Kas tai yra – kūgis? Apibrėžimas, savybės, formulės ir uždavinio sprendimo pavyzdys

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2024-01-02 17:51

Kūgis yra viena iš erdvinių sukimosi figūrų, kurios charakteristikos ir savybės tiriamos stereometrija. Šiame straipsnyje mes apibrėžsime šią figūrą ir apsvarstysime pagrindines formules, jungiančias tiesinius kūgio parametrus su jo paviršiaus plotu ir tūriu.

Kas yra kūgis?

Geometrijos požiūriu mes kalbame apie erdvinę figūrą, kurią sudaro tiesių atkarpų rinkinys, jungiantis tam tikrą erdvės tašką su visais lygios plokščios kreivės taškais. Ši kreivė gali būti apskritimas arba elipsė. Toliau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotas kūgis.

Pateikta figūra neturi tūrio, nes jos paviršiaus sienelių storis yra be galo mažas. Tačiau jei jis užpildytas medžiaga ir iš viršaus ribojamas ne kreive, o plokščia figūra, pavyzdžiui, apskritimu, gausime vientisą tūrinį kūną, kuris taip pat paprastai vadinamas kūgiu.

Kūgio formą dažnai galima rasti gyvenime. Taigi, jame yra ledų kūgis arba dryžuoti juodai oranžiniai eismo kūgiai, kurie dedami ant kelio, kad atkreiptų eismo dalyvių dėmesį.

Kūgio elementai ir jo tipai

Kadangi kūgis nėra daugiakampis, jį sudarančių elementų skaičius nėra toks didelis kaip daugiakampio. Geometrijoje bendras kūgis susideda iš šių elementų:

• bazė, kurios ribinė kreivė vadinama kryptine arba generatrix;
• šoninio paviršiaus, kuris yra visų tiesių atkarpų (generatricų), jungiančių kreipiamosios kreivės viršūnę ir taškus, rinkinys;
• viršūnė, kuri yra generatricų susikirtimo taškas.

Atkreipkite dėmesį, kad viršūnė neturi būti pagrindo plokštumoje, nes tokiu atveju kūgis išsigimsta į plokščią figūrą.

Jei nubrėžsime statmeną atkarpą nuo viršaus iki pagrindo, gausime figūros aukštį. Jei paskutinis pagrindas susikerta geometriniame centre, tai yra tiesus kūgis. Jei statmenas nesutampa su geometriniu pagrindo centru, tada figūra bus pasvirusi.

Tiesūs ir įstriži kūgiai parodyti paveikslėlyje. Čia kūgio pagrindo aukštis ir spindulys žymimi atitinkamai h ir r. Linija, jungianti figūros viršų ir geometrinį pagrindo centrą, yra kūgio ašis. Iš paveikslo matyti, kad tiesios figūros aukštis yra ant šios ašies, o pasvirusioje figūroje aukštis sudaro kampą su ašimi. Kūgio ašis žymima raide a.

Tiesus kūgis su apvaliu pagrindu

Galbūt šis kūgis yra labiausiai paplitęs iš nagrinėjamos figūrų klasės. Jį sudaro apskritimas ir šonaspaviršiai. Tai nesunku gauti geometriniais metodais. Norėdami tai padaryti, paimkite stačiakampį trikampį ir pasukite jį aplink ašį, kuri sutampa su viena iš kojų. Akivaizdu, kad ši kojelė taps figūros aukščiu, o antrosios trikampio kojos ilgis sudaro kūgio pagrindo spindulį. Toliau pateiktoje diagramoje parodyta aprašyta schema, kaip gauti atitinkamą sukimosi skaičių.

Pavaizduotą trikampį galima pasukti aplink kitą koją, todėl kūgis bus didesnio pagrindo spindulio ir mažesnio aukščio nei pirmasis.

Norint nedviprasmiškai nustatyti visus apvalaus tiesaus kūgio parametrus, reikia žinoti bet kurias dvi jo tiesines charakteristikas. Tarp jų išskiriamas spindulys r, aukštis h arba generatrix g ilgis. Visi šie dydžiai yra nagrinėjamo stačiakampio trikampio kraštinių ilgiai, todėl jų sujungimui galioja Pitagoro teorema:

g²=r²+ h^2.

Paviršiaus plotas

Tiriant bet kokios trimatės figūros paviršių patogu naudoti jos raidą plokštumoje. Kūgis nėra išimtis. Apvalaus kūgio raida parodyta žemiau.

Matome, kad figūros išskleidimas susideda iš dviejų dalių:

1. Apskritimas, kuris sudaro kūgio pagrindą.
2. Apskritimo sektorius, kuris yra figūros kūginis paviršius.

Apskritimo plotą lengva rasti, o atitinkamą formulę žino kiekvienas mokinys. Kalbėdami apie žiedinį sektorių, pastebime, kad taiyra apskritimo, kurio spindulys g (kūgio generatricos ilgis), dalis. