Norint rasti atsitiktinių dydžių ir jų kintamųjų pasiskirstymo funkcijas, būtina ištirti visas šios žinių srities ypatybes. Yra keletas skirtingų metodų, kaip rasti atitinkamas reikšmes, įskaitant kintamojo keitimą ir momento generavimą. Paskirstymas yra sąvoka, pagrįsta tokiais elementais kaip dispersija, variacijos. Tačiau jie apibūdina tik sklaidos amplitudės laipsnį.
Svarbesnės atsitiktinių dydžių funkcijos yra susijusios ir nepriklausomos bei tolygiai paskirstytos. Pavyzdžiui, jei X1 yra atsitiktinai atrinkto individo iš vyrų populiacijos svoris, X2 yra kito, …, o Xn yra dar vieno asmens iš vyrų populiacijos svoris, tuomet turime žinoti, kaip atsitiktinė funkcija. X yra platinamas. Šiuo atveju taikoma klasikinė teorema, vadinama centrine ribine teorema. Tai leidžia parodyti, kad didelėms n funkcijai būdingi standartiniai skirstiniai.
Vieno atsitiktinio dydžio funkcijos
Centrinė ribos teorema skirta apytiksliai apytiksliai įvertinti nagrinėjamas atskiras reikšmes, tokias kaip dvinario ir Puasono. Atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcijos visų pirma nagrinėjamos paprastomis vieno kintamojo reikšmėmis. Pavyzdžiui, jei X yra nuolatinis atsitiktinis kintamasis, turintis savo tikimybių skirstinį. Šiuo atveju mes tiriame, kaip rasti Y tankio funkciją naudojant du skirtingus metodus, būtent pasiskirstymo funkcijos metodą ir kintamojo pokytį. Pirma, atsižvelgiama tik į „vienas su vienu“reikšmes. Tada reikia modifikuoti kintamojo keitimo techniką, kad rastumėte jo tikimybę. Galiausiai turime sužinoti, kaip atvirkštinio kaupiamojo skirstinio funkcija gali padėti modeliuoti atsitiktinius skaičius, kurie atitinka tam tikrus nuoseklius modelius.
Nagrinėjamų verčių paskirstymo metodas
Atsitiktinio dydžio tikimybių pasiskirstymo funkcijos metodas yra taikomas norint rasti jo tankį. Taikant šį metodą, apskaičiuojama kaupiamoji vertė. Tada, diferencijuodami jį, galite gauti tikimybių tankį. Dabar, kai turime paskirstymo funkcijos metodą, galime pažvelgti į dar kelis pavyzdžius. Tegu X yra nuolatinis atsitiktinis kintamasis su tam tikru tikimybių tankiu.
Kokia yra x2 tikimybės tankio funkcija? Jei pažiūrėsite arba pavaizduosite funkciją (viršuje ir dešinėje) y \u003d x2, galite pastebėti, kad tai didėjantis X ir 0 <y<1. Dabar reikia naudoti nagrinėjamą metodą Y rasti. Pirma, randama kumuliacinė skirstinio funkcija, tereikia diferencijuoti, kad gautumėte tikimybių tankį. Tai padarę gauname: 0<y<1. Paskirstymo metodas buvo sėkmingai įgyvendintas norint rasti Y, kai Y yra didėjanti X funkcija. Beje, f(y) integruojasi į 1 per y.
Paskutiniame pavyzdyje labai atsargiai buvo indeksuojamos kumuliacinės funkcijos ir tikimybės tankis su X arba Y, kad būtų nurodyta, kuriam atsitiktiniam kintamajam jie priklauso. Pavyzdžiui, radę Y kaupiamojo skirstinio funkciją, gavome X. Jei reikia rasti atsitiktinį kintamąjį X ir jo tankį, tereikia jį diferencijuoti.
