Geometrija yra matematikos šaka, tirianti struktūras erdvėje ir ryšį tarp jų. Savo ruožtu jis taip pat susideda iš skyrių, o vienas iš jų yra stereometrija. Jame numatomos erdvėje esančių tūrinių figūrų: kubo, piramidės, rutulio, kūgio, cilindro ir kt. savybių tyrimas.
Kūgis yra kūnas Euklido erdvėje, ribojantis kūginį paviršių ir plokštumą, kurioje yra jo generatorių galai. Jo susidarymas vyksta stačiakampio trikampio sukimosi aplink bet kurią koją procese, todėl jis priklauso sukimosi kūnams.
Kūgio komponentai
Išskiriami šie kūgių tipai: įstrižai (arba įstrižai) ir tiesūs. Įstrižinė yra ta, kurios ašis kertasi su pagrindo centru ne stačiu kampu. Dėl šios priežasties tokio kūgio aukštis nesutampa su ašimi, nes tai segmentas, nuleistas nuo kūno viršaus į plokštumąbazė 90°.
Tas kūgis, kurio ašis statmena jo pagrindui, vadinamas tiesiu kūgiu. Ašis ir aukštis tokiame geometriniame kūne sutampa dėl to, kad jame esanti viršūnė yra virš pagrindo skersmens centro.
Kūgį sudaro šie elementai:
- Apskritimas, kuris yra jo pagrindas.
- Šone.
- Taškas, esantis ne pagrindo plokštumoje, vadinamas kūgio viršūne.
- Segmentai, jungiantys geometrinio kūno pagrindo apskritimo taškus ir jo viršūnę.
Visi šie segmentai yra kūgio generatoriai. Jie yra pasvirę į geometrinio kūno pagrindą, o stačiojo kūgio atveju jų projekcijos yra lygios, nes viršūnė yra vienodu atstumu nuo pagrindo apskritimo taškų. Taigi galime daryti išvadą, kad taisyklingame (tiesiame) kūgio generatoriai yra lygūs, tai yra vienodo ilgio ir sudaro vienodus kampus su ašimi (arba aukščiu) ir pagrindu.
Kadangi pasvirusiame (arba pasvirusiame) sukimosi kūne viršūnė yra pasislinkusi pagrindinės plokštumos centro atžvilgiu, generatoriai tokiame kūne yra skirtingo ilgio ir iškyšos, nes kiekvienas iš jų yra skirtingu atstumu iš bet kurių dviejų pagrindinio apskritimo taškų. Be to, kampai tarp jų ir kūgio aukščio taip pat skirsis.
Generatorių ilgis dešiniajame kūgiame
Kaip parašyta anksčiau, aukštis tiesiame geometriniame apsisukimo kūne yra statmenas pagrindo plokštumai. Taigi pagrindo generatorius, aukštis ir spindulys sukuria stačiakampį kūgio trikampį.
Tai yra, žinodami pagrindo spindulį ir aukštį, naudodami Pitagoro teoremos formulę, galite apskaičiuoti generatrix ilgį, kuris bus lygus pagrindo spindulio kvadratų sumai ir ūgis:
l2 =r2+ h2 arba l=√r 2 + h2
kur l yra generatorius;
r – spindulys;
h – aukštis.
Generatyvas įstrižame kūgiame
Remiantis tuo, kad įstrižame ar įstrižame kūgio generatoriai nėra vienodo ilgio, be papildomų konstrukcijų ir skaičiavimų jų apskaičiuoti nepavyks.
Visų pirma, jūs turite žinoti aukštį, ašies ilgį ir pagrindo spindulį.
Turėdami šiuos duomenis, galite apskaičiuoti spindulio dalį, esančią tarp ašies ir aukščio, naudodami Pitagoro teoremos formulę:
r1=√k2 - h2
kur r1 yra spindulio dalis tarp ašies ir aukščio;
k – ašies ilgis;
h – aukštis.
Pridėjus spindulį (r) ir jo dalį, esančią tarp ašies ir aukščio (r1), galite sužinoti visą dešinės pusės pusę trikampis, sudarytas iš kūgio generatrix, jo aukščio ir skersmens dalis:
R=r + r1
kur R yra trikampio kojelė, sudaryta iš pagrindo aukščio, generatricos ir dalies skersmens;
r – bazinis spindulys;
r1 – spindulio dalis tarp ašies ir aukščio.
Naudodami tą pačią formulę iš Pitagoro teoremos, galite rasti kūgio generatoriaus ilgį:
l=√h2+ R2
arba neskaičiuojant R atskirai, sujunkite dvi formules į vieną:
l=√h2 + (r + r1)2.
Nepaisant to, ar tai tiesus, ar įstrižas kūgis ir kokie įvesties duomenys, visi generatoriaus ilgio nustatymo metodai visada susiveda į vieną rezultatą - Pitagoro teoremos naudojimą.
Kūgio sekcija
Kūgio ašinė pjūvis yra plokštuma, einanti išilgai jo ašies arba aukščio. Dešiniajame kūgiame tokia atkarpa yra lygiašonis trikampis, kuriame trikampio aukštis yra kūno aukštis, jo kraštinės yra generatoriai, o pagrindas yra pagrindo skersmuo. Lygiakraščio geometrinio kūno ašinė pjūvis yra lygiakraštis trikampis, nes šiame kūgio pagrindo ir generatorių skersmuo yra lygus.
