Tikros žinios visais laikais buvo pagrįstos modelio nustatymu ir jo tikrumo tam tikromis aplinkybėmis įrodymu. Tokiam ilgam loginio mąstymo egzistavimo laikotarpiui buvo pateiktos taisyklių formuluotės, o Aristotelis netgi sudarė „teisingo samprotavimo“sąrašą. Istoriškai yra įprasta visas išvadas skirstyti į du tipus – nuo konkretaus iki daugiskaitos (indukcija) ir atvirkščiai (dukcija). Reikėtų pažymėti, kad įrodymų tipai nuo konkretaus iki bendro ir nuo bendro iki konkretaus egzistuoja tik tarpusavyje ir negali būti keičiami.
Indukcija matematikoje
Sąvoka „indukcija“(indukcija) turi lotyniškas šaknis ir pažodžiui verčiama kaip „nurodymas“. Atidžiau panagrinėjus, galima išskirti žodžio struktūrą, būtent lotynišką priešdėlį - in- (žymi nukreiptą veiksmą į vidų arba buvimą viduje) ir -duction - įvadą. Verta paminėti, kad yra dviejų tipų - visiška ir nepilna indukcija. Visą formą apibūdina išvados, padarytos studijuojant visus tam tikros klasės dalykus.
Nebaigta – išvados,taikoma visiems klasės elementams, bet pagrįsta tik kai kurių vienetų tyrimu.
Visiška matematinė indukcija – išvada, pagrįsta bendra išvada apie visą bet kokių objektų, kurie yra funkciškai susiję natūralių skaičių serijų santykiais, klasę, remiantis žiniomis apie šį funkcinį ryšį. Šiuo atveju įrodinėjimo procesas vyksta trimis etapais:
- pirmajame įrodytas matematinės indukcijos teiginio teisingumas. Pavyzdys: f=1, tai yra indukcijos pagrindas;
- Kitas etapas pagrįstas prielaida, kad padėtis galioja visiems natūraliems skaičiams. Tai yra, f=h, tai yra indukcijos hipotezė;
- trečiame etape įrodomas skaičiaus f=h+1 padėties pagrįstumas, remiantis ankstesnės pastraipos padėties teisingumu - tai indukcinis perėjimas, arba matematinės indukcijos žingsnis. Pavyzdys yra vadinamasis „domino principas“: jei krenta pirmas kaulas iš eilės (pagrindas), tada krinta visi eilės akmenys (perėjimas).
Juokaujame ir rimtai
Siekiant lengviau suvokti, matematinės indukcijos metodo sprendimų pavyzdžiai yra pasmerkti kaip pokšto problemos. Tai mandagios eilės užduotis:
Elgesio taisyklės draudžia vyrui suktis prieš moterį (tokioje situacijoje ji išleidžiama į priekį). Remiantis šiuo teiginiu, jei paskutinis eilėje yra vyras, tai visi kiti yra vyrai
Įspūdingas matematinės indukcijos metodo pavyzdys yra „skraidymas be matmenų“:
Reikia įrodyti, kadmikroautobusas telpa bet kokiam žmonių skaičiui. Tiesa, vienas žmogus į transportą gali tilpti be vargo (pagrindas). Bet kad ir koks pilnas būtų mikroautobusas, jame visada tilps 1 keleivis (įvadinis žingsnis)
Pažįstami ratai
Uždavinių ir lygčių sprendimo matematine indukcija pavyzdžiai yra gana dažni. Kaip šio požiūrio iliustraciją, apsvarstykite šią problemą.
Sąlyga: plokštumoje yra h apskritimų. Reikia įrodyti, kad bet kokiam figūrų išdėstymui jų suformuotas žemėlapis gali būti teisingai nuspalvintas dviem spalvomis.
Sprendimas: kai h=1 teiginio teisingumas yra akivaizdus, todėl įrodymas bus sudarytas apskritimų skaičiui h+1.
Tarkime, kad teiginys teisingas bet kuriam žemėlapiui, o plokštumoje pateikti apskritimai h+1. Pašalinę vieną iš apskritimų iš bendros sumos, galite gauti teisingai nuspalvintą žemėlapį dviem spalvomis (juoda ir b alta).
Atkuriant ištrintą apskritimą, kiekvienos srities spalva pasikeičia į priešingą (šiuo atveju apskritimo viduje). Rezultatas yra žemėlapis, teisingai nuspalvintas dviem spalvomis, o tai turėjo būti įrodyta.
