Šiame straipsnyje šis metodas nagrinėjamas kaip būdas išspręsti tiesinių lygčių sistemas (SLAE). Metodas yra analitinis, tai yra, jis leidžia parašyti bendrą sprendimo algoritmą, o tada pakeisti reikšmes iš konkrečių pavyzdžių. Skirtingai nuo matricos metodo ar Cramerio formulių, sprendžiant tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu, galite dirbti ir su tomis, kurios turi be galo daug sprendinių. Arba jo visai neturite.
Ką reiškia išspręsti Gauso metodu?
Pirma, turime užsirašyti savo lygčių sistemą kaip matricą. Tai atrodo taip. Sistema paimama:
Koeficientai rašomi lentelės forma, o dešinėje atskirame stulpelyje – laisvieji nariai. Kolona su laisvais elementais patogumui atskirta vertikalia juosta. Matrica, kurioje yra šis stulpelis, vadinama išplėstine.
Toliau pagrindinė matrica su koeficientais turi būti sumažinta iki viršutinės trikampio formos. Tai yra pagrindinis tikslas sprendžiant sistemą Gauso metodu. Paprasčiau tariant, po tam tikrų manipuliacijų matrica turėtų atrodyti taip, kad apatinėje kairiojoje jos dalyje būtų tik nuliai:
Tada, jei dar kartą parašysite naują matricą kaip lygčių sistemą, pastebėsite, kad paskutinėje eilutėje jau yra vienos iš šaknų reikšmė, kuri vėliau pakeičiama į aukščiau pateiktą lygtį, randama kita šaknis., ir taip toliau.
Tai yra Gauso sprendimo aprašymas pačiais bendriausiais terminais. O kas atsitiks, jei staiga sistema neturi sprendimo? O gal jų yra be galo daug? Norint atsakyti į šiuos ir daugelį kitų klausimų, būtina atskirai apsvarstyti visus sprendime Gauso metodu naudotus elementus.
Matricos, jų savybės
Matricoje nėra paslėptos prasmės. Tai tiesiog patogus būdas įrašyti duomenis vėlesnėms operacijoms. Netgi moksleiviai neturėtų jų bijoti.
Matrica visada yra stačiakampė, nes taip patogiau. Netgi taikant Gauso metodą, kai viskas susiveda į trikampės matricos sudarymą, įraše atsiranda stačiakampis, tik su nuliais toje vietoje, kur nėra skaičių. Nulių galima praleisti, bet jie yra numanomi.
Matrica turi dydį. Jo "plotis" yra eilučių skaičius (m), jo "ilgis" yra stulpelių skaičius (n). Tada matricos A dydis (joms žymėti dažniausiai naudojamos didžiosios lotyniškos raidės) bus pažymėtas kaip Am×n. Jei m=n, tada ši matrica yra kvadratas irm=n – jo tvarka. Atitinkamai, bet kuris matricos A elementas gali būti žymimas jo eilutės ir stulpelio skaičiumi: axy; x – eilutės numeris, keitimas [1, m], y – stulpelio numeris, keitimas [1, n].
Gauso metodu matricos nėra pagrindinis sprendimo taškas. Iš esmės visas operacijas galima atlikti tiesiogiai su pačiomis lygtimis, tačiau žymėjimas bus daug sudėtingesnis ir bus daug lengviau jame susipainioti.
Kvalifikatorius
Matrica taip pat turi determinantą. Tai labai svarbi savybė. Sužinokite jo reikšmę dabar neverta, galite tiesiog parodyti, kaip jis apskaičiuojamas, o tada pasakyti, kokias matricos savybes ji nustato. Lengviausias būdas rasti determinantą yra per įstrižaines. Matricoje brėžiamos įsivaizduojamos įstrižainės; ant kiekvieno iš jų esantys elementai padauginami, o tada pridedami gauti produktai: įstrižainės su nuolydžiu į dešinę - su "pliuso" ženklu, su nuolydžiu į kairę - su "minuso" ženklu.