Tiesiame kūgio ašies pjūvio plokštuma yra jos simetrijos plokštuma. Taip yra todėl, kad jo viršus yra virš pagrindo centro, tai yra, ašinės pjūvio plokštuma padalija kūgį į dvi identiškas dalis.
Kadangi aukštis ir ašis nesutampa pasvirusiame kietajame kūne, ašinio pjūvio plokštumoje aukštis gali būti neįtrauktas. Jei tokiame kūgiame galima sukurti ašinių pjūvių rinkinį, nes tam reikia laikytis tik vienos sąlygos - jis turi eiti tik per ašį, tada tik viena ašinė plokštumos atkarpa, kuri priklausys šis kūgis gali būti nubrėžtas, nes sąlygų skaičius didėja ir, kaip žinoma, dvi linijos (kartu) gali priklausytitik vienas lėktuvas.
Sekcijos sritis
Anksčiau minėta ašinė kūgio atkarpa yra trikampis. Remiantis tuo, jo plotas gali būti apskaičiuojamas naudojant trikampio ploto formulę:
S=1/2dh arba S=1/22rh
kur S yra skerspjūvio plotas;
d – pagrindo skersmuo;
r – spindulys;
h – aukštis.
Įstrižame arba įstrižame kūgio pjūvis išilgai ašies taip pat yra trikampis, todėl skerspjūvio plotas jame apskaičiuojamas panašiai.
Tūris
Kadangi kūgis yra trimatė figūra trimatėje erdvėje, galime apskaičiuoti jos tūrį. Kūgio tūris yra skaičius, apibūdinantis šį kūną tūrio vienetu, ty m3. Skaičiavimas nepriklauso nuo to, ar jis tiesus, ar įstrižas (įstrižas), nes šių dviejų tipų kūnų formulės nesiskiria.
Kaip minėta anksčiau, stačiasis kūgis susidaro dėl stačiojo trikampio sukimosi išilgai vienos iš jo kojų. Nuožulnus arba įstrižas kūgis formuojamas skirtingai, nes jo aukštis pasislenka nuo pagrindinės kūno plokštumos centro. Tačiau tokie struktūros skirtumai neturi įtakos jo tūrio apskaičiavimo metodui.
Tūrio skaičiavimas
Bet kurio kūgio tūrio formulė atrodo taip:
V=1/3πhr2
kur V yra kūgio tūris;
h – aukštis;
r – spindulys;
π – konstanta lygi 3, 14.
Norint apskaičiuoti kūgio tūrį, reikia turėti duomenis apie kūno pagrindo aukštį ir spindulį.
Norėdami apskaičiuoti kūno aukštį, turite žinoti pagrindo spindulį ir jo generatoriaus ilgį. Kadangi spindulys, aukštis ir generatrix yra sujungti į statųjį trikampį, aukštį galima apskaičiuoti naudojant Pitagoro teoremos formulę (a2+ b2=c 2 arba mūsų atveju h2+ r2=l2 , kur l – generatrix). Šiuo atveju aukštis bus apskaičiuojamas ištraukus skirtumo tarp hipotenuzės ir kitos kojos kvadratų kvadratinę šaknį:
a=√c2- b2
Tai yra, kūgio aukštis bus lygus reikšmei, gautai ištraukus kvadratinę šaknį iš generatricos ilgio kvadrato ir pagrindo spindulio kvadrato skirtumo:
h=√l2 - r2
Apskaičiuodami aukštį šiuo metodu ir žinodami jo pagrindo spindulį, galite apskaičiuoti kūgio tūrį. Šiuo atveju generatrix vaidina svarbų vaidmenį, nes jis naudojamas kaip pagalbinis elementas atliekant skaičiavimus.
Panašiai, jei žinote kūno aukštį ir jo generatoriaus ilgį, jo pagrindo spindulį galite rasti ištraukę skirtumo tarp generatrix kvadrato ir aukščio kvadrato kvadratinę šaknį.:
r=√l2 - h2
Tada, naudodami tą pačią formulę, kaip nurodyta aukščiau, apskaičiuokite kūgio tūrį.
Pasviręs kūgio tūris
Kadangi kūgio tūrio formulė yra vienoda visų tipų sukimosi kūno tipams, jos skaičiavimo skirtumas yra aukščio paieška.
Norint sužinoti pasvirusio kūgio aukštį, į įvesties duomenis turi būti įtrauktas generatoriaus ilgis, pagrindo spindulys ir atstumas tarp centropagrindo ir kūno aukščio sankirta su jo pagrindo plokštuma. Žinodami tai, galite nesunkiai apskaičiuoti tą pagrindo skersmens dalį, kuri bus stačiakampio trikampio (sudaryto iš pagrindo aukščio, generatricos ir plokštumos) pagrindas. Tada, dar kartą naudodami Pitagoro teoremą, apskaičiuokite kūgio aukštį, o vėliau ir tūrį.