Pavyzdžiai su natūraliaisiais skaičiais
Matematinės indukcijos metodo taikymas parodytas žemiau.
Sprendimo pavyzdžiai:
Įrodykite, kad bet kurios h lygtis bus teisinga:
12+22+32+…+h 2=h(h+1)(2h+1)/6.
Sprendimas:
1. Tegul h=1, tada:
R1=12=1(1+1)(2+1)/6=1
Iš to išplaukia, kad esant h=1 teiginys yra teisingas.
2. Darant prielaidą, kad h=d, lygtis yra tokia:
R1=d2=d(d+1)(2d+1)/6=1
3. Darant prielaidą, kad h=d+1, išeina:
Rd+1=(d+1) (d+2) (2d+3)/6
Rd+1=12+22+3 2+…+d2+(d+1)2=d(d+1)(2d+1))/6+ (d+1)2=(d(d+1)(2d+1)+6(d+1)2 )/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d2+7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)(2d+3)/6.
Taigi įrodytas lygybės h=d+1 pagrįstumas, todėl teiginys teisingas bet kuriam natūraliajam skaičiui, kuris matematine indukcija parodytas sprendinio pavyzdyje.
Užduotis
Sąlyga: reikalingas įrodymas, kad bet kuriai h reikšmei išraiška 7h-1 dalijasi iš 6 be liekanos.
Sprendimas:
1. Tarkime, h=1, šiuo atveju:
R1=71-1=6 (t. y. dalijasi iš 6 be liekanos)
Taigi, kai h=1 teiginys yra teisingas;
2. Tegu h=d ir 7d-1 dalijasi iš 6 be liekanos;
3. Teiginio h=d+1 pagrįstumo įrodymas yra formulė:
Rd+1=7d+1 -1=7∙7d-7+6=7(7d-1)+6
Šiuo atveju pirmasis narys dalijasi iš 6 pagal pirmosios pastraipos prielaidą, o antrasisterminas yra 6. Teiginys, kad 7h-1 dalijasi iš 6 be liekanos bet kuriai natūraliajai h, yra teisingas.
Klaidingas sprendimas
Dažnai įrodymuose naudojami neteisingi samprotavimai dėl naudojamų loginių konstrukcijų netikslumo. Iš esmės taip nutinka, kai pažeidžiama įrodymo struktūra ir logika. Neteisingo samprotavimo pavyzdys yra ši iliustracija.
Užduotis
Sąlyga: reikia įrodyti, kad bet kokia akmenų krūva nėra krūva.
Sprendimas:
1. Tarkime h=1, šiuo atveju krūvoje yra 1 akmuo ir teiginys teisingas (pagrindas);
2. Tegul h=d yra tiesa, kad akmenų krūva nėra krūva (prielaida);
3. Tegu h=d+1, iš ko išplaukia, kad pridėjus dar vieną akmenį aibė nebus krūva. Išvada rodo, kad prielaida galioja visoms natūralioms h.
Klaida slypi tame, kad nėra apibrėžta, kiek akmenų sudaro krūvą. Toks praleidimas matematinės indukcijos metodu vadinamas skubotu apibendrinimu. Pavyzdys tai aiškiai parodo.
Indukcija ir logikos dėsniai
Istoriškai indukcijos ir dedukcijos pavyzdžiai visada eina koja kojon. Tokios mokslo disciplinos kaip logika, filosofija jas apibūdina kaip priešingybes.
Logikos dėsnio požiūriu indukciniai apibrėžimai remiasi faktais, o prielaidų tikrumas nenulemia gauto teiginio teisingumo. Dažnai gaunamaišvados, turinčios tam tikrą tikimybę ir tikimybę, kurios, žinoma, turi būti patikrintos ir patvirtintos papildomais tyrimais. Logikos indukcijos pavyzdys būtų teiginys:
Sausra Estijoje, sausa Latvijoje, sausa Lietuvoje.
Estija, Latvija ir Lietuva yra B altijos valstybės. Sausra visose B altijos šalyse.
Iš pavyzdžio galime daryti išvadą, kad naujos informacijos ar tiesos negalima gauti naudojant indukcijos metodą. Viskas, kuo galite pasikliauti, yra tam tikras išvadų teisingumas. Be to, patalpų teisingumas negarantuoja tų pačių išvadų. Tačiau šis faktas nereiškia, kad indukcija vegetuoja dedukcijos kieme: indukcijos metodu pagrindžiama daugybė nuostatų ir mokslinių dėsnių. Matematika, biologija ir kiti mokslai gali būti kaip pavyzdys. Tai daugiausia lemia visiškas indukcijos metodas, tačiau kai kuriais atvejais taikomas ir dalinis metodas.
