Matematikoje atvirkštinės funkcijos yra viena kitą atitinkančios išraiškos, kurios virsta viena kita. Norint suprasti, ką tai reiškia, verta apsvarstyti konkretų pavyzdį. Tarkime, kad turime y=cos(x). Jei iš argumento paimsime kosinusą, galime rasti y reikšmę. Akivaizdu, kad tam reikia turėti x. Bet ką daryti, jei žaidėjas iš pradžių yra duotas? Štai čia ir patenkama į reikalo esmę. Norint išspręsti problemą, reikia naudoti atvirkštinę funkciją. Mūsų atveju tai yra lanko kosinusas.
Po visų transformacijų gauname: x=arccos(y).
Tai yra, norint rasti funkciją, atvirkštinę duotai funkcijai, pakanka tik iš jos išreikšti argumentą. Bet tai veikia tik tuo atveju, jei rezultatas turės vieną reikšmę (apie tai vėliau).
Bendrai kalbant, šį faktą galima parašyti taip: f(x)=y, g(y)=x.
Apibrėžimas
Tegul f yra funkcija, kurios sritis yra aibė X irreikšmių diapazonas yra aibė Y. Tada, jei yra g, kurio domenai atlieka priešingas užduotis, tada f yra grįžtamasis.
Be to, šiuo atveju g yra unikalus, o tai reiškia, kad yra būtent viena funkcija, kuri tenkina šią savybę (ne daugiau, ne mažiau). Tada ji vadinama atvirkštine funkcija, o raštu žymima taip: g(x)=f -1(x).
Kitaip tariant, į juos galima žiūrėti kaip į dvejetainį ryšį. Grįžtamumas vyksta tik tada, kai vienas rinkinio elementas atitinka vieną kitą reikšmę.
Ne visada yra atvirkštinė funkcija. Norėdami tai padaryti, kiekvienas elementas y є Y turi atitikti daugiausia vieną x є X. Tada f vadinamas vienas su vienu arba injekcija. Jei f -1 priklauso Y, tai kiekvienas šios aibės elementas turi atitikti kokį nors x ∈ X. Funkcijos su šia savybe vadinamos surjekcijomis. Tai galioja pagal apibrėžimą, jei Y yra vaizdas f, tačiau taip yra ne visada. Kad funkcija būtų atvirkštinė, ji turi būti ir injekcija, ir išmetimas. Tokios išraiškos vadinamos bijekcijomis.
Pavyzdys: kvadrato ir šaknies funkcijos
Funkcija apibrėžta [0, ∞) ir pateikiama formule f (x)=x2.
Tada tai nėra injekcinis, nes kiekvienas galimas rezultatas Y (išskyrus 0) atitinka du skirtingus X – vieną teigiamą ir vieną neigiamą, todėl jis nėra grįžtamas. Tokiu atveju iš gautų pradinių duomenų bus neįmanoma gauti, o tai prieštaraujateorijos. Tai bus neinjekcinė.
Jei apibrėžimo sritis sąlyginai apribota neneigiamomis reikšmėmis, tada viskas veiks kaip anksčiau. Tada jis yra dviprasmiškas, taigi ir apverčiamas. Atvirkštinė funkcija čia vadinama teigiama.
Pastaba dėl įrašo
Tegul žymėjimas f -1 (x) gali suklaidinti žmogų, bet jokiu būdu negalima jo vartoti taip: (f (x)) - 1 . Tai visiškai kitokia matematinė sąvoka ir neturi nieko bendra su atvirkštine funkcija.
Paprastai kai kurie autoriai naudoja tokius posakius kaip sin-1 (x).
Tačiau kiti matematikai mano, kad tai gali sukelti painiavą. Siekiant išvengti tokių sunkumų, atvirkštinės trigonometrinės funkcijos dažnai žymimos priešdėliu „lanka“(iš lotyniško lanko). Mūsų atveju mes kalbame apie arcsinusą. Taip pat kartais galite matyti kai kurių kitų funkcijų priešdėlį „ar“arba „inv“.