Kintamojo keitimo technika
Tegul X yra nuolatinis atsitiktinis kintamasis, kurį suteikia skirstymo funkcija, kurios bendras vardiklis f (x). Šiuo atveju, jei y reikšmę įdedate į X=v (Y), tada gausite x reikšmę, pavyzdžiui, v (y). Dabar turime gauti ištisinio atsitiktinio dydžio Y skirstinio funkciją. Pirmoji ir antroji lygybė vyksta pagal kaupiamojo Y apibrėžimą. Trečioji lygybė galioja, nes funkcijos dalis, kuriai u (X) ≦ y yra taip pat tiesa, kad X ≦ v (Y). Ir paskutinis yra atliktas norint nustatyti tikimybę ištisiniame atsitiktiniame kintamajame X. Dabar turime paimti FY (y) išvestinę, kaupiamąją Y skirstinio funkciją, kad gautume tikimybės tankį Y.
Sumažinimo funkcijos apibendrinimas
Tegul X yra nenutrūkstamas atsitiktinis kintamasis su bendru f (x), apibrėžtu c1<x<c2. Ir tegul Y=u (X) yra mažėjanti X funkcija, kai atvirkštinė X=v (Y). Kadangi funkcija yra nuolatinė ir mažėjanti, yra atvirkštinė funkcija X=v (Y).
Norėdami išspręsti šią problemą, galite rinkti kiekybinius duomenis ir naudoti empirinę kaupiamojo paskirstymo funkciją. Turėdami šią informaciją ir apeliuodami į ją, turite derinti priemonių pavyzdžius, standartinius nuokrypius, laikmenos duomenis ir pan.
Panašiai net ir gana paprastas tikimybinis modelis gali duoti daugybę rezultatų. Pavyzdžiui, jei monetą išverčiate 332 kartus. Tada apvertimų rezultatų skaičius yra didesnis nei google (10100) – skaičius, bet ne mažiau nei 100 kvintilijonų kartų didesnis už elementariąsias daleles žinomoje visatoje. Nedomina analizė, kuri duoda atsakymą į visus galimus rezultatus. Reikėtų paprastesnės sąvokos, pvz., galvų skaičiaus arba ilgiausio uodegų brūkštelėjimo. Norint sutelkti dėmesį į dominančius klausimus, priimamas konkretus rezultatas. Šiuo atveju apibrėžimas yra toks: atsitiktinis dydis yra reali funkcija su tikimybių erdve.
Atsitiktinio kintamojo diapazonas S kartais vadinamas būsenos erdve. Taigi, jei X yra nagrinėjama reikšmė, tai N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc ir pan. Paskutinis iš jų, apvalinant X iki artimiausio sveikojo skaičiaus, vadinamas grindų funkcija.
Paskirstymo funkcijos
Nustačius dominančią atsitiktinio dydžio x pasiskirstymo funkciją, paprastai kyla klausimas: „Kokia tikimybė, kad X pateks į kokį nors B reikšmių poaibį?“. Pavyzdžiui, B={nelyginiai skaičiai}, B={didesnis nei 1} arba B={tarp 2 ir 7}, kad būtų nurodyti rezultatai, kurių reikšmė yra Xatsitiktinis kintamasis, A poaibyje. Taigi aukščiau pateiktame pavyzdyje įvykius galite apibūdinti taip.
{X yra nelyginis skaičius}, {X yra didesnis nei 1}={X> 1}, {X yra nuo 2 iki 7}={2 <X <7}, kad atitiktų tris aukščiau pateiktas B pogrupio parinktis. Daugelis atsitiktinių dydžių savybių nėra susijusios su konkrečiu X. Greičiau jos priklauso nuo to, kaip X paskirsto savo reikšmes. Tai veda prie apibrėžimo, kuris skamba taip: atsitiktinio dydžio x pasiskirstymo funkcija yra kumuliacinė ir nustatoma kiekybiniais stebėjimais.
Atsitiktiniai kintamieji ir paskirstymo funkcijos
Taigi galite apskaičiuoti tikimybę, kad atsitiktinio dydžio x pasiskirstymo funkcija intervalo reikšmes paims atėmus. Pagalvokite apie galinių taškų įtraukimą arba neįtraukimą.