Garbingas indukcijos amžius leido jai įsiskverbti į beveik visas žmogaus veiklos sritis – tai mokslas, ekonomika ir kasdienės išvados.
Indukcija mokslinėje aplinkoje
Indukcijos metodas reikalauja kruopštaus požiūrio, nes per daug priklauso nuo ištirtų visumos detalių skaičiaus: kuo didesnis tirtas skaičius, tuo patikimesnis rezultatas. Remiantis šia savybe, indukcijos būdu gauti moksliniai dėsniai yra ilgą laiką tikrinami tikimybinių prielaidų lygmeniu, siekiant išskirti ir ištirti visas įmanomaskonstrukciniai elementai, ryšiai ir įtaka.
Moksle indukcinė išvada grindžiama reikšmingomis savybėmis, išskyrus atsitiktines nuostatas. Šis faktas svarbus atsižvelgiant į mokslo žinių specifiką. Tai aiškiai matyti iš indukcijos moksle pavyzdžiuose.
Mokslo pasaulyje yra dviejų tipų indukcijos (susijusios su studijų būdu):
- indukcinis pasirinkimas (arba pasirinkimas);
- indukcija – išskyrimas (pašalinimas).
Pirmajam tipui būdingas metodinis (kruopštus) klasės (poklasių) atranka iš skirtingų jos sričių.
Šio tipo indukcijos pavyzdys yra toks: sidabras (arba sidabro druskos) valo vandenį. Išvada paremta ilgalaikiais stebėjimais (savotiška patvirtinimų ir paneigimų atranka – atranka).
Antrojo tipo indukcijos pagrindas yra išvados, kurios nustato priežastinius ryšius ir pašalina aplinkybes, kurios neatitinka jo savybių, ty universalumo, laiko sekos laikymasis, būtinumas ir vienareikšmiškumas.
Indukcija ir dedukcija filosofijos požiūriu
Jei pažvelgtumėte į istorinę retrospektyvą, terminą „indukcija“pirmasis paminėjo Sokratas. Aristotelis indukcijos pavyzdžius filosofijoje aprašė apytikslesniame terminų žodyne, tačiau nepilnos indukcijos klausimas lieka atviras. Po aristoteliškojo silogizmo persekiojimo indukcinis metodas buvo pradėtas pripažinti vaisingu ir vieninteliu įmanomu gamtos moksle. Bekonas laikomas indukcijos kaip savarankiško specialaus metodo tėvu, tačiau jam nepavyko atskirti,kaip reikalavo amžininkai, indukcija iš dedukcinio metodo.
Tolimesnę indukcijos plėtrą atliko J. Millas, indukcijos teoriją nagrinėjęs iš keturių pagrindinių metodų pozicijos: susitarimo, skirtumo, likučių ir atitinkamų pokyčių. Nenuostabu, kad šiandien išvardyti metodai, išsamiai išnagrinėjus, yra dedukciniai.
Suvokimas apie Bacono ir Millo teorijų nesėkmę paskatino mokslininkus ištirti tikimybinį indukcijos pagrindą. Tačiau net ir čia būta kraštutinumų: buvo bandoma sumažinti tikimybių teorijos indukciją su visomis iš to išplaukiančiomis pasekmėmis.
Indukcija sulaukia pasitikėjimo dėl praktinio taikymo tam tikrose dalykinėse srityse ir dėl metrinio indukcinio pagrindo tikslumo. Indukcijos ir dedukcijos pavyzdžiu filosofijoje galima laikyti visuotinės gravitacijos dėsnį. Įstatymo atradimo dieną Niutonas sugebėjo jį patikrinti 4 procentų tikslumu. Ir kai buvo išbandyta po daugiau nei dviejų šimtų metų, teisingumas buvo patvirtintas 0,0001 procento tikslumu, nors bandymas buvo atliktas su tais pačiais indukciniais apibendrinimais.
Šiuolaikinė filosofija daugiau dėmesio skiria dedukcijai, kurią padiktuoja logiškas noras gauti naujas žinias (ar tiesą) iš to, kas jau žinoma, nesikreipiant į patirtį, intuiciją, o naudojant „grynąjį“samprotavimą. Nurodant tikrąsias prielaidas dedukciniu metodu, visais atvejais išvestis yra teisingas teiginys.
