Viena sunkiausių ir nesuprantamų universitetinės matematikos temų – integracija ir diferencialinis skaičiavimas. Jūs turite žinoti ir suprasti šias sąvokas, taip pat mokėti jas taikyti. Daugelis universitetų techninių disciplinų yra susietos su diferencialais ir integralais.
Trumpa informacija apie lygtis
Šios lygtys yra viena iš svarbiausių matematinių sąvokų švietimo sistemoje. Diferencialinė lygtis – tai lygtis, susiejanti nepriklausomus kintamuosius, funkciją, kurią reikia rasti, ir tos funkcijos išvestines su kintamaisiais, kurie laikomi nepriklausomais. Diferencialinis skaičiavimas, skirtas rasti vieno kintamojo funkciją, vadinamas paprastu. Jei norima funkcija priklauso nuo kelių kintamųjų, tada kalbama apie dalinę diferencialinę lygtį.
Tiesą sakant, norint rasti tam tikrą atsakymą į lygtį, reikia integruoti, o sprendimo metodas nustatomas pagal lygties tipą.
Pirmosios eilės lygtys
Pirmosios eilės diferencialinė lygtis yra lygtis, galinti apibūdinti kintamąjį, pageidaujamą funkciją ir pirmąją jos išvestinę. Tokios lygtys gali būti pateiktos trimis formomis: aiškia, numanoma, diferencine.
Sąvokos, reikalingos norint išspręsti
Pradinė sąlyga – norimos funkcijos reikšmės nustatymas tam tikrai nepriklausomo kintamojo reikšmei.
Diferencialinės lygties sprendimas – bet kokia diferencijuojama funkcija, tiksliai pakeista pradine lygtimi, paverčia ją identiškai lygia. Gautas sprendimas, kuris nėra aiškus, yra lygties integralas.
Bendras diferencialinių lygčių sprendimas yra funkcija y=y(x;C), kuri gali patenkinti šiuos sprendimus:
- Funkcija gali turėti tik vieną savavališką konstantą С.
- Gauto funkcija turi būti bet kokių savavališkų savavališkos konstantos reikšmių lygties sprendimas.
- Esant nurodytai pradinei sąlygai, savavališka konstanta gali būti apibrėžta unikaliu būdu, kad gautas konkretus sprendimas atitiktų nurodytą pradinę sąlygą.
Praktikoje dažnai naudojama Koši problema – ieškant konkretaus sprendimo, kurį galima palyginti su pradžioje nustatyta sąlyga.
Koši teorema yra teorema, kuri pabrėžia konkretaus sprendimo egzistavimą ir unikalumą diferencialiniame skaičiavime.
Geometrinis pojūtis:
- Bendras sprendimas y=y(x;C)lygtis yra bendras integralinių kreivių skaičius.
- Diferencialinis skaičiavimas leidžia sujungti XOY plokštumos taško koordinates ir integralo kreivės liestinę.
- Pradinės sąlygos nustatymas reiškia taško plokštumoje nustatymą.
- Kai išspręsti Koši problemą reiškia, kad iš visos integralinių kreivių rinkinio, vaizduojančio tą patį lygties sprendimą, reikia pasirinkti vienintelį, einantį per vienintelį galimą tašką.
- Koši teoremos sąlygų įvykdymas taške reiškia, kad per pasirinktą plokštumos tašką būtinai eina integralinė kreivė (be to, tik viena).
Atskiriama kintamųjų lygtis
Pagal apibrėžimą diferencialinė lygtis yra lygtis, kurios dešinioji pusė apibūdina arba atspindi kaip dviejų funkcijų sandaugą (kartais santykį), kurių viena priklauso tik nuo "x", o kita - tik nuo "y". “. Aiškus tokio tipo pavyzdys: y'=f1(x)f2(y).
Norėdami išspręsti tam tikros formos lygtis, pirmiausia turite transformuoti išvestinę y'=dy/dx. Tada, manipuliuodami lygtimi, turite ją perkelti į formą, kurioje galėtumėte integruoti dvi lygties dalis. Po būtinų transformacijų sujungiame abi dalis ir supaprastiname rezultatą.
Homogeninės lygtys
Pagal apibrėžimą diferencialinė lygtis gali būti vadinama vienalyte, jei jos forma yra tokia: y'=g(y/x).
Šiuo atveju dažniausiai naudojamas pakaitalas y/x=t(x).