Atsitiktinį kintamąjį vadinsime diskrečiu, jei jis turi baigtinę arba skaičiuojamai begalinę būsenos erdvę. Taigi X yra galvų skaičius trijuose nepriklausomuose pakreiptos monetos, kuri didėja su tikimybe p, skaičius. Turime rasti diskretiškojo atsitiktinio kintamojo FX kaupiamąją pasiskirstymo funkciją X. Tegul X yra trijų kortų rinkinio smailių skaičius. Tada Y=X3 per FX. FX prasideda nuo 0, baigiasi 1 ir nemažėja, kai x reikšmės didėja. Diskretaus atsitiktinio dydžio X kaupiamoji FX pasiskirstymo funkcija yra pastovi, išskyrus šuolius. Šokinėjant FX yra nuolatinis. Įrodykite teiginį apie teisingumąpasiskirstymo funkcijos tęstinumas iš tikimybės savybės galimas naudojant apibrėžimą. Tai skamba taip: pastovus atsitiktinis kintamasis turi kaupiamąjį FX, kuris yra diferencijuojamas.
Norėdami parodyti, kaip tai gali atsitikti, galime pateikti pavyzdį: taikinį, kurio spindulys yra vienetas. Tikėtina. smiginis tolygiai paskirstomas nurodytoje srityje. Kai kuriems λ> 0. Taigi nuolatinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo funkcijos didėja sklandžiai. FX turi paskirstymo funkcijos savybes.
Vyras laukia autobuso stotelėje, kol atvyks autobusas. Pats nusprendęs, kad atsisakys, kai laukimas pasieks 20 minučių. Čia reikia rasti kaupiamąją paskirstymo funkciją T. Laikas, kada žmogus dar bus autobusų stotyje arba neišvyks. Nepaisant to, kad kiekvienam atsitiktiniam dydžiui apibrėžiama kumuliacinė skirstinio funkcija. Nepaisant to, gana dažnai bus naudojamos kitos charakteristikos: diskretinio kintamojo masė ir atsitiktinio dydžio pasiskirstymo tankio funkcija. Paprastai reikšmė išvedama per vieną iš šių dviejų reikšmių.
Masinės funkcijos
Šios reikšmės įvertinamos pagal šias savybes, kurios turi bendrą (masinį) pobūdį. Pirmasis pagrįstas tuo, kad tikimybės nėra neigiamos. Antrasis išplaukia iš stebėjimo, kad aibė visiems x=2S, būsenos erdvė X, sudaro X tikimybinės laisvės skaidinį. Pavyzdys: išmesti šališką monetą, kurios rezultatai yra nepriklausomi. Galite ir toliau darytitam tikrus veiksmus, kol nesulauksite galvos. Tegu X žymi atsitiktinį kintamąjį, nurodantį uodegų skaičių prieš pirmąją galvutę. Ir p reiškia bet kurio veiksmo tikimybę.
Taigi masės tikimybės funkcijai būdingos šios charakteristikos. Kadangi terminai sudaro skaitinę seką, X vadinamas geometriniu atsitiktiniu dydžiu. Geometrinė schema c, cr, cr2,.,,, crn turi sumą. Ir todėl sn turi ribą kaip n 1. Šiuo atveju begalinė suma yra riba.
Aukščiau pateikta masės funkcija sudaro geometrinę seką su santykiu. Todėl natūralieji skaičiai a ir b. Pasiskirstymo funkcijos reikšmių skirtumas yra lygus masės funkcijos reikšmei.
Nagrinėjamos tankio reikšmės turi apibrėžimą: X yra atsitiktinis kintamasis, kurio FX skirstinys turi išvestinę. FX tenkinanti Z xFX (x)=fX (t) dt-1 vadinama tikimybės tankio funkcija. O X vadinamas nuolatiniu atsitiktiniu dydžiu. Pagrindinėje skaičiavimo teoremoje tankio funkcija yra skirstinio išvestinė. Tikimybes galite apskaičiuoti apskaičiuodami apibrėžtuosius integralus.
