Žmonijos pažangą daugiausia nulėmė genijų atradimai. Vienas iš jų – Blaise'as Pascalis. Jo kūrybinė biografija dar kartą patvirtina Lion Feuchtwanger posakio „Talentingas žmogus, talentingas visame kame“teisingumą. Visus šio puikaus mokslininko mokslinius pasiekimus sunku suskaičiuoti. Tarp jų yra vienas elegantiškiausių matematikos pasaulio išradimų – Paskalio trikampis.
Keli žodžiai apie genialumą
Blaise Pascal mirė anksti, pagal šiuolaikinius standartus, būdamas 39 metų amžiaus. Tačiau per savo trumpą gyvenimą jis pasižymėjo kaip puikus fizikas, matematikas, filosofas ir rašytojas. Dėkingi palikuonys jo garbei pavadino slėgio vienetą ir populiariąją programavimo kalbą Pascal. Jis buvo naudojamas beveik 60 metų mokant rašyti įvairius kodus. Pavyzdžiui, su jo pagalba kiekvienas studentas gali parašyti programą trikampio plotui apskaičiuoti Pascal, taip pat ištirti grandinės savybes, apiekuris bus aptartas toliau.
Šio nepaprasto mąstymo mokslininko veikla apima įvairias mokslo sritis. Visų pirma, Blaise'as Pascalis yra vienas iš hidrostatikos, matematinės analizės, kai kurių geometrijos ir tikimybių teorijos sričių įkūrėjų. Be to, jis:
- sukūrė mechaninį skaičiuotuvą, žinomą kaip Paskalio ratas;
- pateikė eksperimentinius įrodymus, kad oras turi elastingumo ir svorio;
- nustatyta, kad barometru galima numatyti orą;
- išrado karutį;
- išrado omnibusą – arklių traukiamus vežimus su fiksuotais maršrutais, kurie vėliau tapo pirmąja reguliaraus viešojo transporto rūšimi ir kt.
Paskalio aritmetinis trikampis
Kaip jau minėta, šis puikus prancūzų mokslininkas įnešė didžiulį indėlį į matematikos mokslą. Vienas iš jo absoliučių mokslo šedevrų yra „Traktatas apie aritmetinį trikampį“, kurį sudaro dvinariai koeficientai, išdėstyti tam tikra tvarka. Šios schemos savybės stebina savo įvairove, o pati ji patvirtina patarlę „Viskas išradinga yra paprasta!“.
Šiek tiek istorijos
Tiesą sakant, reikia pasakyti, kad Paskalio trikampis Europoje buvo žinomas dar XVI amžiaus pradžioje. Visų pirma, jo atvaizdą galima pamatyti ant aritmetikos vadovėlio viršelio, kurį sukūrė garsus astronomas Peteris Apianas iš Ingolštato universiteto. Panašus trikampis taip pat parodytas kaip iliustracija.kinų matematiko Yang Hui knygoje, išleistoje 1303 m. Nuostabus persų poetas ir filosofas Omaras Khayyamas taip pat žinojo apie jo savybes XII amžiaus pradžioje. Be to, manoma, kad jis su juo susipažino iš anksčiau parašytų arabų ir indų mokslininkų traktatų.
Aprašymas
Prieš tyrinėjant įdomiausias Paskalio trikampio, gražaus savo tobulumu ir paprastumu, savybes, verta žinoti, kas tai yra.
Moksliškai kalbant, ši skaitinė schema yra begalinė trikampė lentelė, sudaryta iš tam tikra tvarka išdėstytų dvinarių koeficientų. Jo viršuje ir šonuose yra skaičiai 1. Likusiose pozicijose yra skaičiai, lygūs dviejų skaičių, esančių virš jų vienas šalia kito, sumai. Be to, visos Paskalio trikampio linijos yra simetriškos vertikalios ašies atžvilgiu.
Pagrindinės funkcijos
Paskalio trikampis stebina savo tobulumu. Bet kuriai n eilutei (n=0, 1, 2…) tiesa:
- pirmasis ir paskutinis skaičiai yra 1;
- antra ir priešpaskutinė - n;
- trečiasis skaičius lygus trikampio skaičiui (apskritimų, kuriuos galima išdėstyti lygiakraštyje trikampyje, t. y. 1, 3, 6, 10, skaičius): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Ketvirtasis skaičius yra tetraedras, t. y. tai piramidė su trikampiu apačioje.
Be to, palyginti neseniai, 1972 m., buvo nustatyta dar viena Paskalio trikampio savybė. Tam, kad jisNorėdami tai sužinoti, šios schemos elementus turite parašyti lentelės pavidalu su eilutės poslinkiu 2 pozicijomis. Tada atkreipkite dėmesį į skaičius, dalijamus iš eilutės numerio. Pasirodo, kad stulpelio, kuriame paryškinti visi skaičiai, numeris yra pirminis skaičius.
