Tikimybių teorija veikia su atsitiktiniais dydžiais. Atsitiktiniams dydžiams galioja vadinamieji pasiskirstymo dėsniai. Toks dėsnis apibūdina jo atsitiktinį kintamąjį su absoliučiu išsamumu. Tačiau dirbant su realiomis atsitiktinių dydžių aibėmis, dažnai labai sunku iš karto nustatyti jų pasiskirstymo dėsnį ir apsiribojama tam tikra skaitinių charakteristikų rinkiniu. Pavyzdžiui, dažnai labai naudinga apskaičiuoti atsitiktinio dydžio vidurkį ir dispersiją.
Kodėl to reikia
Jei matematinio lūkesčio esmė artima vidutinei kiekio vertei, tai šiuo atveju dispersija parodo, kaip mūsų kiekio reikšmės yra išsibarsčiusios aplink šį matematinį lūkestį. Pavyzdžiui, jei išmatavome žmonių grupės IQ ir norime ištirti matavimo rezultatus (imtį), matematinis lūkestis parodys apytikslę vidutinę šios žmonių grupės intelekto koeficiento reikšmę, o jei apskaičiuosime imties dispersiją., išsiaiškinsime, kaip rezultatai sugrupuoti pagal matematinį lūkestį: krūva šalia jo (mažas IQ svyravimas) ar tolygiau per visą diapazoną nuo minimalaus iki maksimalaus rezultato (didelė variacija, o kažkur per vidurį – matematinis lūkestis).
Norint apskaičiuoti dispersiją, reikia naujos atsitiktinio dydžio charakteristikos – reikšmės nuokrypio nuo matematinėslaukiau.
Nukrypimas
Norėdami suprasti, kaip apskaičiuoti dispersiją, pirmiausia turite suprasti nuokrypį. Jo apibrėžimas yra skirtumas tarp atsitiktinio kintamojo reikšmės ir jo matematinio lūkesčio. Grubiai tariant, norint suprasti, kaip „išsibarsto“reikšmė, reikia pasižiūrėti, kaip pasiskirsto jos nuokrypis. Tai reiškia, kad vertės reikšmę pakeičiame jos nuokrypio nuo kilimėlio verte. lūkesčius ir ištirkite jo platinimo įstatymą.
Diskrečiojo, tai yra atsitiktinio dydžio, kuris įgauna individualias reikšmes, pasiskirstymo dėsnis užrašomas lentelės pavidalu, kur reikšmės reikšmė koreliuojama su jos atsiradimo tikimybe. Tada nuokrypių pasiskirstymo dėsnyje atsitiktinis dydis bus pakeistas jo formule, kurioje yra reikšmė (išlaikiusi tikimybę) ir savas matas. laukiau.
Atsitiktinio dydžio nuokrypio pasiskirstymo dėsnio savybės
Užrašėme atsitiktinio dydžio nuokrypio paskirstymo dėsnį. Iš jo kol kas galime išskirti tik tokią charakteristiką kaip matematinis lūkestis. Kad būtų patogiau, geriau paimti skaitinį pavyzdį.
Tebūnie kokio nors atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis: X – reikšmė, p – tikimybė.
Apskaičiuojame matematinį lūkestį naudodami formulę ir iškart nuokrypį.
Naujos nuokrypių pasiskirstymo lentelės braižymas.
Čia skaičiuojame ir lūkesčius.
Pasirodo, nulis. Yra tik vienas pavyzdys, bet taip bus visada: bendrąja byla tai įrodyti nesunku. Nuokrypio matematinio lūkesčio formulę galima išskaidyti į skirtumą tarp atsitiktinio dydžio matematinių lūkesčių ir, kad ir kaip kreivai tai skambėtų, matematinio matematinės vilties. lūkesčiai (tačiau rekursija), kurie yra vienodi, todėl jų skirtumas bus lygus nuliui.
To tikimasi: juk ženklų nuokrypiai gali būti ir teigiami, ir neigiami, todėl vidutiniškai jie turėtų duoti nulį.
Kaip apskaičiuoti diskrečiojo atvejo dispersiją. kiekiai
Jei mat. nukrypimo lūkesčius skaičiuoti beprasmiška, reikia ieškoti kažko kito. Galite tiesiog paimti absoliučias nuokrypių vertes (modulo); bet su moduliais viskas nėra taip paprasta, todėl nuokrypiai pakeliami kvadratu, o tada skaičiuojamas jų matematinis lūkestis. Tiesą sakant, tai turima omenyje, kai jie kalba apie tai, kaip apskaičiuoti dispersiją.
Tai yra, mes paimame nuokrypius, padalome juos kvadratu ir sudarome atsitiktinius dydžius atitinkančių nuokrypių ir tikimybių kvadratu lentelę. Tai naujas platinimo įstatymas. Norėdami apskaičiuoti matematinį lūkestį, turite pridėti nuokrypio ir tikimybės kvadrato sandaugas.
Lengvesnė formulė
Tačiau straipsnis prasidėjo tuo, kad pradinio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis dažnai nežinomas. Taigi reikia kažko lengvesnio. Iš tiesų, yra dar viena formulė, leidžianti apskaičiuoti imties dispersiją naudojant tik kilimėlį.laukia:
Dispersija – skirtumas tarp kilimėlio. atsitiktinio dydžio kvadrato ir, atvirkščiai, jo kilimėlio kvadrato lūkesčiai. laukiau.
Tam yra įrodymas, bet nėra prasmės jo čia pateikti, nes jis neturi praktinės vertės (ir tereikia apskaičiuoti dispersiją).
Kaip apskaičiuoti atsitiktinio dydžio dispersiją variacijų eilutėse
Tikroje statistikoje neįmanoma atspindėti visų atsitiktinių dydžių (nes, grubiai tariant, jų, kaip taisyklė, yra be galo daug). Todėl į tyrimą įtraukiama vadinamoji reprezentatyvioji imtis iš tam tikros bendros populiacijos. Ir kadangi bet kurio atsitiktinio dydžio skaitinės charakteristikos iš tokios bendrosios visumos apskaičiuojamos iš imties, jos vadinamos imtimi: imties vidurkiu, atitinkamai imties dispersija. Galite jį apskaičiuoti taip pat, kaip įprastą (per kvadratinius nuokrypius).
Tačiau tokia dispersija vadinama šališka. Nešališka dispersijos formulė atrodo šiek tiek kitaip. Paprastai reikia jį apskaičiuoti.
Mažas priedas
Dar viena skaitinė charakteristika yra susijusi su sklaida. Jis taip pat padeda įvertinti, kaip atsitiktinis kintamasis išsisklaido aplink savo kilimėlį. lūkesčius. Skirtumas ir standartinis nuokrypis nėra daug skirtumų: pastarasis yra kvadratinė šaknis iš pirmųjų.
