Tikimybių teorija yra speciali matematikos šaka, kurią studijuoja tik aukštųjų mokyklų studentai. Ar jums patinka skaičiavimai ir formulės? Ar nebijote pažinties su normaliuoju skirstiniu, ansamblio entropija, matematinių lūkesčių ir diskretiškojo atsitiktinio dydžio dispersijos perspektyvų? Tada ši tema jus labai sudomins. Susipažinkime su kai kuriomis svarbiausiomis pagrindinėmis šios mokslo dalies sąvokomis.
Prisiminkite pagrindus
Net jei prisimenate paprasčiausias tikimybių teorijos sąvokas, nepamirškite pirmųjų straipsnio pastraipų. Faktas yra tas, kad be aiškaus pagrindinių dalykų supratimo negalėsite dirbti su toliau aptartomis formulėmis.
Taigi, yra atsitiktinis įvykis, eksperimentas. Dėl atliktų veiksmų galime sulaukti kelių baigčių – vieni dažnesni, kiti rečiau. Įvykio tikimybė yra faktiškai gautų vieno tipo rezultatų skaičiaus ir bendro galimų rezultatų skaičiaus santykis. Tik žinodami klasikinį šios sąvokos apibrėžimą, galite pradėti studijuoti tolydžio matematinį lūkestį ir dispersiją.atsitiktiniai dydžiai.
Aritmetinis vidurkis
Dar mokykloje, matematikos pamokose, pradėjote dirbti su aritmetiniu vidurkiu. Ši sąvoka plačiai naudojama tikimybių teorijoje, todėl jos negalima ignoruoti. Šiuo metu mums svarbiausia, kad su tuo susidursime atsitiktinio dydžio matematinio lūkesčio ir dispersijos formulėse.
Turime skaičių seką ir norime rasti aritmetinį vidurkį. Viskas, ko iš mūsų reikalaujama, yra susumuoti viską, kas turima, ir padalyti iš sekos elementų skaičiaus. Turėkime skaičius nuo 1 iki 9. Elementų suma bus 45, o šią reikšmę padalinsime iš 9. Atsakymas: - 5.
Dispersija
Moksliškai kalbant, dispersija yra gautų požymių reikšmių nuokrypių nuo aritmetinio vidurkio kvadratas. Vienas žymimas didžiąja lotyniška raide D. Ko reikia jai apskaičiuoti? Kiekvienam sekos elementui apskaičiuojame skirtumą tarp turimo skaičiaus ir aritmetinio vidurkio ir jį kvadratu. Bus lygiai tiek daug vertybių, kiek gali būti renginio, kurį svarstome, rezultatų. Toliau apibendriname viską, ką gavome, ir padaliname iš sekos elementų skaičiaus. Jei turime penkis galimus rezultatus, padalinkite iš penkių.
Dispersija taip pat turi savybių, kurias reikia atsiminti, kad ją pritaikytumėte sprendžiant problemas. Pavyzdžiui, jei atsitiktinis dydis padidinamas X kartų, dispersija padidėja X kartų kvadratu (t. y. XX). Jis niekada nėra mažesnis už nulį ir nuo to nepriklausoreikšmių perkėlimas vienoda reikšme aukštyn arba žemyn. Be to, nepriklausomų bandymų atveju sumos dispersija yra lygi dispersijų sumai.
Dabar neabejotinai turime apsvarstyti diskrečiojo atsitiktinio dydžio dispersijos ir matematinio lūkesčio pavyzdžius.
Tarkime, atlikome 21 eksperimentą ir gavome 7 skirtingus rezultatus. Kiekvieną iš jų stebėjome atitinkamai 1, 2, 2, 3, 4, 4 ir 5 kartus. Koks bus nuokrypis?
