalbame apie teisingą figūrą, turime teisę naudoti gerai žinomą formulę. Turime:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Trikampė prizmė yra gana simetriška figūra, kurios pavidalu dažnai daromos įvairios architektūrinės konstrukcijos. Ši stiklinė prizmė naudojama optikoje.