Kai kuriems matematikos uždaviniams reikia mokėti apskaičiuoti kvadratinę šaknį. Šios problemos apima antros eilės lygčių sprendimą. Šiame straipsnyje pristatome veiksmingą kvadratinių šaknų skaičiavimo metodą ir naudojame jį dirbant su kvadratinės lygties šaknų formulėmis.
Kas yra kvadratinė šaknis?
Matematikoje ši sąvoka atitinka simbolį √. Istoriniai duomenys teigia, kad pirmą kartą jis pradėtas naudoti maždaug XVI amžiaus pirmoje pusėje Vokietijoje (pirmasis vokiškas Christopho Rudolfo darbas apie algebrą). Mokslininkai mano, kad šis simbolis yra transformuota lotyniška raidė r (lotyniškai radix reiškia „šaknis“).
Bet kurio skaičiaus šaknis lygi tokiai reikšmei, kurios kvadratas atitinka šaknies išraišką. Matematikos kalba šis apibrėžimas atrodys taip: √x=y, jei y2=x.
Teigiamo skaičiaus šaknis (x > 0) taip pat yrateigiamas skaičius (y > 0), bet jei šaknis paimta iš neigiamo skaičiaus (x < 0), tada jo rezultatas jau bus kompleksinis skaičius, įskaitant įsivaizduojamą vienetą i.
Štai du paprasti pavyzdžiai:
√9=3, nes 32 =9; √(-9)=3i, nes i2=-1.
Pakartotinė Herono formulė kvadratinėms šaknims rasti
Aukščiau pateikti pavyzdžiai yra labai paprasti, juose nėra sunku apskaičiuoti šaknis. Sunkumai pradeda kilti jau ieškant šakninių reikšmių bet kuriai vertei, kuri negali būti pavaizduota kaip natūraliojo skaičiaus kvadratas, pavyzdžiui, √10, √11, √12, √13, jau nekalbant apie tai, kad praktiškai tai būtina rasti šaknis ne sveikiesiems skaičiams: pvz., √(12, 15), √(8, 5) ir pan.
Visais aukščiau nurodytais atvejais turėtų būti naudojamas specialus kvadratinės šaknies apskaičiavimo metodas. Šiuo metu žinomi keli tokie metodai: pavyzdžiui, išplėtimas Taylor serijoje, padalijimas iš stulpelio ir kai kurie kiti. Iš visų žinomų metodų bene paprasčiausias ir veiksmingiausias yra Herono kartotinės formulės, kuri taip pat žinoma kaip Babilonijos kvadratinių šaknų nustatymo metodas, naudojimas (yra įrodymų, kad senovės babiloniečiai jį naudojo savo praktiniuose skaičiavimuose).
Tegul reikia nustatyti √x reikšmę. Kvadratinės šaknies radimo formulė yra tokia:
an+1=1/2(a+x/a), kur limn->∞(a)=> x.
Iššifruokite šį matematinį žymėjimą. Norėdami apskaičiuoti √x, turėtumėte paimti tam tikrą skaičių a0 (jis gali būti savavališkas, tačiau norint gauti greitą rezultatą, turėtumėte jį pasirinkti taip, kad (a0) 2 buvo kuo arčiau x, tada pakeiskite jį į nurodytą kvadratinės šaknies formulę ir gaukite naują skaičių a1, kuris jau bus būti arčiau norimos reikšmės. reikia į išraišką pakeisti 1 ir gauti 2 Šią procedūrą reikia kartoti, kol bus gautas reikiamas tikslumas.
Iteratyvinės Herono formulės taikymo pavyzdys
Aukščiau aprašytas tam tikro skaičiaus kvadratinės šaknies gavimo algoritmas daugeliui gali pasirodyti gana sudėtingas ir painus, tačiau iš tikrųjų viskas pasirodo daug paprasčiau, nes ši formulė labai greitai suartėja (ypač jei laimingas skaičius yra pasirinktas a0).
Paimkime paprastą pavyzdį: reikia apskaičiuoti √11. Mes pasirenkame 0=3, nes 32=9, o tai yra arčiau 11 nei 42=16. Pakeitę į formulę, gauname:
a1=1/2 (3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2 (3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2 (3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Nr. vieta. Taigi, užteko tepti tik 2 kartus didesnę formulęapskaičiuokite √11 0,0001 tikslumu.
Šiuo metu šaknims apskaičiuoti plačiai naudojami skaičiuotuvai ir kompiuteriai, tačiau pravartu atsiminti pažymėtą formulę, kad būtų galima rankiniu būdu apskaičiuoti tikslią jų reikšmę.