Labai svarbu pažymėti, kad determinantą galima apskaičiuoti tik kvadratinei matricai. Stačiakampei matricai galima atlikti taip: iš eilučių skaičiaus ir stulpelių skaičiaus pasirinkti mažiausią (tebūnie k), tada atsitiktine tvarka matricoje pažymėti k stulpelių ir k eilučių. Elementai, esantys pasirinktų stulpelių ir eilučių sankirtoje, sudarys naują kvadratinę matricą. Jei tokios matricos determinantas yra skaičius, kuris nėra nulis, tada ji bus vadinama pradinės stačiakampės matricos pagrindine minora.
Prieškaip pradėti spręsti lygčių sistemą Gauso metodu, nepakenks skaičiuoti determinantą. Jei paaiškėja, kad jis lygus nuliui, tada iš karto galime pasakyti, kad matrica turi arba begalinį skaičių sprendinių, arba jų iš viso nėra. Tokiu liūdnu atveju reikia eiti toliau ir sužinoti apie matricos rangą.
Sistemų klasifikacija
Yra toks dalykas kaip matricos rangas. Tai yra didžiausia jo nenulinio determinanto eilė (atsimindami pagrindinį mažąjį, galime sakyti, kad matricos rangas yra pagrindinės mažosios eilės tvarka).
Kaip viskas vyksta su rangu, SLOW galima suskirstyti į:
- Sąnarys. Jungtinių sistemų pagrindinės matricos (sudarytos tik iš koeficientų) rangas sutampa su išplėstinės (su laisvųjų terminų stulpeliu). Tokios sistemos turi sprendimą, bet nebūtinai vieną, todėl jungčių sistemos papildomai skirstomos į:
- – neabejotina – turintis unikalų sprendimą. Tam tikrose sistemose matricos rangas ir nežinomųjų skaičius yra lygūs (arba stulpelių skaičius, kuris yra tas pats);
- – neapibrėžtas – su begaliniu sprendinių skaičiumi. Matricų rangas tokiose sistemose yra mažesnis už nežinomųjų skaičių.
- Nesuderinama. Tokioms sistemoms pagrindinės ir išplėstinės matricos gretos nesutampa. Nesuderinamos sistemos neturi sprendimo.
Gauso metodas yra geras, nes jis leidžia gauti arba nedviprasmišką sistemos nenuoseklumo įrodymą (neskaičiuojant didelių matricų determinantų), arba bendrą sprendimą sistemai su begaliniu sprendinių skaičiumi.
Elementarios transformacijos
PriešKaip pereiti tiesiai prie sistemos sprendimo, galite padaryti jį mažiau sudėtingą ir patogesnį skaičiavimams. Tai pasiekiama elementariomis transformacijomis – tokias, kad jų įgyvendinimas niekaip nepakeistų galutinio atsakymo. Pažymėtina, kad kai kurios iš minėtų elementariųjų transformacijų galioja tik matricoms, kurių š altinis buvo būtent SLAE. Štai šių transformacijų sąrašas:
- Keisti eilutes. Akivaizdu, kad jei pakeisime lygčių tvarką sistemos įraše, tai sprendiniui tai neturės jokios įtakos. Todėl šios sistemos matricoje taip pat galima sukeisti eilutes, nepamirštant, žinoma, apie laisvųjų narių stulpelį.
- Visų eilutės elementų padauginimas iš tam tikro koeficiento. Labai naudingas! Su juo galite sumažinti didelius skaičius matricoje arba pašalinti nulius. Sprendimų rinkinys, kaip įprasta, nesikeis, o tolimesnes operacijas atlikti taps patogiau. Svarbiausia, kad koeficientas nebūtų lygus nuliui.
