Paprasčiau ir trumpai tariant, taikymo sritis yra reikšmės, kurias gali priimti bet kuri funkcija. Norėdami visapusiškai išnagrinėti šią temą, turite palaipsniui išardyti šiuos dalykus ir sąvokas. Pirmiausia supraskime funkcijos apibrėžimą ir jos atsiradimo istoriją.
Kas yra funkcija
Visi tikslieji mokslai pateikia daug pavyzdžių, kai aptariami kintamieji tam tikru būdu priklauso vienas nuo kito. Pavyzdžiui, medžiagos tankį visiškai lemia jos masė ir tūris. Idealių dujų slėgis esant pastoviam tūriui kinta priklausomai nuo temperatūros. Šiuos pavyzdžius vienija tai, kad visos formulės turi priklausomybes tarp kintamųjų, kurie vadinami funkciniais.
Funkcija yra sąvoka, išreiškianti vieno kiekio priklausomybę nuo kito. Jis turi formą y=f(x), kur y yra funkcijos reikšmė, kuri priklauso nuo x - argumento. Taigi galime sakyti, kad y yra kintamasis, priklausantis nuo x reikšmės. Reikšmės, kurias x gali turėti kartu, yrapateiktos funkcijos sritis (D(y) arba D(f)), ir atitinkamai y reikšmės sudaro funkcijos reikšmių rinkinį (E(f) arba E(y)). Pasitaiko atvejų, kai funkcija pateikiama kokia nors formule. Šiuo atveju apibrėžimo sritį sudaro tokių kintamųjų reikšmės, kuriose žymėjimas su formule turi prasmę.
Yra atitinkamų arba lygiaverčių funkcijų. Tai yra dvi funkcijos, turinčios vienodus galiojančių reikšmių diapazonus, taip pat pačios funkcijos reikšmės yra vienodos visiems tiems patiems argumentams.
Daugelis tiksliųjų mokslų dėsnių įvardijami panašiai kaip situacijos realiame gyvenime. Taip pat yra toks įdomus faktas apie matematinę funkciją. Yra teorema apie funkcijos ribą, „įspraustą“tarp dviejų kitų, turinčių tą pačią ribą – apie du policininkus. Jie tai paaiškina taip: kadangi du policininkai veda kalinį į kamerą tarp jų, nusik altėlis yra priverstas ten eiti ir jis tiesiog neturi kito pasirinkimo.
Istorinės funkcijos nuoroda
Funkcijos sąvoka ne iš karto tapo galutine ir tiksli, ji ilgą laiką buvo formuojama. Pirma, Ferma įvade ir studijoje apie plokštumą ir kietas vietas, išleistame XVII amžiaus pabaigoje, teigiama:
Kai paskutinėje lygtyje yra du nežinomieji, yra vietos.
Apskritai šis darbas kalba apie funkcinę priklausomybę ir jos materialų vaizdą (vieta=linija).
Be to, maždaug tuo pačiu metu Rene Descartes'as savo darbe „Geometrija“(1637) tyrinėjo tieses pagal jų lygtis, kur vėlgidviejų dydžių priklausomybė vienas nuo kito.
Pats terminas „funkcija“buvo paminėtas tik XVII amžiaus pabaigoje pas Leibnicą, bet ne pagal šiuolaikinį jo aiškinimą. Savo moksliniame darbe jis manė, kad funkcija yra įvairūs segmentai, susieti su lenkta linija.
Bet jau XVIII amžiuje funkcija pradėta teisingiau apibrėžti. Bernoulli parašė taip:
Funkcija yra reikšmė, sudaryta iš kintamojo ir konstantos.
Eulerio mintys taip pat buvo artimos šiam:
Kintamojo kiekio funkcija yra analitinė išraiška, tam tikru būdu sudaryta iš šio kintamojo dydžio ir skaičių arba pastovių dydžių.
Kai vieni dydžiai priklauso nuo kitų taip, kad pastariesiems kintant jie patys keičiasi, tada pirmieji vadinami pastarųjų funkcijomis.
