Nr. Visi jie kartu sudaro tai, kas jau seniai žinoma kaip „euklidinė erdvė“.
Euklido erdvė, kurios apibrėžimas pagrįstas vektorių skaliarinės daugybos koncepcija, yra ypatingas tiesinės (afininės) erdvės atvejis, tenkinantis daugybę reikalavimų. Pirma, vektorių skaliarinė sandauga yra absoliučiai simetriška, tai yra, vektorius su koordinatėmis (x;y) yra kiekybiškai identiškas vektoriui su koordinatėmis (y;x), bet priešinga kryptimi.
Antra, jei atlikta vektoriaus skaliarinė sandauga su savimi, šio veiksmo rezultatas bus teigiamas. Vienintelė išimtis bus atvejis, kai pradinės ir galutinės šio vektoriaus koordinatės yra lygios nuliui: šiuo atveju jo sandauga su savimi taip pat bus lygi nuliui.
Trečia, skaliarinė sandauga yra paskirstomoji, tai yra, galima išskaidyti vieną iš jo koordinačių į dviejų reikšmių sumą, o tai neturės įtakos galutiniam vektorių skaliarinio daugybos rezultatui. Galiausiai, ketvirta, vektorius padauginus iš to paties tikrojo skaičiaus, jų skaliarinė sandauga taip pat padidės tuo pačiu koeficientu.
Jei tenkinamos visos šios keturios sąlygos, galime drąsiai teigti, kad turime euklido erdvę.
Euklido erdvę praktiniu požiūriu galima apibūdinti šiais konkrečiais pavyzdžiais:
- Paprasčiausias atvejis yra vektorių rinkinys su skaliarine sandauga, apibrėžta pagal pagrindinius geometrijos dėsnius.
- Euklido erdvė taip pat bus gauta, jei vektoriais turime omenyje tam tikrą baigtinę realiųjų skaičių aibę su nurodyta formule, apibūdinančia jų skaliarinę sumą arba sandaugą.
- Ypatingas Euklido erdvės atvejis yra vadinamoji nulinė erdvė, kuri gaunama, jei abiejų vektorių skaliarinis ilgis yra lygus nuliui.
Euklido erdvė turi keletą specifinių savybių. Pirma, skaliarinis koeficientas gali būti išimamas iš skliaustų tiek iš pirmo, tiek iš antrojo skaliarinio sandaugos koeficiento, rezultatas jokiu būdu nepasikeis. Antra, kartu su pirmojo skaliaro elemento pasiskirstymuproduktas, veikia ir antrojo elemento pasiskirstymas. Be to, vektorių atimties atveju, be skaliarinės vektorių sumos, vyksta ir skirstymas. Galiausiai, trečia, kai vektorius skaliariai padauginamas iš nulio, rezultatas taip pat bus lygus nuliui.
Taigi, Euklido erdvė yra svarbiausia geometrinė sąvoka, naudojama sprendžiant vektorių tarpusavio išdėstymo vienas kito atžvilgiu problemas, kuriai būdinga tokia sąvoka kaip skaliarinė sandauga.