- Ištrinti eilutes su proporciniais koeficientais. Tai iš dalies išplaukia iš ankstesnės pastraipos. Jei dvi ar daugiau matricos eilučių turi proporcingus koeficientus, tada, padauginus / padalijus vieną iš eilučių iš proporcingumo koeficiento, gaunamos dvi (arba dar kartą daugiau) visiškai identiškos eilutės, o papildomas galite pašalinti, palikdami tik vienas.
- Ištrinti nulinę eilutę. Jei transformacijų metu kažkur gaunama eilutė, kurioje visi elementai, įskaitant laisvąjį narį, yra lygūs nuliui, tada tokią eilutę galima pavadinti nuliu ir išmesti iš matricos.
- Pridedant vienos kitos elementų eilutės elementus (pagalatitinkami stulpeliai) padauginti iš kokio nors koeficiento. Neaiškiausia ir svarbiausia transformacija iš visų. Verta prie to pasilikti plačiau.
Eilutės, padaugintos iš koeficiento, pridėjimas
Kad būtų lengviau suprasti, verta žingsnis po žingsnio išardyti šį procesą. Iš matricos paimtos dvi eilutės:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Tarkime, prie antrojo reikia pridėti pirmąjį, padaugintą iš koeficiento „-2“.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Tada antroji matricos eilutė pakeičiama nauja, o pirmoji lieka nepakitusi.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Pažymėtina, kad daugybos koeficientą galima pasirinkti taip, kad sudėjus dvi eilutes vienas iš naujos eilutės elementų būtų lygus nuliui. Todėl sistemoje galima gauti lygtį, kurioje bus vienu nežinomuoju mažiau. Ir jei jūs gaunate dvi tokias lygtis, tada operaciją galima atlikti dar kartą ir gauti lygtį, kurioje jau bus du mažiau nežinomųjų. Ir jei kiekvieną kartą visoms eilutėms, kurios yra žemesnės už pradinę, pasuksime į nulį vieną koeficientą, galime, kaip žingsniai, nusileisti į patį matricos apačią ir gauti lygtį su vienu nežinomuoju. Tai vadinamaišspręskite sistemą naudodami Gauso metodą.
Paprastai
Tebūna sistema. Ji turi m lygčių ir n nežinomų šaknų. Galite parašyti taip:
Pagrindinė matrica sudaroma iš sistemos koeficientų. Nemokamų narių stulpelis pridedamas prie išplėstinės matricos ir patogumo dėlei atskirtas juostele.
Kitas:
- pirmoji matricos eilutė padauginama iš koeficiento k=(-a21/a11);
- pridedama pirmoji modifikuota ir antroji matricos eilutės;
- vietoj antros eilutės į matricą įterpiamas ankstesnės pastraipos papildymo rezultatas;
- dabar pirmasis koeficientas naujoje antroje eilutėje yra a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Dabar atliekama ta pati transformacijų serija, įtraukiamos tik pirmoji ir trečioji eilutės. Atitinkamai kiekviename algoritmo žingsnyje elementas a21 pakeičiamas a31. Tada viskas kartojasi a41, … am1. Gaunama matrica, kurioje pirmasis elementas eilutėse [2, m] yra lygus nuliui. Dabar reikia pamiršti apie vieną eilutę ir atlikti tą patį algoritmą, pradedant nuo antros eilutės:
- k koeficientas=(-a32/a22);
- antra pakeista eilutė pridedama prie "dabartinės" eilutės;
- pridėjimo rezultatas pakeičiamas į trečią, ketvirtą ir tt eilutes, o pirmoji ir antroji lieka nepakitę;
- matricos [3, m] eilutėse pirmieji du elementai jau lygūs nuliui.