Norint išspręsti tokias lygtis, vienalytę lygtį reikia redukuoti į formą su atskiriamais kintamaisiais. Norėdami tai padaryti, turite atlikti šias operacijas:
- Rodymas, išreiškiantis pradinės funkcijos išvestinę iš bet kurios pradinės funkcijos kaip naują lygtį.
- Kitas žingsnis – gautą funkciją transformuoti į formą f(x;y)=g(y/x). Paprasčiau tariant, į lygtį įtraukite tik santykį y/x ir konstantas.
- Pakeiskite taip: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Atliktas pakeitimas padės padalinti kintamuosius lygtyje, palaipsniui pateikdamas paprastesnę formą.
Tiesinės lygtys
Tokių lygčių apibrėžimas yra toks: tiesinė diferencialinė lygtis yra lygtis, kurios dešinioji pusė išreiškiama kaip tiesinė išraiška pradinės funkcijos atžvilgiu. Norima funkcija šiuo atveju: y'=a(x)y + b(x).
Perfrazuokite apibrėžimą taip: bet kuri 1-osios eilės lygtis savo forma taps tiesinė, jei pradinė funkcija ir jos išvestinė bus įtrauktos į pirmojo laipsnio lygtį ir nėra padaugintos viena iš kitos. Tiesinės diferencialinės lygties „klasikinė forma“turi tokią struktūrą: y' + P(x)y=Q(x).
Prieš sprendžiant tokią lygtį, ją reikia paversti „klasikine forma“. Kitas žingsnis bus sprendimo metodo pasirinkimas: Bernoulli metodas arba Lagranžo metodas.
Spręskite lygtį sunaudojant Bernoulli įvestą metodą, reiškia tiesinės diferencialinės lygties pakeitimą ir sumažinimą į dvi lygtis su atskirais kintamaisiais, palyginti su funkcijomis U(x) ir V(x), kurios buvo pateiktos pradine forma.
Lagranžo metodas yra rasti bendrą pradinės lygties sprendimą.
- Reikia rasti tą patį homogeninės lygties sprendinį. Atlikę paiešką, turime funkciją y=y(x, C), kur C yra savavališka konstanta.
- Ieškome pradinės lygties sprendimo ta pačia forma, bet laikome C=C(x). Funkciją y=y(x, C(x)) pakeičiame pradine lygtimi, randame funkciją C(x) ir užrašome bendrosios pradinės lygties sprendinį.
Bernulio lygtis
Bernoulli lygtis – jei dešinioji skaičiavimo pusė įgauna formą f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, kur k yra bet kokia galima racionali skaitinė reikšmė, nepriimant kaip atvejai, kai k=0 ir k=1.
Jei k=1, tada skaičiavimas tampa atskiriamas, o kai k=0, lygtis išlieka tiesinė.
Panagrinėkime bendrą tokio tipo lygčių sprendimo atvejį. Turime standartinę Bernulio lygtį. Jis turi būti sumažintas iki tiesinės, tam reikia padalyti lygtį iš yk. Po šios operacijos pakeiskite z(x)=y1-k. Po transformacijų serijos lygtis bus sumažinta iki tiesinės, dažniausiai taikant pakeitimo metodą z=UV.
Lygtys bendruose diferencialuose
Apibrėžimas. Lygtis, kurios struktūra P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0, vadinama visa lygtimiskirtumai, jei įvykdoma ši sąlyga (šioje sąlygoje "d" yra dalinis skirtumas): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Visos anksčiau svarstytos pirmos eilės diferencialinės lygtys gali būti rodomos kaip diferencialai.
Tokie skaičiavimai sprendžiami keliais būdais. Tačiau jie visi prasideda nuo būklės patikrinimo. Jei sąlyga tenkinama, tada lygties kairioji sritis yra dar nežinomos funkcijos U(x;y) suminis diferencialas. Tada pagal lygtį dU (x; y) bus lygus nuliui, todėl tas pats lygties integralas suminiuose diferencialuose bus rodomas U (x; y) u003d C forma. lygties sprendimas redukuojamas iki funkcijos U (x; y).
Integravimo veiksnys
Jei sąlyga dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx netenkinama lygtyje, tada lygtis neturi tokios formos, kokią mes svarstėme aukščiau. Bet kartais galima pasirinkti kokią nors funkciją M(x;y), iš kurios padauginus lygtis įgauna lygties formą pilnais „diferiais“. Funkcija M (x;y) vadinama integravimo koeficientu.
Integratorių galima rasti tik tada, kai jis tampa tik vieno kintamojo funkcija.
