Tikimybių teorijos studijos prasideda sprendžiant tikimybių sudėties ir daugybos uždavinius. Iš karto verta paminėti, kad įsisavindamas šią žinių sritį studentas gali susidurti su problema: jei fizikinius ar cheminius procesus galima pavaizduoti vizualiai ir suprasti empiriškai, tai matematinės abstrakcijos lygis yra labai aukštas, o supratimas čia ateina tik su patirtis.
Tačiau žaidimas vertas žvakės, nes formulės – tiek šiame straipsnyje aptartos, tiek sudėtingesnės – šiandien naudojamos visur ir gali būti naudingos darbe.
Kilmė
Kaip bebūtų keista, impulsas plėtoti šią matematikos dalį buvo… azartiniai lošimai. Iš tiesų, kauliukai, monetų metimas, pokeris, ruletė yra tipiški pavyzdžiai, kuriuose naudojamas tikimybių sudėjimas ir dauginimas. Bet kurio vadovėlio užduočių pavyzdyje tai galima aiškiai matyti. Žmonėms buvo įdomu sužinoti, kaip padidinti savo šansus laimėti, ir turiu pasakyti, kad kai kuriems tai pavyko.
Pavyzdžiui, jau XXI amžiuje vienas asmuo, kurio vardo neatskleisime,panaudojo šias per šimtmečius sukauptas žinias, kad pažodžiui „išvalytų“kazino, laimėdama kelias dešimtis milijonų dolerių ruletėje.
Tačiau, nepaisant padidėjusio susidomėjimo šia tema, tik XX amžiuje buvo sukurta teorinė sistema, dėl kurios „teoreris“tapo visaverčiu matematikos komponentu. Šiandien beveik bet kuriame moksle galite atlikti skaičiavimus naudojant tikimybinius metodus.
Taikomumas
Svarbus momentas naudojant tikimybių sudėties ir daugybos formules, sąlyginė tikimybė yra centrinės ribos teoremos tenkinamumas. Priešingu atveju, nors mokinys to gali ir nesuvokti, visi skaičiavimai, kad ir kokie tikėtini jie atrodytų, bus neteisingi.
Taip, labai motyvuotas besimokantysis yra linkęs pasinaudoti naujomis žiniomis kiekviena proga. Tačiau šiuo atveju reikėtų šiek tiek sulėtinti tempą ir griežtai apibrėžti taikymo sritį.
Tikimybių teorija nagrinėja atsitiktinius įvykius, kurie empiriškai yra eksperimentų rezultatai: galime mesti šešiapusį kauliuką, ištraukti kortą iš kaladės, numatyti sugedusių dalių skaičių partijoje. Tačiau kai kuriuose klausimuose kategoriškai neįmanoma naudoti formulių iš šios matematikos dalies. Įvykio tikimybių svarstymo ypatumus, įvykių sudėjimo ir daugybos teoremas aptarsime straipsnio pabaigoje, bet kol kas pereikime prie pavyzdžių.
Pagrindinės sąvokos
Atsitiktinis įvykis reiškia tam tikrą procesą arba rezultatą, kuris gali pasirodyti arba nepasirodytikaip eksperimento rezultatas. Pavyzdžiui, mesti sumuštinį – jis gali nukristi sviestu aukštyn arba sviestu žemyn. Bet kuris iš dviejų rezultatų bus atsitiktinis, ir mes iš anksto nežinome, kuris iš jų įvyks.
Studijuojant tikimybių sudėtį ir daugybą, mums reikia dar dviejų sąvokų.
Bendri įvykiai yra tie įvykiai, kurių įvykimas neatmeta galimybės įvykti kito. Tarkime, į taikinį vienu metu šaudo du žmonės. Jei vienas iš jų iššauna sėkmingą šūvį, tai neturės įtakos kito gebėjimui pataikyti ar nepataikyti.
Nenuoseklūs bus tokie įvykiai, kurių įvykimas kartu yra neįmanomas. Pavyzdžiui, ištraukę tik vieną rutulį iš dėžutės, negalėsite iš karto gauti mėlynos ir raudonos spalvos.
Pavadinimas
Tikimybės sąvoka žymima lotyniška didžiąja raide P. Toliau skliausteliuose yra argumentai, žymintys kai kuriuos įvykius.
Sudėties teoremos, sąlyginės tikimybės, daugybos teoremos formulėse skliausteliuose matysite išraiškas, pvz.: A+B, AB arba A|B. Jie bus skaičiuojami įvairiais būdais, dabar mes juos kreipsime.
Papildymas
Panagrinėkime atvejus, kai naudojamos sudėties ir daugybos formulės.
Nesuderinamiems įvykiams tinka paprasčiausia sudėjimo formulė: bet kurio atsitiktinio rezultato tikimybė bus lygi kiekvieno iš šių rezultatų tikimybių sumai.
Tarkime, yra dėžutė su 2 mėlynais, 3 raudonais ir 5 geltonais balionais. Iš viso dėžutėje yra 10 prekių. Koks teiginio, kad nupiešime mėlyną arba raudoną rutulį, teisingumo procentas? Jis bus lygus 2/10 + 3/10, t. y. penkiasdešimt procentų.
Nesuderinamų įvykių atveju formulė tampa sudėtingesnė, nes pridedamas papildomas terminas. Prie jo grįšime vienoje pastraipoje, apsvarstę dar vieną formulę.
Daugyba
Nepriklausomų įvykių tikimybių sudėjimas ir dauginimas naudojamas skirtingais atvejais. Jei pagal eksperimento sąlygas mus tenkina bet kuris iš dviejų galimų rezultatų, apskaičiuosime sumą; jei norime gauti du tam tikrus rezultatus vienas po kito, naudosime kitą formulę.
Grįždami į pavyzdį iš ankstesnės dalies, pirmiausia norime nupiešti mėlyną rutulį, o tada raudoną. Pirmas mums žinomas skaičius yra 2/10. Kas bus toliau? Liko 9 kamuoliukai, dar tiek pat liko raudonų – trys vnt. Pagal skaičiavimus gausite 3/9 arba 1/3. Bet ką dabar daryti su dviem skaičiais? Teisingas atsakymas yra padauginti, kad gautumėte 2/30.
Bendri renginiai
Dabar galime dar kartą peržiūrėti bendrų renginių sumos formulę. Kodėl mes nukrypstame nuo temos? Norėdami sužinoti, kaip dauginamos tikimybės. Dabar šios žinios pravers.
Jau žinome, kokie bus pirmieji du terminai (toks pat kaip ir anksčiau aptartoje sudėjimo formulėje), dabar turime atimtitikimybių sandauga, kurią ką tik išmokome apskaičiuoti. Aiškumo dėlei parašome formulę: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Pasirodo, vienoje išraiškoje naudojamas ir tikimybių sudėjimas, ir daugyba.
Tarkime, kad turime išspręsti vieną iš dviejų problemų, kad gautume kreditą. Pirmąjį galime išspręsti su 0,3 tikimybe, o antrąjį - 0,6. Sprendimas: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72 Atkreipkite dėmesį, kad čia nepakaks vien susumuoti skaičius.
Sąlyginė tikimybė
Pagaliau yra sąlyginės tikimybės sąvoka, kurios argumentai nurodyti skliausteliuose ir atskirti vertikalia juosta. Įrašas P(A|B) skamba taip: „įvykio A duoto įvykio B tikimybė“.
Pažiūrėkime į pavyzdį: draugas duoda jums kokį nors įrenginį, tebūnie tai telefonas. Jis gali būti sulūžęs (20%) arba geras (80%). Jūs galite suremontuoti bet kurį įrenginį, kuris patenka į jūsų rankas su tikimybe 0,4 arba nesugebate to padaryti (0,6). Galiausiai, jei įrenginys veikia, galite pasiekti reikiamą asmenį su 0,7 tikimybe.