Algoritmas turi būti kartojamas tol, kol pasirodys koeficientas k=(-am, m-1/amm). Tai reiškia, kad algoritmas paskutinį kartą buvo paleistas tik žemesnei lygčiai. Dabar matrica atrodo kaip trikampis arba turi laiptuotą formą. Apačioje eilutėje yra lygtis amn × x =bm. Koeficientas ir laisvasis terminas yra žinomi, per juos išreiškiama šaknis: x =bm/amn. Gauta šaknis pakeičiama į viršutinę eilutę, kad būtų galima rasti xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. Ir taip toliau pagal analogiją: kiekvienoje kitoje eilutėje yra nauja šaknis ir, pasiekus sistemos „viršų“, galima rasti sprendinių rinkinį [x1, … x ]. Tai bus vienintelis.
Kai nėra sprendimų
Jei vienoje iš matricos eilučių visi elementai, išskyrus laisvąjį terminą, yra lygūs nuliui, tai šią eilutę atitinkanti lygtis atrodo 0=b. Jis neturi sprendimo. O kadangi tokia lygtis įtraukta į sistemą, tai visos sistemos sprendinių aibė yra tuščia, tai yra išsigimusi.
Kai yra begalinis sprendimų skaičius
Gali pasirodyti, kad sumažintoje trikampėje matricoje nėra eilučių su vienu elementu – lygties koeficientu, o viena – laisvuoju nariu. Yra tik eilutės, kurios perrašomos kaip lygtis su dviem ar daugiau kintamųjų. Tai reiškia, kad sistema turi begalinį sprendimų skaičių. Šiuo atveju atsakymas gali būti pateiktas bendro sprendimo forma. Kaip tai padaryti?
Visikintamieji matricoje skirstomi į pagrindinius ir laisvuosius. Pagrindiniai – tai tie, kurie stovi laiptuotos matricos eilučių „ant krašto“. Likusieji nemokami. Bendrajame sprendime pagrindiniai kintamieji rašomi laisvaisiais.
Patogumo dėlei matrica pirmiausia perrašoma į lygčių sistemą. Tada paskutiniame iš jų, kur tiksliai liko tik vienas pagrindinis kintamasis, jis lieka vienoje pusėje, o visa kita perkeliama į kitą. Tai daroma kiekvienai lygčiai su vienu pagrindiniu kintamuoju. Tada likusiose lygčių dalyse, kur įmanoma, vietoj pagrindinio kintamojo pakeičiama jam gauta išraiška. Jei rezultatas vėl yra reiškinys, kuriame yra tik vienas pagrindinis kintamasis, jis išreiškiamas dar kartą ir taip toliau, kol kiekvienas pagrindinis kintamasis užrašomas kaip išraiška su laisvaisiais kintamaisiais. Tai yra bendras SLAE sprendimas.
Taip pat galite rasti pagrindinį sistemos sprendimą – suteikite laisviesiems kintamiesiems bet kokias reikšmes, o tada apskaičiuokite pagrindinių kintamųjų reikšmes šiuo konkrečiu atveju. Yra be galo daug konkrečių sprendimų.
Sprendimas su konkrečiais pavyzdžiais
Čia yra lygčių sistema.
Kad būtų patogiau, geriau iš karto sukurti jos matricą
Žinoma, kad sprendžiant Gauso metodu, pirmąją eilutę atitinkanti lygtis transformacijų pabaigoje išliks nepakitusi. Todėl bus pelningiau, jei viršutinis kairysis matricos elementas yra mažiausias - tada pirmieji elementailikusios eilutės po operacijų taps nuliu. Tai reiškia, kad sudarytoje matricoje bus naudinga dėti antrą eilutę vietoj pirmosios.
Toliau turite pakeisti antrą ir trečią eilutes, kad pirmieji elementai taptų nuliu. Norėdami tai padaryti, pridėkite juos prie pirmojo, padauginus iš koeficiento:
antra eilutė: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3) × 2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
trečia eilutė: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5) × 1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5) × 2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5) × 4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Dabar, kad nesusipainiotumėte, reikia parašyti matricą su tarpiniais transformacijų rezultatais.
