Kaip apskaičiuoti piramidės plotą: pagrindo, šoninės ir pilnos?

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 05:34

Ruošdamiesi matematikos egzaminui, mokiniai turi susisteminti algebros ir geometrijos žinias. Norėčiau sujungti visą žinomą informaciją, pavyzdžiui, kaip apskaičiuoti piramidės plotą. Be to, pradedant nuo pagrindo ir šoninių paviršių iki viso paviršiaus ploto. Jei padėtis aiški su šoniniais paviršiais, nes jie yra trikampiai, tada pagrindas visada skiriasi.

Kaip rasti piramidės pagrindo plotą?

Jis gali būti visiškai bet kokios formos: nuo savavališko trikampio iki n kampo. Ir ši bazė, be kampų skaičiaus skirtumo, gali būti įprasta figūra arba neteisinga. Mokinius dominančiose USE užduotyse yra tik užduotys su teisingomis skaičiais bazėje. Todėl kalbėsime tik apie juos.

Įprastas trikampis

Tai lygiakraštis. Toks, kurio visos pusės yra lygios ir pažymėtos raide „a“. Šiuo atveju piramidės pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

S=(a2√3) / 4.

Kvadratas

Jos ploto apskaičiavimo formulė yra pati paprasčiausia,čia "a" vėl yra pusė:

S=a2.

Savavališkas įprastas n-gon

Daugiakampio kraštinė turi tą patį pavadinimą. Kampų skaičiui nurodyti naudojama lotyniška raidė n.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Kaip apskaičiuoti šoninį ir bendrą paviršiaus plotą?

Kadangi pagrindas yra taisyklinga figūra, visos piramidės kraštinės yra lygios. Be to, kiekvienas iš jų yra lygiašonis trikampis, nes šoninės briaunos yra lygios. Tada, norint apskaičiuoti piramidės šoninį plotą, jums reikia formulės, sudarytos iš identiškų monomijų sumos. Terminų skaičius nustatomas pagal pagrindo kraštinių skaičių.

Lygiašonio trikampio plotas apskaičiuojamas pagal formulę, kurioje pusė pagrindo sandaugos padauginama iš aukščio. Šis aukštis piramidėje vadinamas apotema. Jo žymėjimas yra "A". Bendra šoninio paviršiaus ploto formulė yra:

S=½ PA, kur P yra piramidės pagrindo perimetras.

Būna situacijų, kai pagrindo kraštinės nežinomos, tačiau pateikiamos šoninės briaunos (c) ir plokščiasis kampas ties jo viršūne (α). Tada piramidės šoniniam plotui apskaičiuoti reikia naudoti šią formulę:

S=n/2in2 sin α.

Problema 1

Būklė. Raskite bendrą piramidės plotą, jei jos pagrindas yra lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė yra 4 cm, o apotemas yra √3 cm.

Sprendimas. JoPradėti reikia apskaičiuojant pagrindo perimetrą. Kadangi tai yra taisyklingas trikampis, tada P \u003d 34 \u003d 12 cm. Kadangi apotema žinoma, galite iš karto apskaičiuoti viso šoninio paviršiaus plotą: ½12√3=6 √3 cm 2.

Trikampiui prie pagrindo gaunama tokia ploto reikšmė: (4²√3) / 4=4√3 cm^2.

Norėdami nustatyti bendrą plotą, turite pridėti dvi gautas reikšmes: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.

Atsakymas. 10√3cm2.

Problema 2

Būklė. Yra taisyklinga keturkampė piramidė. Pagrindo šono ilgis 7 mm, šoninis kraštas 16 mm. Turite žinoti jo paviršiaus plotą.

Sprendimas. Kadangi daugiakampis yra keturkampis ir taisyklingas, tada jo pagrindas yra kvadratas. Sužinojus pagrindo ir šoninių paviršių plotus, bus galima apskaičiuoti piramidės plotą. Kvadrato formulė pateikta aukščiau. O prie šoninių paviršių žinomos visos trikampio kraštinės. Todėl jų plotams apskaičiuoti galite naudoti Herono formulę.

Pirmieji skaičiavimai yra paprasti ir veda prie šio skaičiaus: 49 mm². Dėl antrosios vertės turėsite apskaičiuoti pusiau perimetrą: (7 + 162): 2=19,5 mm. Dabar galite apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)²)=√2985.9375=54.644 mm ^{2. Tokie trikampiai yra tik keturi, todėl skaičiuodami galutinį skaičių turėsite jį padauginti iš 4.}

Pasirodo: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Atsakymas. Pageidaujama vertė 267 576mm2.

Problema 3

Būklė. Įprastai keturkampei piramidei reikia apskaičiuoti plotą. Žino kvadrato kraštinę – 6 cm, o aukštį – 4 cm.

Sprendimas. Lengviausias būdas yra naudoti formulę su perimetro ir apotemos sandauga. Pirmąją vertę lengva rasti. Antrasis yra šiek tiek sunkesnis.

Turėsime prisiminti Pitagoro teoremą ir apsvarstyti stačiakampį trikampį. Jį sudaro piramidės aukštis ir apotemos, kuri yra hipotenuzė. Antroji atkarpa yra lygi pusei kvadrato kraštinės, nes daugiakampio aukštis patenka į jo vidurį.

Norimas apotemas (stačiojo trikampio hipotenuzė) yra √(3² + 4^{2)=5 (cm).}

Dabar galite apskaičiuoti reikiamą reikšmę: ½(46)5+6²=96 (žr.^2).

Atsakymas. 96 cm2.

Problema 4

Būklė. Duota taisyklinga šešiakampė piramidė. Jo pagrindo šonai 22 mm, šoniniai šonkauliai 61 mm. Koks yra šio daugiakampio šoninio paviršiaus plotas?

Sprendimas. Motyvacija jame yra tokia pati, kaip aprašyta užduotyje Nr. Tik ten buvo duota piramidė su kvadratu prie pagrindo, o dabar ji yra šešiakampė.

Visų pirma, pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal aukščiau pateiktą formulę: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm^2.

Dabar reikia išsiaiškinti lygiašonio trikampio, kuris yra šoninis paviršius, pusperimetrą. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Belieka apskaičiuoti kiekvieno tokio ploto plotątrikampį, tada padauginkite jį iš šešių ir pridėkite prie to, kuris pasirodė kaip pagrindas.

Skaičiavimas pagal Herono formulę: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 cm² . Skaičiavimai, kurie duos šoninio paviršiaus plotą: 6606=3960 cm². Belieka juos susumuoti ir sužinoti visą paviršių: 5217, 47≈5217 cm^2.

Atsakymas. Pagrindas - 726√3cm², šoninis paviršius - 3960cm², bendras plotas - 5217cm^2.