Funkcijų grafikas
Funkcijos grafiką sudaro visi taškai, priklausantys koordinačių plokštumos ašims, kurių abscisės įgauna argumento reikšmes, o funkcijos reikšmės šiuose taškuose yra ordinatės.
Funkcijos apimtis yra tiesiogiai susijusi su jos grafiku, nes jei kurios nors abscisės neįtraukiamos į galiojančių reikšmių diapazoną, grafike reikia nubrėžti tuščius taškus arba nubrėžti grafiką tam tikrose ribose. Pavyzdžiui, jei imamas y=tgx formos grafikas, tada reikšmė x=pi / 2 + pin, n∉R neįtraukiama į apibrėžimo sritį, liestinės grafiko atveju reikia nubrėžtivertikalios linijos, lygiagrečios y ašiai (jos vadinamos asimptotėmis), einančios per taškus ±pi/2.
Bet koks kruopštus ir kruopštus funkcijų tyrimas sudaro didelę matematikos šaką, vadinamą skaičiavimu. Elementariojoje matematikoje taip pat paliečiami elementarūs klausimai apie funkcijas, pavyzdžiui, paprasto grafiko sudarymas ir kai kurių pagrindinių funkcijos savybių nustatymas.
Kokią funkciją galima nustatyti į
Funkcija gali:
- būkite formulė, pavyzdžiui: y=cos x;
- nustatyta bet kuria formos porų lentele (x; y);
- iš karto turi grafinį vaizdą, tam koordinačių ašyse turi būti rodomos poros iš ankstesnio formos elemento (x; y).
Būkite atsargūs spręsdami kai kurias aukšto lygio problemas, beveik bet kuri išraiška gali būti laikoma funkcija, atsižvelgiant į kurį nors funkcijos y (x) reikšmės argumentą. Tokių užduočių apibrėžimo srities radimas gali būti raktas į sprendimą.
Ką galima daryti?
Pirmas dalykas, kurį reikia žinoti apie funkciją, norint ją ištirti ar sukurti, yra jos apimtis. Grafike turi būti tik tie taškai, kuriuose funkcija gali egzistuoti. Apibrėžimo sritis (x) taip pat gali būti vadinama priimtinų reikšmių sritimi (sutrumpinta kaip ODZ).
Norėdami teisingai ir greitai sudaryti funkcijų grafiką, turite žinoti šios funkcijos sritį, nes nuo to priklauso grafiko išvaizda ir tikslumasstatyba. Pavyzdžiui, norėdami sukurti funkciją y=√x, turite žinoti, kad x gali turėti tik teigiamas reikšmes. Todėl jis statomas tik pirmajame koordinačių kvadrante.
Apibrėžimo apimtis elementariųjų funkcijų pavyzdyje
Savo arsenale matematika turi nedaug paprastų, apibrėžtų funkcijų. Jų taikymo sritis yra ribota. Šios problemos sprendimas nesukels sunkumų, net jei prieš jus yra vadinamoji kompleksinė funkcija. Tai tik kelių paprastų derinys.
- Taigi, funkcija gali būti trupmeninė, pavyzdžiui: f(x)=1/x. Taigi, kintamasis (mūsų argumentas) yra vardiklyje, ir visi žino, kad trupmenos vardiklis negali būti lygus 0, todėl argumentas gali turėti bet kokią reikšmę, išskyrus 0. Žymėjimas atrodys taip: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Jei vardiklyje yra kokia nors išraiška su kintamuoju, tuomet reikia išspręsti x lygtį ir neįtraukti reikšmių, kurios paverčia vardiklį į 0. Scheminiam vaizdui pakanka 5 gerai parinktų taškų. Šios funkcijos grafikas bus hiperbolė su vertikalia asimptote, einančia per tašką (0; 0) ir kartu su Ox ir Oy ašimis. Jei grafinis vaizdas susikerta su asimptotais, tokia klaida bus laikoma grubiausia.