Ši labai svarbi charakteristika neturėtų užgožti indukcinio metodo reikšmės. Nuo indukcijos, pasikliaudamas patirties pasiekimais,taip pat tampa jo apdorojimo priemone (įskaitant apibendrinimą ir sisteminimą).
Indukcijos taikymas ekonomikoje
Indukcija ir dedukcija jau seniai naudojami kaip ekonomikos tyrimo ir jos raidos prognozavimo metodai.
Indukcinio metodo panaudojimo spektras gana platus: prognozuojamų rodiklių (pelno, nusidėvėjimo ir kt.) išsipildymo tyrimas ir bendras įmonės būklės įvertinimas; formuoti veiksmingą įmonės skatinimo politiką, pagrįstą faktais ir jų santykiais.
Tas pats indukcijos metodas naudojamas Shewhart diagramose, kur, darant prielaidą, kad procesai skirstomi į valdomus ir nevaldomus, teigiama, kad valdomo proceso struktūra yra neaktyvi.
Pažymėtina, kad moksliniai dėsniai yra pateisinami ir patvirtinami naudojant indukcijos metodą, o kadangi ekonomika yra mokslas, kuris dažnai naudoja matematinę analizę, rizikos teoriją ir statistinius duomenis, nenuostabu, kad indukcija įtraukta į pagrindinių metodų sąrašas.
Toliau pateikta situacija gali būti ekonomikos indukcijos ir dedukcijos pavyzdys. Maisto (iš vartojimo krepšelio) ir būtiniausių prekių brangimas verčia vartotoją susimąstyti apie valstybėje atsirandantį aukštą savikainą (indukcija). Tuo pačiu iš brangumo fakto, naudojant matematinius metodus, galima išvesti atskirų prekių ar prekių kategorijų kainų padidėjimo rodiklius (atskaita).
Dažniausiai vadovaujantys darbuotojai, vadovai ir ekonomistai remiasi indukcijos metodu. Tam, kadbuvo galima pakankamai tiksliai numatyti įmonės plėtrą, rinkos elgesį, konkurencijos pasekmes, reikalingas indukcinis-dukcinis požiūris į informacijos analizę ir apdorojimą.
Iliustratyvus ekonomikos indukcijos pavyzdys, susijęs su klaidingais sprendimais:
-
įmonės pelnas sumažėjo 30%;
konkurentas plečia produktų asortimentą;
daugiau niekas nepasikeitė;
- konkurento gamybos politika sumažino pelną 30 %;
- todėl reikia įgyvendinti tą pačią gamybos politiką.
Pavyzdys yra spalvinga iliustracija, kaip netinkamas indukcijos metodo naudojimas prisideda prie įmonės žlugimo.
Psichologijos dedukcija ir indukcija
Kadangi yra metodas, tai, logiškai mąstant, yra ir tinkamai organizuotas mąstymas (naudoti metodą). Psichologija kaip mokslas, tiriantis psichikos procesus, jų formavimąsi, vystymąsi, santykius, sąveikas, atkreipia dėmesį į „dedukcinį“mąstymą kaip vieną iš dedukcijos ir indukcijos pasireiškimo formų. Deja, psichologijos puslapiuose internete dedukcinio-indukcinio metodo vientisumas praktiškai nepateisinamas. Nors profesionalūs psichologai dažniau susiduria su indukcijos apraiškomis, tiksliau, klaidingomis išvadomis.
Psichologijos indukcijos pavyzdys, kaip klaidingų sprendimų iliustracija, yra teiginys: mano mama yra apgavikė, todėl visos moterys yra apgaudinėjos. Galite sužinoti dar daugiau „klaidingų“įtraukimo iš gyvenimo pavyzdžių:
- mokinys nieko nesugeba, jei iš matematikos gavo dvejetą;
- jis kvailys;
- jis protingas;
- Aš galiu padaryti bet ką;
- ir daugelis kitų vertybinių sprendimų, pagrįstų visiškai atsitiktiniais ir kartais nereikšmingais pranešimais.