Sunku suprasti, kaip šiuo atveju veikia sąlyginė tikimybė: sugedus telefonui prie žmogaus nepasieksite, o jei jis geras, taisyti nereikia. Taigi, norėdami gauti kokių nors rezultatų „antrame lygyje“, turite žinoti, koks įvykis buvo įvykdytas pirmajame.
Skaičiavimai
Panagrinėkime tikimybių sudėties ir daugybos uždavinių sprendimo pavyzdžius, naudodamiesi ankstesnės pastraipos duomenimis.
Pirma, suraskime tikimybę, kad jūspataisykite jums duotą įrenginį. Norėdami tai padaryti, pirma, jis turi būti sugedęs, antra, turite susidoroti su remontu. Tai tipiška daugybos problema: gauname 0,20,4=0,08.
Kokia tikimybė, kad iškart pateksite į reikiamą žmogų? Paprasčiau nei paprasta: 0,80,7=0,56. Šiuo atveju pastebėjote, kad telefonas veikia, ir sėkmingai paskambinote.
Galų gale apsvarstykite šį scenarijų: gavote sugedusį telefoną, jį sutvarkėte, tada surinkote numerį, o kitame gale esantis asmuo atsiliepė telefonu. Čia jau reikia padauginti tris komponentus: 0, 20, 40, 7=0, 056.
O ką daryti, jei vienu metu turite du neveikiančius telefonus? Kokia tikimybė, kad sutvarkysite bent vieną iš jų? Tai yra tikimybių sudėties ir daugybos problema, nes naudojami bendri įvykiai. Sprendimas: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Atsargiai naudokitės
Kaip minėta straipsnio pradžioje, tikimybių teorija turėtų būti naudojama apgalvotai ir sąmoningai.
Kuo didesnė eksperimentų serija, tuo teoriškai numatoma vertė priartėja prie praktinės. Pavyzdžiui, mes metame monetą. Teoriškai, žinodami apie tikimybių sudėjimo ir daugybos formulių egzistavimą, galime numatyti, kiek kartų galvos ir uodegos iškris, jei eksperimentą atliksime 10 kartų. Atlikome eksperimentą irAtsitiktinai nukritusių pusių santykis buvo 3 prieš 7. Bet jei atliekate 100, 1000 ar daugiau bandymų seriją, paaiškėja, kad pasiskirstymo grafikas vis labiau artėja prie teorinio: 44 prie 56, 482 iki 518 ir pan.
Dabar įsivaizduokite, kad šis eksperimentas atliekamas ne su moneta, o gaminant kokią nors naują cheminę medžiagą, kurios tikimybės mes nežinome. Atliktume 10 eksperimentų ir, jei negautume sėkmingo rezultato, galėtume apibendrinti: „medžiagos gauti negalima“. Bet kas žino, ar būtume pasiekę tikslą, ar būtume pasiekę tikslą, ar ne?
Taigi, jei einate į nežinomybę, neištirtą sritį, tikimybių teorija gali netikti. Kiekvienas paskesnis bandymas šiuo atveju gali būti sėkmingas, o apibendrinimai, pvz., „X neegzistuoja“arba „X neįmanoma“, bus per anksti.
Baigiamasis žodis
Taigi, mes išnagrinėjome dviejų tipų sudėtį, daugybą ir sąlygines tikimybes. Toliau studijuojant šią sritį, būtina išmokti atskirti situacijas, kai naudojama kiekviena konkreti formulė. Be to, turite suprasti, ar tikimybiniai metodai paprastai yra taikomi sprendžiant jūsų problemą.
Jei praktikuosite, po kurio laiko visas reikalingas operacijas pradėsite atlikti išskirtinai mintyse. Tiems, kurie mėgsta kortų žaidimus, šis įgūdis gali būti laikomasitin vertingas – ženkliai padidinsite savo šansus laimėti, vien tik paskaičiavę tikimybę, kad tam tikra korta ar kostiumas iškris. Tačiau įgytas žinias galima nesunkiai pritaikyti kitose veiklos srityse.