- Bet kokia yra šaknies sritis? Funkcijos su radikaliąja išraiška (f(x)=√(2x + 5)) sritis, kurioje yra kintamasis, taip pat turi savų niuansų (taikoma tik lyginio laipsnio šaknyje). Kaiparitmetinė šaknis yra teigiama išraiška arba lygi 0, tada šaknies išraiška turi būti didesnė arba lygi 0, išsprendžiame tokią nelygybę: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, todėl šios srities sritis funkcija: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). Grafikas yra viena iš 90 laipsnių pasuktos parabolės šakų, esančių pirmajame koordinačių kvadrante.
- Jei kalbame su logaritmine funkcija, tuomet turėtumėte atsiminti, kad yra apribojimas, susijęs su logaritmo pagrindu ir išraiška po logaritmo ženklu, šiuo atveju apibrėžimo sritį galite rasti kaip seka. Turime funkciją: y=loga(x + 7), išsprendžiame nelygybę: x + 7 > 0, x > -7. Tada šios funkcijos sritis yra D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Taip pat atkreipkite dėmesį į y=tgx ir y=ctgx formos trigonometrines funkcijas, nes y=tgx=sinx/cos/x ir y=ctgx=cosx/sinx, todėl vertes reikia neįtraukti. kurioje vardiklis gali būti lygus nuliui. Jei esate susipažinę su trigonometrinių funkcijų grafikais, suprasti jų sritį yra paprasta užduotis.
Kaip skiriasi darbas su sudėtingomis funkcijomis
Atminkite keletą pagrindinių taisyklių. Jei dirbame su sudėtinga funkcija, tada nereikia kažko spręsti, supaprastinti, sudėti trupmenas, redukuoti iki mažiausio bendro vardiklio ir ištraukti šaknų. Turime ištirti šią funkciją, nes skirtingos (net identiškos) operacijos gali pakeisti funkcijos apimtį, todėl atsakymas bus neteisingas.
Pavyzdžiui, turime sudėtingą funkciją: y=(x2 - 4)/(x - 2). Negalime sumažinti trupmenos skaitiklio ir vardiklio, nes tai įmanoma tik tada, kai x ≠ 2, o tai yra funkcijos srities radimo uždavinys, todėl skaitiklio neskaičiuojame ir jokių nelygybių nesprendžiame, nes reikšmė, kuriai esant funkcija neegzistuoja, matoma plika akimi. Šiuo atveju x negali įgyti reikšmės 2, nes vardiklis negali eiti į 0, žymėjimas atrodys taip: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Abipusės funkcijos
Pradžioje verta pasakyti, kad funkcija gali tapti grįžtama tik padidinus arba sumažinus intervalą. Norėdami rasti atvirkštinę funkciją, žymėjime turite sukeisti x ir y ir išspręsti x lygtį. Apibrėžimo sritys ir vertės sritys yra tiesiog atvirkščiai.
Pagrindinė grįžtamumo sąlyga yra monotoniškas funkcijos intervalas, jei funkcija turi didėjimo ir mažėjimo intervalus, tai galima sudaryti bet kurio intervalo atvirkštinę funkciją (didėjančią arba mažėjančią).
Pavyzdžiui, eksponentinės funkcijos y=exatvirkštinė reikšmė yra natūrali logaritminė funkcija y=logea=lna. Trigonometrijai tai bus funkcijos su priešdėliu arc-: y=sinx ir y=arcsinx ir pan. Grafikai bus išdėstyti simetriškai kai kurių ašių arba asimptočių atžvilgiu.
Išvados
Ieškant priimtinų reikšmių diapazono, reikia ištirti funkcijų grafiką (jei toks yra),reikiamos specifinės nelygybių sistemos registravimas ir sprendimas.
Taigi, šis straipsnis padėjo suprasti, kam skirta funkcija ir kaip ją rasti. Tikimės, kad tai padės jums gerai suprasti pagrindinės mokyklos kursą.