Akivaizdu, kad tokia matrica gali būti geriau skaitoma naudojant kai kurias operacijas. Pavyzdžiui, galite pašalinti visus „minusus“iš antrosios eilutės, padauginę kiekvieną elementą iš „-1“.
Taip pat verta paminėti, kad trečioje eilutėje visi elementai yra trijų kartotiniai. Tada galitesupjaustykite eilutę šiuo skaičiumi, padaugindami kiekvieną elementą iš "-1/3" (atėmus - tuo pačiu metu, kad pašalintumėte neigiamas reikšmes).
Atrodo daug gražiau. Dabar turime palikti pirmąją eilutę ir dirbti su antrąja ir trečia. Užduotis – pridėti antrą eilutę prie trečios eilės, padaugintą iš tokio koeficiento, kad elementas a32 taptų nuliu.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (jei kai kurių transformacijų metu atsakyme pasirodė ne sveikasis skaičius, rekomenduojama jį palikti „kaip yra“, paprastosios trupmenos pavidalu ir tik tada, gavus atsakymus, nuspręsti, ar suapvalinti ir konvertuoti į kitą formą. žymėjimas)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7) × 7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7) × 11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7) × 24=-61/7
Matrica vėl įrašoma naujomis reikšmėmis.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Kaip matote, gauta matrica jau turi pakopinę formą. Todėl tolesnių sistemos transformacijų Gauso metodu nereikia. Ką čia galima padaryti, tai iš trečios eilutės pašalinti bendrą koeficientą „-1/7“.
Dabar visimalonu. Esmė maža – dar kartą parašykite matricą lygčių sistemos forma ir apskaičiuokite šaknis
x + 2y + 4z=12 (1)
7m + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Algoritmas, pagal kurį dabar bus randamos šaknys, Gauso metodu vadinamas atvirkštiniu judėjimu. (3) lygtis apima reikšmę z:
z=61/9
Toliau grįžkite prie antrosios lygties:
y=(24–11×(61/9))/7=–65/9
Ir pirmoji lygtis leidžia rasti x:
x=(12 - 4z - 2y) / 1=12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9)=-6/9=-2/3
Turime teisę tokią sistemą vadinti jungtine, ir net apibrėžta, tai yra, turinčia unikalų sprendimą. Atsakymas parašytas tokia forma:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Neapibrėžtos sistemos pavyzdys
Išnagrinėtas tam tikros sistemos sprendimo Gauso metodu variantas, dabar reikia nagrinėti atvejį, jei sistema yra neapibrėžta, tai yra, jai galima rasti be galo daug sprendimų.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 – 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 – x5=12 (4)
Pati sistemos forma jau kelia nerimą, nes nežinomųjų skaičius yra n=5, o sistemos matricos rangas jau yra lygiai mažesnis už šį skaičių, nes eilučių skaičius yra m=4, tai yra, didžiausia kvadrato determinanto eilė yra 4. Taigi,Sprendimų yra be galo daug, ir mes turime ieškoti jo bendros formos. Gauso metodas tiesinėms lygtims leidžia tai padaryti.
Pirmiausia, kaip įprasta, sudaroma išplėstinė matrica.
Antra eilutė: koeficientas k=(-a21/a11)=-3. Trečioje eilutėje pirmas elementas yra prieš transformacijas, tad nieko liesti nereikia, reikia palikti tokį, koks yra. Ketvirta eilutė: k=(-a41/a11)=-5
Pirmos eilutės elementus padauginus iš kiekvieno jų koeficiento ir pridėjus juos prie reikiamų eilučių, gauname tokios formos matricą:
Kaip matote, antrą, trečią ir ketvirtą eilutes sudaro vienas kitam proporcingi elementai. Antrasis ir ketvirtasis paprastai yra vienodi, todėl vieną iš jų galima nedelsiant pašalinti, o likusius padauginti iš koeficiento „-1“ir gauti eilutės numerį 3. Ir vėl palikite vieną iš dviejų identiškų eilučių.