Pirmiausia apskaičiuokime aritmetinį vidurkį: elementų suma, žinoma, yra 21. Padalinkite ją iš 7, gaudami 3. Dabar iš kiekvieno pradinės sekos skaičiaus atimkite 3, kiekvieną reikšmę padėkite kvadratu ir pridėkite rezultatus kartu. Pasirodo, 12. Dabar mums belieka skaičių padalyti iš elementų skaičiaus, ir, atrodytų, viskas. Bet yra laimikis! Aptarkime tai.
Priklausomybė nuo eksperimentų skaičiaus
Pasirodo, kad skaičiuojant dispersiją, vardiklis gali būti vienas iš dviejų skaičių: arba N, arba N-1. Čia N yra atliktų eksperimentų skaičius arba sekos elementų skaičius (kuris iš tikrųjų yra tas pats). Nuo ko tai priklauso?
Jei testų skaičius matuojamas šimtais, tai į vardiklį turime įrašyti N. Jei vienetais, tai N-1. Mokslininkai nusprendė ribą nubrėžti gana simboliškai: šiandien ji eina išilgai skaičiaus 30. Jei atlikome mažiau nei 30 eksperimentų, tada skaičių padalinsime iš N-1, o jei daugiau, tai iš N.
Užduotis
Grįžkime prie mūsų dispersijos ir lūkesčių problemos sprendimo pavyzdžio. Mesgavo tarpinį skaičių 12, kurį reikėjo padalyti iš N arba N-1. Kadangi atlikome 21 eksperimentą, tai yra mažiau nei 30, pasirinksime antrąjį variantą. Taigi atsakymas yra toks: dispersija yra 12/2=2.
Lūkesys
Pereikime prie antrosios koncepcijos, kurią turime apsvarstyti šiame straipsnyje. Matematinis lūkestis yra visų galimų rezultatų, padaugintų iš atitinkamų tikimybių, rezultatas. Svarbu suprasti, kad gauta reikšmė, kaip ir dispersijos apskaičiavimo rezultatas, visai užduočiai gauti tik vieną kartą, nesvarbu, kiek rezultatų ji atsižvelgtų.
Tikėjimo formulė gana paprasta: paimame rezultatą, padauginame jį iš tikimybės, pridedame tą patį antram, trečiam rezultatui ir tt Viską, kas susiję su šia sąvoka, lengva apskaičiuoti. Pavyzdžiui, matematinių lūkesčių suma yra lygi matematiniam sumos lūkesčiui. Tas pats pasakytina ir apie darbą. Ne kiekvienas dydis tikimybių teorijoje leidžia atlikti tokias paprastas operacijas. Paimkime užduotį ir apskaičiuokime dviejų ištirtų sąvokų reikšmę vienu metu. Be to, mus blaškė teorija – laikas praktikuotis.
Kitas pavyzdys
Atlikome 50 bandymų ir gavome 10 rūšių rezultatų – skaičiai nuo 0 iki 9 – pateikiami skirtingais procentais. Tai yra atitinkamai: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Prisiminkite, kad norint gauti tikimybes, reikia padalyti procentines reikšmes iš 100. Taigi gauname 0,02; 0, 1 ir kt. Pavaizduokime atsitiktinumo dispersijąreikšmės ir matematinių lūkesčių problemos sprendimo pavyzdys.
Apskaičiuokite aritmetinį vidurkį naudodami formulę, kurią prisimename iš pradinės mokyklos: 50/10=5.
Dabar išverskime tikimybes į rezultatų skaičių „gabalais“, kad būtų lengviau skaičiuoti. Gauname 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ir 9. Iš kiekvienos gautos reikšmės atimame aritmetinį vidurkį, po kurio kiekvieną gautą rezultatą padalome kvadratu. Pažiūrėkite, kaip tai padaryti naudojant pirmąjį elementą kaip pavyzdį: 1 - 5=(-4). Toliau: (-4)(-4)=16. Jei norite naudoti kitas reikšmes, atlikite šiuos veiksmus patys. Jei viską padarėte teisingai, sudėję visus tarpinius rezultatus gausite 90.