Antros eilės lygtys
Supratimas, kas yra kvadratinė šaknis, ir galimybė ją apskaičiuoti naudojamas sprendžiant kvadratines lygtis. Šios lygtys yra lygybės su vienu nežinomuoju, kurios bendra forma parodyta paveikslėlyje žemiau.
Čia c, b ir a yra kai kurie skaičiai, o a neturi būti lygus nuliui, o c ir b reikšmės gali būti visiškai savavališkos, įskaitant nulį.
Bet kokios x reikšmės, atitinkančios paveiksle nurodytą lygybę, vadinamos jo šaknimis (šios sąvokos nereikėtų painioti su kvadratine šaknimi √). Kadangi nagrinėjama lygtis yra antrosios eilės (x2), jos šaknų negali būti daugiau nei du skaičiai. Pažiūrėkime, kaip rasti šias šaknis vėliau straipsnyje.
Kvadratinės lygties (formulės) šaknų radimas
Šis nagrinėjamo tipo lygybių sprendimo būdas dar vadinamas universaliu arba metodu per diskriminantą. Jis gali būti taikomas bet kurioms kvadratinėms lygtims. Kvadratinės lygties diskriminanto ir šaknų formulė yra tokia:
Tai rodo, kad šaknys priklauso nuo kiekvieno iš trijų lygties koeficientų vertės. Be to, skaičiavimasx1 nuo skaičiavimo x2 skiriasi tik ženklu prieš kvadratinę šaknį. Radikali išraiška, kuri lygi b2 - 4ac, yra ne kas kita, kaip nagrinėjamos lygybės diskriminantas. Kvadratinės lygties šaknų formulėje esantis diskriminantas vaidina svarbų vaidmenį, nes jis lemia sprendinių skaičių ir tipą. Taigi, jei jis lygus nuliui, bus tik vienas sprendinys, jei jis teigiamas, tai lygtis turi dvi realias šaknis, galiausiai, neigiamas diskriminantas veda į dvi kompleksines šaknis x1 ir x 2.
Vietos teorema arba kai kurios antros eilės lygčių šaknų savybės
XVI amžiaus pabaigoje vienas iš moderniosios algebros įkūrėjų prancūzas Francois Vietas, studijuodamas antros eilės lygtis, sugebėjo gauti jos šaknų savybes. Matematiškai juos galima parašyti taip:
x1 + x2=-b / a ir x1 x 2=c / a.
Abi lygybes gali lengvai gauti bet kas, tam tereikia atlikti atitinkamus matematinius veiksmus su šaknimis, gautomis per formulę su diskriminantu.
Šių dviejų išraiškų derinį galima pagrįstai vadinti antrąja kvadratinės lygties šaknų formule, kuri leidžia atspėti jos sprendinius nenaudojant diskriminanto. Reikėtų pažymėti, kad nors abi išraiškos visada galioja, patogu jas naudoti sprendžiant lygtį tik tuo atveju, jei ją galima įskaičiuoti į faktorių.
Užduotis įtvirtinti įgytas žinias
Išspręskime matematinį uždavinį, kuriame pademonstruosime visus straipsnyje aptartus metodus. Problemos sąlygos yra tokios: reikia rasti du skaičius, kurių sandauga yra -13, o suma yra 4.
Ši sąlyga iš karto primena Vietos teoremą, taikydami kvadratinių šaknų ir jų sandaugos sumos formules rašome:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Darant prielaidą, kad a=1, tada b=-4 ir c=-13. Šie koeficientai leidžia parašyti antros eilės lygtį:
x2 - 4x - 13=0.
Naudodami formulę su diskriminantu, gausime tokias šaknis:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Tai yra, užduotis buvo sumažinta iki skaičiaus √68 radimo. Atkreipkite dėmesį, kad 68=417, tada naudodami kvadratinės šaknies savybę gauname: √68=2√17.
Dabar naudokime svarstomą kvadratinės šaknies formulę: a0=4, tada:
a1=1/2 (4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2 (4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Nereikia skaičiuoti a3, nes rastos reikšmės skiriasi tik 0,02. Taigi √68=8,246. Pakeičiant ją formulėje x 1, 2, gauname:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 ir x2=(4–8, 246) /2=-2, 123.
Kaip matote, rastų skaičių suma iš tiesų yra 4, bet jei rasite jų produktą, ji bus lygi -12,999, kuris atitinka problemos sąlygą 0,001 tikslumu.