Kadangi duomenys renkami iš kelių stebėjimų, modeliuojant eksperimentines procedūras vienu metu reikia atsižvelgti į daugiau nei vieną atsitiktinį kintamąjį. Todėl šių reikšmių rinkinys ir bendras jų pasiskirstymas dviem kintamiesiems X1 ir X2 reiškia įvykių peržiūrą. Diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams apibrėžiamos jungtinės tikimybinės masės funkcijos. Nepertraukiamiems laikomi fX1, X2, kurjungties tikimybės tankis yra patenkintas.
Nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai
Du atsitiktiniai dydžiai X1 ir X2 yra nepriklausomi, jei su jais susiję du įvykiai yra vienodi. Žodžiu, tikimybė, kad du įvykiai {X1 2 B1} ir {X2 2 B2} įvyks vienu metu, y, yra lygi aukščiau pateiktų kintamųjų sandaugai, kad kiekvienas iš jų įvyksta atskirai. Nepriklausomiems diskretiesiems atsitiktiniams dydžiams yra bendra tikimybinė masės funkcija, kuri yra ribinio jonų tūrio sandauga. Ištisinių atsitiktinių dydžių, kurie yra nepriklausomi, jungtinė tikimybės tankio funkcija yra ribinio tankio verčių sandauga. Galiausiai atsižvelgiame į n nepriklausomų stebėjimų x1, x2,.,,, xn, atsirandantis dėl nežinomos tankio arba masės funkcijos f. Pavyzdžiui, nežinomas parametras eksponentinio atsitiktinio kintamojo funkcijose, apibūdinančiose magistralės laukimo laiką.
Atsitiktinių dydžių imitacija
Pagrindinis šios teorinės srities tikslas – suteikti priemones, reikalingas patikimais statistikos mokslo principais pagrįstoms išvadų procedūroms kurti. Taigi vienas labai svarbus programinės įrangos naudojimo atvejis yra galimybė generuoti pseudoduomenis, imituojančius tikrąją informaciją. Tai leidžia išbandyti ir tobulinti analizės metodus prieš naudojant juos tikrose duomenų bazėse. Tai būtina norint ištirti duomenų savybesmodeliavimas. Daugeliui dažniausiai naudojamų atsitiktinių kintamųjų šeimų R pateikia komandas jiems generuoti. Kitomis aplinkybėmis prireiks nepriklausomų atsitiktinių dydžių sekos modeliavimo metodų, turinčių bendrą pasiskirstymą.
Diskretūs atsitiktiniai kintamieji ir komandų šablonas. Pavyzdžių komanda naudojama paprastiems ir stratifikuotiems atsitiktiniams pavyzdžiams sukurti. Dėl to, jei įvedama seka x, pavyzdys (x, 40) atrenka 40 įrašų iš x taip, kad visų 40 dydžio pasirinkimų tikimybė būtų tokia pati. Tai naudoja numatytąją R komandą, kad būtų galima gauti be pakeitimo. Taip pat gali būti naudojamas diskrečiųjų atsitiktinių dydžių modeliavimui. Norėdami tai padaryti, turite pateikti būsenos erdvę vektoriuje x ir masės funkciją f. Raginimas pakeisti=TRUE rodo, kad atranka vyksta pakeitus. Tada, norint gauti n nepriklausomų atsitiktinių dydžių, turinčių bendrą masės funkciją f, imtį, naudojama imtis (x, n, pakeisti=TRUE, prob=f).