Tęskite dispersijos ir vidurkio skaičiavimą, padalydami 90 iš N. Kodėl pasirenkame N, o ne N-1? Teisingai, nes atliktų eksperimentų skaičius viršija 30. Taigi: 90/10=9. Gavome dispersiją. Jei gausite kitą numerį, nenusiminkite. Greičiausiai skaičiavimuose padarėte banalią klaidą. Dar kartą patikrinkite, ką parašėte, ir viskas tikrai atsistos į savo vietas.
Pagaliau prisiminkime lūkesčių formulę. Visų skaičiavimų nepateiksime, tik parašysime atsakymą, su kuriuo galėsite pasitikrinti atlikę visas reikalingas procedūras. Tikėtis bus lygi 5, 48. Mes tik prisimename, kaip atlikti operacijas, naudodamiesi pirmųjų elementų pavyzdžiu: 00, 02 + 10, 1… ir pan. Kaip matote, mes tiesiog padauginame rezultato vertę iš jo tikimybės.
Nukrypimas
Kita sąvoka, glaudžiai susijusi su dispersija ir numatoma vertestandartinis nuokrypis. Jis žymimas arba lotyniškomis raidėmis sd, arba graikiškomis mažosiomis raidėmis „sigma“. Ši koncepcija parodo, kaip vidutiniškai vertės nukrypsta nuo pagrindinės savybės. Norėdami rasti jo reikšmę, turite apskaičiuoti dispersijos kvadratinę šaknį.
Jei sukuriate normalaus skirstinio grafiką ir norite tiesiogiai jame matyti standartinio nuokrypio reikšmę, tai galima padaryti keliais etapais. Paimkite pusę vaizdo į kairę arba į dešinę nuo režimo (centrinė vertė), nubrėžkite statmeną horizontaliai ašiai, kad gautų figūrų plotai būtų lygūs. Atkarpos tarp skirstinio vidurio ir gautos projekcijos į horizontaliąją ašį reikšmė bus standartinis nuokrypis.
Programinė įranga
Kaip matote iš formulių aprašymų ir pateiktų pavyzdžių, dispersijos ir matematinių lūkesčių skaičiavimas nėra pati lengviausia procedūra aritmetiniu požiūriu. Kad nebūtų gaištas laikas, prasminga naudoti aukštosiose mokyklose naudojamą programą – ji vadinasi „R“. Jame yra funkcijų, leidžiančių apskaičiuoti daugelio sąvokų reikšmes iš statistikos ir tikimybių teorijos.
Pavyzdžiui, jūs apibrėžiate reikšmių vektorių. Tai daroma taip: vektorius <-c(1, 5, 2…). Dabar, kai reikia apskaičiuoti kai kurias šio vektoriaus reikšmes, parašote funkciją ir pateikiate ją kaip argumentą. Norėdami rasti dispersiją, turėsite naudoti var. Jos pavyzdysnaudojimas: var(vektorius). Tada tiesiog paspauskite „enter“ir gausite rezultatą.
Pabaigoje
Variantas ir matematinis lūkestis yra pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos, be kurių sunku ką nors apskaičiuoti ateityje. Pagrindiniame paskaitų kurse universitetuose jos svarstomos jau pirmaisiais dalyko studijų mėnesiais. Būtent dėl šių paprastų sąvokų nesuvokimo ir nesugebėjimo jų apskaičiuoti daugelis studentų iškart pradeda atsilikti nuo programos, o vėliau sesijos pabaigoje gauna prastus pažymius, o tai atima stipendijas.
Praktikuokite bent vieną savaitę po pusvalandį per dieną, spręsdami problemas, panašias į pateiktas šiame straipsnyje. Tada atlikdami bet kokį tikimybių teorijos testą susidorosite su pavyzdžiais be pašalinių patarimų ir apgaulingų lapų.
