Algebroje yra dviejų tipų lygybių samprata – tapatybės ir lygtys. Tapatybės yra tokios lygybės, kurios yra įmanomos bet kokioms juose esančių raidžių reikšmėms. Lygtys taip pat yra lygybės, tačiau jos įmanomos tik tam tikroms jose esančių raidžių reikšmėms.
Raidės dažniausiai nelygios užduoties atžvilgiu. Tai reiškia, kad kai kurie iš jų gali įgyti bet kokias leistinas reikšmes, vadinamas koeficientais (arba parametrais), o kiti - jie vadinami nežinomaisiais - įgyja vertes, kurias reikia rasti sprendimo procese. Paprastai nežinomi dydžiai lygtyse žymimi raidėmis, paskutinėmis lotyniškos abėcėlės raidėmis (x.y.z ir kt.) arba tomis pačiomis raidėmis, bet su indeksu (x1, x 2 ir kt.), o žinomi koeficientai pateikiami tos pačios abėcėlės pirmosiomis raidėmis.
Pagal nežinomųjų skaičių išskiriamos lygtys su vienu, dviem ir keliais nežinomaisiais. Taigi visos nežinomųjų reikšmės, kurioms sprendžiama lygtis virsta tapatybe, vadinamos lygčių sprendiniais. Lygtis gali būti laikoma išspręsta, jei randami visi jos sprendiniai arba įrodoma, kad ji neturi. Užduotis „išspręsti lygtį“praktikoje yra įprasta ir reiškia, kad reikia rasti lygties šaknį.
Apibrėžimas: lygties šaknys yra tos leistinų verčių diapazono nežinomųjų reikšmės, kuriose sprendžiama lygtis tampa tapatybe.
Absoliučiai visų lygčių sprendimo algoritmas yra vienodas, o jo prasmė yra sumažinti šią išraišką į paprastesnę formą naudojant matematines transformacijas. Tas pačias šaknis turinčios lygtys algebroje vadinamos ekvivalentiškomis.
Paprasčiausias pavyzdys: 7x-49=0, lygties šaknis x=7;x-7=0, panašiai, šaknis x=7, todėl lygtys lygiavertės. (Ypatingais atvejais lygiavertės lygtys gali iš viso neturėti šaknų.)
Jei lygties šaknis yra ir kitos, paprastesnės lygties, gautos iš pirminės transformacijos būdu, šaknis, tai pastaroji vadinama ankstesnės lygties pasekmė.
Jei viena iš dviejų lygčių yra kitos pasekmė, jos laikomos lygiavertėmis. Jie taip pat vadinami lygiaverčiais. Aukščiau pateiktas pavyzdys tai iliustruoja.
Išspręsti net paprasčiausias lygtis praktiškai dažnai būna sunku. Dėl sprendimo galite gauti vieną lygties šaknį, dvi ar daugiau, net begalinį skaičių - tai priklauso nuo lygčių tipo. Yra ir tokių, kurie neturi šaknų, jie vadinami neapsprendžiamais.
Pavyzdžiai:
1) 15x -20=10; x=2. Tai vienintelė lygties šaknis.
2) 7x - y=0. Lygtis turi begalinį šaknų skaičių, nes kiekvienas kintamasis gali turėti daugybęreikšmių skaičius.
3) x2=- 16. Skaičius, pakeltas į antrą laipsnį, visada duoda teigiamą rezultatą, todėl lygties šaknies rasti neįmanoma. Tai viena iš anksčiau paminėtų neišsprendžiamų lygčių.
Sprendimo teisingumas tikrinamas vietoj raidžių pakeičiant rastas šaknis ir išsprendžiant gautą pavyzdį. Jei tapatybė galioja, sprendimas yra teisingas.
