Visi mokykloje mokėmės aritmetinių kvadratinių šaknų algebros klasėje. Būna, kad jei žinios neatgaivinamos, tai jos greitai pasimiršta, tas pats su šaknimis. Šis straipsnis bus naudingas aštuntokams, norintiems atnaujinti savo žinias šioje srityje, ir kitiems moksleiviams, nes dirbame su šaknimis 9, 10 ir 11 klasėse.
Šaknies ir laipsnio istorija
Net senovėje, ypač senovės Egipte, žmonėms reikėjo laipsnių, kad galėtų atlikti operacijas su skaičiais. Kai tokios sąvokos nebuvo, egiptiečiai dvidešimt kartų užrašė to paties skaičiaus sandaugą. Tačiau netrukus buvo išrastas problemos sprendimas – viršutiniame dešiniajame kampe virš jo buvo pradėta rašyti skaičius, kiek kartų reikia padauginti iš savęs, ir tokia įrašymo forma išliko iki šių dienų.
Ir kvadratinės šaknies istorija prasidėjo maždaug prieš 500 metų. Jis buvo žymimas įvairiais būdais, ir tik XVII amžiuje Rene Descartes pristatė tokį ženklą, kurį naudojame iki šiol.
Kas yra kvadratinė šaknis
Pradėkime paaiškindami, kas yra kvadratinė šaknis. Kai kurio skaičiaus c kvadratinė šaknis yra neneigiamas skaičius, kurį patraukus kvadratu, jis bus lygus c. Šiuo atveju c yra didesnis arba lygus nuliui.
Jei norite, kad skaičius būtų po šaknies, pakelkite jį kvadratu ir uždėkite šaknies ženklą:
32=9, 3=√9
Be to, negalime gauti neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies vertės, nes bet kuris skaičius kvadrate yra teigiamas, tai yra:
c2 ≧ 0, jei √c yra neigiamas skaičius, tada c2 < 0 – prieštarauja taisyklei.
Norėdami greitai apskaičiuoti kvadratines šaknis, turite žinoti skaičių kvadratų lentelę.
Ypatybės
Panagrinėkime kvadratinės šaknies algebrines savybes.
1) Norėdami išgauti sandaugos kvadratinę šaknį, turite paimti kiekvieno veiksnio šaknį. Tai yra, jis gali būti parašytas kaip veiksnių šaknų sandauga:
√ac=√a × √c, pavyzdžiui:
√36=√4 × √9
2) Išimant šaknį iš trupmenos, šaknį reikia išskirti atskirai nuo skaitiklio ir vardiklio, tai yra parašyti kaip jų šaknų dalinį.
3) Vertė, gauta paėmus skaičiaus kvadratinę šaknį, visada yra lygi šio skaičiaus moduliui, nes modulis gali būti tik teigiamas:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) Norėdami pakelti šaknį į bet kokią galią, pakeliame iki josradikali išraiška:
(√с)4=√с4, pavyzdžiui:
(√2)6 =√26=√64=8
5) C aritmetinės šaknies kvadratas yra lygus pačiam skaičiui:
(√s)2=s.
Iracionaliųjų skaičių šaknys
Tarkime, šešiolikos šaknis yra paprasta, bet kaip paimti skaičių, pvz., 7, 10, 11, šaknį?
Skaičius, kurio šaknis yra begalinė neperiodinė trupmena, vadinamas neracionaliuoju. Negalime patys iš jo išgauti šaknies. Galime tik palyginti su kitais skaičiais. Pavyzdžiui, paimkite 5 šaknį ir palyginkite ją su √4 ir √9. Aišku, kad √4 < √5 < √9, tada 2 < √5 < 3. Tai reiškia, kad penkių šaknies reikšmė yra kažkur tarp dviejų ir trijų, tačiau tarp jų yra daug dešimtainių trupmenų ir kiekvieno išrinkimas yra abejotinas būdas rasti šaknį.
Šią operaciją galite atlikti skaičiuotuvu – tai lengviausias ir greičiausias būdas, tačiau 8 klasėje jums niekada nereikės iš aritmetinės kvadratinės šaknies išskirti neracionalių skaičių. Jums tereikia atsiminti apytiksles dviejų ir trijų šaknų reikšmes:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Pavyzdžiai
Dabar, remdamiesi kvadratinės šaknies savybėmis, išspręsime kelis pavyzdžius:
1) √172 - 82
Prisiminkite kvadratų skirtumo formulę:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
Žinome kvadratinės aritmetinės šaknies savybę – norint ištraukti šaknį iš sandaugos, reikia ją ištraukti iš kiekvieno faktoriaus:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Taikykite kitą šaknies savybę – skaičiaus aritmetinės šaknies kvadratas yra lygus pačiam šiam skaičiui:
2 × 3 + 6=12
Svarbu! Dažnai mokiniai, pradėdami dirbti ir spręsdami pavyzdžius su aritmetinėmis kvadratinėmis šaknimis, daro tokią klaidą:
√12 + 3=√12 + √3 – jūs negalite to padaryti!
Negalime rasti kiekvieno termino šaknų. Tokios taisyklės nėra, tačiau ji painiojama su kiekvieno veiksnio šaknimis. Jei turėtume šį įrašą:
√12 × 3, tada būtų teisinga parašyti √12 × 3=√12 × √3.
Ir todėl galime rašyti tik:
√12 + 3=√15