Tą patį triuką galima padaryti ir kitu būdu. Norėdami tai padaryti, Paskalio trikampyje skaičiai pakeičiami jų padalijimo iš lentelės eilutės numerio liekanomis. Tada linijos išdėstomos gautame trikampyje taip, kad kitas pradėtų 2 stulpelius į dešinę nuo pirmojo ankstesnio elemento. Tada stulpeliuose su skaičiais, kurie yra pirminiai skaičiai, bus tik nuliai, o stulpeliuose su sudėtiniais skaičiais bus bent vienas nulis.
Ryšys su Niutono dvinaliu
Kaip žinote, taip vadinasi formulė, skirta dviejų kintamųjų sumos išplėtimui į neneigiamą sveikųjų skaičių galią, kuri atrodo taip:
Juose esantys koeficientai lygūs C m =n! / (m! (n - m)!), kur m yra eilės skaičius Paskalio trikampio n eilutėje. Kitaip tariant, turėdami po ranka šią lentelę galite lengvai pakelti bet kokius skaičius iki laipsnio, prieš tai išskaidę juos į du terminus.
Taigi Paskalio trikampis ir Niutono dvinaris yra glaudžiai susiję.
Matematikos stebuklai
Atidžiai išnagrinėjus Paskalio trikampį paaiškėja, kad:
- visų skaičių, esančių eilutėje su, sumaserijos numeris n (skaičiuojant nuo 0) yra 2;
- jei linijos išlygiuotos į kairę, tada skaičių, esančių Paskalio trikampio įstrižainėse, iš apačios į viršų ir iš kairės į dešinę, sumos yra lygios Fibonačio skaičiams;
- pirmoji „įstrižainė“susideda iš natūraliųjų skaičių eilės tvarka;
- bet kuris elementas iš Paskalio trikampio, sumažintas vienetu, yra lygus visų skaičių, esančių lygiagretainio viduje, ribojama kairiosios ir dešiniosios įstrižainių, susikertančių su šiuo skaičiumi, sumai;
- kiekvienoje diagramos eilutėje skaičių suma lyginėse vietose yra lygi elementų sumai nelyginėse vietose.
Sierpinskio trikampis
Tokia įdomi matematinė schema, daug žadanti sudėtingų uždavinių sprendimu, gaunama spalvinant Paskalio paveikslo lyginius skaičius viena spalva, o nelyginius - kita.
Sierpinskio trikampis gali būti pastatytas kitu būdu:
- tamsuotoje Paskalio schemoje vidurinis trikampis perdažomas kita spalva, kuri susidaro sujungiant pradinio kraštinių vidurio taškus;
- padarykite lygiai tą patį su trimis nedažytomis, esančiomis kampuose;
- jei procedūra tęsiama neribotą laiką, rezultatas turėtų būti dviejų spalvų figūra.
Įdomiausia Sierpinskio trikampio savybė yra panašumas į save, nes jį sudaro 3 jo kopijos, kurios sumažinamos 2 kartus. Tai leidžia mums priskirti šią schemą fraktalų kreivėms, o jos, kaip rodo naujausiostyrimai geriausiai tinka matematiniam debesų, augalų, upių deltų ir pačios visatos modeliavimui.
Kelios įdomios užduotys
Kur naudojamas Paskalio trikampis? Užduočių, kurias galima išspręsti jo pagalba, pavyzdžiai yra gana įvairūs ir priklauso įvairioms mokslo sritims. Pažvelkime į keletą įdomesnių.
1 problema. Kai kuriuose dideliuose miestuose, apsuptame tvirtovės sienos, yra tik vieneri įėjimo vartai. Pirmoje sankryžoje pagrindinis kelias skyla į dvi dalis. Tas pats nutinka bet kuriam kitam. Į miestą patenka 210 žmonių. Kiekvienoje sankryžoje, kurią jie susitinka, jie yra padalinti per pusę. Kiek žmonių bus rasta kiekvienoje sankryžoje, kai nebebus galima dalintis. Jos atsakymas yra Paskalio trikampio 10 eilutė (koeficiento formulė pateikta aukščiau), kur skaičiai 210 yra abiejose vertikalios ašies pusėse.
2 užduotis. Yra 7 spalvų pavadinimai. Jums reikia padaryti puokštę iš 3 gėlių. Būtina išsiaiškinti, kiek skirtingų būdų tai galima padaryti. Ši problema yra iš kombinatorikos srities. Norėdami tai išspręsti, vėl naudojame Paskalio trikampį ir 7-oje eilutėje trečioje pozicijoje (abiem atvejais numeruojant nuo 0) gauname skaičių 35.
Dabar žinote, ką išrado didysis prancūzų filosofas ir mokslininkas Blaise'as Pascalis. Jo garsusis trikampis, kai naudojamas teisingai, gali tapti tikru išsigelbėjimu sprendžiant daugelį problemų, ypač iš laukokombinatorika. Be to, jis gali būti naudojamas sprendžiant daugybę paslapčių, susijusių su fraktalais.
