Prizma yra gana paprasta geometrinė trimatė figūra. Nepaisant to, kai kuriems moksleiviams kyla problemų nustatant pagrindines jo savybes, kurių priežastis, kaip taisyklė, siejama su neteisingai vartojama terminija. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime, kas yra prizmės, kaip jos vadinamos, taip pat išsamiai apibūdinsime teisingą keturkampę prizmę.
Prizmė geometrijoje
Trimačių figūrų tyrimas yra stereometrijos – svarbios erdvinės geometrijos dalies – užduotis. Stereometrijoje prizmė suprantama kaip tokia figūra, kuri susidaro lygiagrečiai perkeliant savavališką plokščią daugiakampį tam tikru atstumu erdvėje. Lygiagretusis vertimas reiškia judėjimą, kurio metu sukimasis aplink ašį, statmeną daugiakampio plokštumai, visiškai neįtraukiamas.
Dėl aprašyto prizmės gavimo metodo susidaro figūra, apribota dviemlygiagrečiose plokštumose esantys vienodų matmenų daugiakampiai ir tam tikras lygiagretainių skaičius. Jų skaičius sutampa su daugiakampio kraštinių (viršūnių) skaičiumi. Identiški daugiakampiai vadinami prizmės pagrindais, o jų paviršiaus plotas yra pagrindų plotas. Lygiagretės, jungiančios du pagrindus, sudaro šoninį paviršių.
Prizmės elementai ir Eulerio teorema
Kadangi nagrinėjama trimatė figūra yra daugiakampis, tai yra, ją sudaro susikertančių plokštumų rinkinys, jai būdingas tam tikras viršūnių, briaunų ir paviršių skaičius. Visi jie yra prizmės elementai.
XVIII amžiaus viduryje šveicarų matematikas Leonhardas Euleris nustatė ryšį tarp daugiakampio pagrindinių elementų skaičiaus. Šis ryšys parašytas naudojant šią paprastą formulę:
Kraštinių skaičius=viršūnių skaičius + paviršių skaičius - 2
Ši lygybė galioja bet kuriai prizmei. Pateiksime jo naudojimo pavyzdį. Tarkime, kad yra taisyklinga keturkampė prizmė. Ji pavaizduota žemiau.
Matyti, kad jo viršūnių skaičius yra 8 (po 4 kiekvienam keturkampio pagrindui). Šonų arba paviršių skaičius yra 6 (2 pagrindai ir 4 šoniniai stačiakampiai). Tada jo kraštų skaičius bus:
Šonkaulių skaičius=8 + 6 - 2=12
Visus juos galima suskaičiuoti, jei nurodote tą patį paveikslėlį. Aštuoni kraštai yra ties pagrindais, o keturi kraštai yra statmeni šiems pagrindams.
Visa prizmių klasifikacija
Svarbu suprasti šią klasifikaciją, kad vėliau nesusipainiotumėte su terminologija ir naudotumėte tinkamas formules, kad apskaičiuotumėte, pavyzdžiui, figūrų paviršiaus plotą arba tūrį.
Bet kokiai savavališkos formos prizmei galima išskirti 4 jai būdingus požymius. Išvardykime juos:
- Pagal daugiakampio kampų skaičių prie pagrindo: trikampis, penkiakampis, aštuonkampis ir pan.
- Daugiakampio tipas. Tai gali būti teisinga arba neteisinga. Pavyzdžiui, stačiakampis trikampis yra netaisyklingas, o lygiakraštis yra teisingas.
- Pagal daugiakampio išgaubimo tipą. Jis gali būti įgaubtas arba išgaubtas. Išgaubtos prizmės yra labiausiai paplitusios.
- Kamuose tarp pagrindų ir šoninių lygiagretainių. Jei visi šie kampai lygūs 90o, tai jie kalba apie stačią prizmę, jei ne visi jie yra tiesūs, tada tokia figūra vadinama įstrižaine.
Iš visų šių punktų norėčiau pasilikti ties paskutiniu. Tiesi prizmė taip pat vadinama stačiakampe prizme. Taip yra dėl to, kad jam lygiagretainiai paprastai yra stačiakampiai (kai kuriais atvejais jie gali būti kvadratai).
Pavyzdžiui, aukščiau esančiame paveikslėlyje pavaizduota penkiakampė įgaubta stačiakampė arba tiesi figūra.
Įprasta keturkampė prizmė
Šios prizmės pagrindas yra taisyklingas keturkampis, tai yra kvadratas. Aukščiau pateiktame paveikslėlyje jau parodyta, kaip atrodo ši prizmė. Be dviejų kvadratų, kuriuos jiapriboti viršuje ir apačioje, taip pat yra 4 stačiakampiai.
Taisyklingos keturkampės prizmės pagrindo kraštinę pažymėkime raide a, jos šoninės briaunos ilgis bus pažymėtas raide c. Šis ilgis taip pat yra figūros aukštis. Tada viso šios prizmės paviršiaus plotas išreiškiamas formule:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Čia pirmasis terminas atspindi pagrindų indėlį į bendrą plotą, antrasis narys yra šoninio paviršiaus plotas.
Atsižvelgdami į įvestus kraštinių ilgių žymėjimus, parašome nagrinėjamos figūros tūrio formulę:
V=a2c
Tai yra, tūris apskaičiuojamas kaip kvadratinio pagrindo ploto ir šoninės briaunos ilgio sandauga.
Kubo forma
Šią idealią trimatę figūrą žino visi, tačiau mažai kas pagalvojo, kad tai taisyklinga keturkampė prizmė, kurios kraštinė lygi kvadratinio pagrindo kraštinės ilgiui, tai yra, c=a.
Kubo bendro paviršiaus ploto ir tūrio formulės bus tokios formos:
S=6a2
V=a3
Kadangi kubas yra prizmė, susidedanti iš 6 identiškų kvadratų, bet kuri lygiagreti jų pora gali būti laikoma pagrindu.
Kubas yra labai simetriška figūra, kuri gamtoje realizuojama daugelio metalinių medžiagų ir joninių kristalų kristalų gardelių pavidalu. Pavyzdžiui, aukso, sidabro, vario ir stalo grotelėsdruskos yra kubinės.