Pažymėtina: kai žmogaus sprendimų klaidingumas pasiekia absurdo tašką, psichoterapeutui kyla darbo frontas. Vienas supažindinimo su specialistu pavyzdys:
„Pacientas yra visiškai tikras, kad raudona spalva jam kelia tik pavojų bet kokiomis apraiškomis. Dėl to žmogus šią spalvų gamą išbraukė iš savo gyvenimo – kiek įmanoma. Namų aplinkoje yra daug galimybių patogiai gyventi. Galite atsisakyti visų raudonų daiktų arba pakeisti juos analogais, pagamintais pagal kitą spalvų schemą. Tačiau viešose vietose, darbe, parduotuvėje – tai neįmanoma. Atsidūręs stresinėje situacijoje, pacientas kiekvieną kartą patiria visiškai skirtingų emocinių būsenų „potvynį“, kuris gali būti pavojingas kitiems.“
Šis indukcijos pavyzdys nesąmoningai vadinamas „fiksuotomis idėjomis“. Jei taip atsitinka psichiškai sveikam žmogui, galime kalbėti apie psichikos veiklos organizavimo stoką. Elementarus dedukcinio mąstymo ugdymas gali tapti būdu atsikratyti įkyrių būsenų. Kitais atvejais su tokiais pacientais dirba psichiatrai.
Aukščiau pateikti indukcijos pavyzdžiai rodo, kad „įstatymo nežinojimas to nedaroišlaisvina nuo pasekmių (klaidingų sprendimų).“
Psichologai, dirbdami su dedukcinio samprotavimo tema, sudarė rekomendacijų, skirtų padėti žmonėms įsisavinti šį metodą, sąrašą.
Pirmasis elementas yra problemų sprendimas. Kaip matyti, matematikoje naudojama indukcijos forma gali būti laikoma „klasikine“, o šio metodo naudojimas prisideda prie proto „disciplinavimo“.
Kita sąlyga dedukcinio mąstymo ugdymui – akiračio plėtimas (aiškiai mąstantys, aiškiai teigia). Ši rekomendacija nukreipia „pakentėjusiesiems“į mokslo ir informacijos lobius (bibliotekas, svetaines, švietimo iniciatyvas, keliones ir kt.).
Tikslumas yra kita rekomendacija. Juk iš indukcijos metodų naudojimo pavyzdžių aiškiai matyti, kad tai daugeliu atžvilgių yra teiginių teisingumo garantija.
Jie neaplenkė proto lankstumo, o tai reiškia galimybę naudoti skirtingus būdus ir metodus sprendžiant problemą, taip pat atsižvelgti į įvykių raidos kintamumą.
Ir, žinoma, stebėjimas, kuris yra pagrindinis empirinės patirties š altinis.
Ypatingai reikėtų paminėti vadinamąją „psichologinę indukciją“. Šį terminą, nors ir retai, galima rasti internete. Visuose š altiniuose nepateikiama bent trumpa šio termino apibrėžimo formuluotė, o nurodomi „gyvenimo pavyzdžiai“, pateikiant arba įtaigą, arba kai kurias psichikos ligos formas kaip naują indukcijos tipą,Tai yra kraštutinės žmogaus psichikos būsenos. Iš viso to, kas išdėstyta aukščiau, aišku, kad bandymas išvesti „naują terminą“, pagrįstą klaidingomis (dažnai netikromis) prielaidomis, pasmerkia eksperimentuotoją gauti klaidingą (arba skubotą) teiginį.
Pažymėtina, kad nuoroda į 1960 m. eksperimentus (nenurodant vietos, eksperimento dalyvių pavardžių, tiriamųjų imties ir, svarbiausia, eksperimento tikslo) atrodo, švelniai tariant., neįtikina, o teiginys, kad smegenys informaciją suvokia aplenkdamos visus suvokimo organus (frazė „paveikiama“šiuo atveju tiktų organiškiau), verčia susimąstyti apie teiginio autoriaus patiklumą ir nekritiškumą.
Vietoj išvados
Mokslų karalienė – matematika, sąmoningai naudoja visus įmanomus indukcijos ir dedukcijos metodo rezervus. Apsvarstyti pavyzdžiai leidžia daryti išvadą, kad paviršutiniškas ir neapgalvotas (kaip sakoma neapgalvotas) net pačių tiksliausių ir patikimiausių metodų taikymas visada veda prie klaidingų rezultatų.
Masinėje sąmonėje dedukcijos metodas siejamas su garsiuoju Šerloku Holmsu, kuris savo loginėse konstrukcijose dažnai naudoja indukcijos pavyzdžius, naudodamas dedukciją būtinose situacijose.
Straipsnyje buvo nagrinėjami šių metodų taikymo įvairiuose moksluose ir žmogaus gyvenimo srityse pavyzdžiai.