Rezultatas yra tokia matrica. Sistema dar nenurašyta, čia reikia nustatyti pagrindinius kintamuosius - stovint prie koeficientų a11=1 ir a22=1, ir nemokamai – visa kita.
Antroje lygtyje yra tik vienas pagrindinis kintamasis – x2. Taigi jį galima išreikšti iš ten, rašant per kintamuosius x3, x4, x5, kurie yra nemokami.
Pakeiskite gautą išraišką pirmąja lygtimi.
Paaiškėjo lygtis, kuriojevienintelis pagrindinis kintamasis yra x1. Padarykime su juo tą patį, kaip su x2.
Visi pagrindiniai kintamieji, kurių yra du, išreiškiami trimis laisvaisiais, dabar galite parašyti atsakymą bendra forma.
Taip pat galite nurodyti vieną iš konkrečių sistemos sprendimų. Tokiais atvejais, kaip taisyklė, kaip laisvųjų kintamųjų reikšmės pasirenkami nuliai. Tada atsakymas bus toks:
-16, 23, 0, 0, 0.
Nenuoseklios sistemos pavyzdys
Nenuoseklių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu yra greičiausias. Jis baigiasi, kai tik viename iš etapų gaunama lygtis, kuri neturi sprendinio. Tai yra, gana ilgas ir niūrus etapas su šaknų skaičiavimu išnyksta. Svarstoma ši sistema:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Kaip įprasta, matrica sudaroma:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Ir sumažinta iki pakopinės formos:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Po pirmos transformacijos trečioje eilutėje yra lygtis, kurios formos
0=7, nėra sprendimo. Todėl sistemayra nenuoseklus, o atsakymas yra tuščias rinkinys.
Metodo privalumai ir trūkumai
Jei pasirinksite, kurį metodą SLAE išspręsti popieriuje su rašikliu, metodas, kuris buvo aptartas šiame straipsnyje, atrodo patraukliausias. Elementariose transformacijose susipainioti yra daug sunkiau, nei tai atsitinka, jei reikia rankiniu būdu ieškoti determinanto ar kokios keblios atvirkštinės matricos. Tačiau jei darbui su tokio tipo duomenimis naudojate programas, pavyzdžiui, skaičiuokles, tada paaiškėja, kad tokiose programose jau yra algoritmai, skirti skaičiuoti pagrindinius matricų parametrus - determinantą, minorines, atvirkštines ir transponuotas matricas ir pan.. Ir jei esate tikri, kad mašina pati apskaičiuos šias reikšmes ir nesuklys, tikslingiau naudoti matricos metodą arba Cramerio formules, nes jų taikymas prasideda ir baigiasi determinantų ir atvirkštinių matricų skaičiavimu.
Programa
Kadangi Gauso sprendimas yra algoritmas, o matrica iš tikrųjų yra dvimatis masyvas, ją galima naudoti programuojant. Bet kadangi straipsnis save pozicionuoja kaip „manekenų“vadovą, reikėtų pasakyti, kad metodą lengviausia įdėti į skaičiuokles, pavyzdžiui, „Excel“. Vėlgi, bet koks SLAE, įvestas į lentelę matricos pavidalu, „Excel“bus laikomas dvimačiu masyvu. O operacijoms su jais yra daug gražių komandų: sudėjimas (galima pridėti tik tokio pat dydžio matricas!), Daugyba iš skaičiaus, matricos daugyba (taip pat sutam tikri apribojimai), rasti atvirkštines ir perkeltas matricas ir, svarbiausia, apskaičiuoti determinantą. Jei ši daug laiko reikalaujanti užduotis pakeičiama viena komanda, bus daug greičiau nustatyti matricos rangą ir taip nustatyti jos suderinamumą arba nenuoseklumą.