Nustatyta, kad 1 yra mažiausia pateikta reikšmė, o 4 yra didžiausia iš visų. Jei komanda prob=f praleista, tada pavyzdys bus tolygiai paimtas iš vektoriaus x reikšmių. Galite patikrinti modeliavimą pagal masės funkciją, kuri sugeneravo duomenis, žiūrėdami į dvigubą lygybės ženklą==. Ir perskaičiuojant stebėjimus, kurie ima visas įmanomas x reikšmę. Galite padaryti stalą. Pakartokite tai 1000 ir palyginkite modeliavimą su atitinkama masės funkcija.
Tikimybių transformacijos iliustracija
Pirmaimituoti atsitiktinių dydžių u1, u2, homogenines pasiskirstymo funkcijas.,,, un intervale [0, 1]. Maždaug 10 % skaičių turi būti [0, 3, 0, 4] ribose. Tai atitinka 10 % modeliavimų intervale [0, 28, 0, 38] atsitiktiniam dydžiui su parodyta FX pasiskirstymo funkcija. Panašiai apie 10% atsitiktinių skaičių turėtų būti intervale [0, 7, 0, 8]. Tai atitinka 10 % modeliavimą atsitiktinio dydžio intervale [0, 96, 1, 51] su pasiskirstymo funkcija FX. Šias reikšmes x ašyje galima gauti imant atvirkštinę vertę iš FX. Jei X yra nenutrūkstamas atsitiktinis kintamasis, kurio tankis fX teigiamas visur jo srityje, tada pasiskirstymo funkcija griežtai didėja. Šiuo atveju FX turi atvirkštinę FX-1 funkciją, vadinamą kvantiline funkcija. FX (x) u tik tada, kai x FX-1 (u). Tikimybių transformacija išplaukia iš atsitiktinio dydžio analizės U=FX (X).
FX diapazonas yra nuo 0 iki 1. Jis negali būti mažesnis nei 0, nei didesnis nei 1. Jei u reikšmės yra nuo 0 iki 1. Jei U gali būti imituojamas, tada atsitiktinis kintamasis su FX pasiskirstymu turi būti imituojamas naudojant kvantinę funkciją. Paimkite išvestinę, kad pamatytumėte, kad tankis u kinta 1 ribose. Kadangi atsitiktinis dydis U turi pastovų tankį per jo galimų reikšmių intervalą, jis vadinamas vienodu intervale [0, 1]. Jis modeliuojamas R su runif komanda. Tapatybė vadinama tikimybine transformacija. Kaip tai veikia, galite pamatyti smiginio lentos pavyzdyje. X tarp 0 ir 1, funkcijaskirstinys u=FX (x)=x2, taigi ir kvantilinė funkcija x=FX-1 (u). Galima modeliuoti nepriklausomus atstumo nuo smiginio skydelio centro stebėjimus ir taip sukurti vienodus atsitiktinius dydžius U1, U2,.,, Un. Paskirstymo funkcija ir empirinė funkcija yra pagrįstos 100 smiginio lentos pasiskirstymo modeliavimų. Eksponentinio atsitiktinio dydžio atveju tikriausiai u=FX (x)=1 - exp (- x), taigi x=- 1 ln (1 - u). Kartais logika susideda iš lygiaverčių teiginių. Šiuo atveju turite sujungti dvi argumento dalis. Sankirtos tapatybė yra panaši visiems 2 {S i i} S, o ne tam tikra reikšmė. Sąjunga Ci lygi būsenos erdvei S ir kiekviena pora yra viena kitą paneigianti. Kadangi Bi - yra padalintas į tris aksiomas. Kiekvienas patikrinimas pagrįstas atitinkama tikimybe P. Bet kuriam poaibiui. Tapatybės naudojimas siekiant įsitikinti, kad atsakymas nepriklauso nuo to, ar įtraukti intervalo galutiniai taškai.
Eksponentinė funkcija ir jos kintamieji
Kiekvienam visų įvykių rezultatui galiausiai naudojama antroji tikimybių tęstinumo savybė, kuri laikoma aksiomatine. Atsitiktinių dydžių funkcijos pasiskirstymo dėsnis rodo, kad kiekvienas turi savo sprendimą ir atsakymą.
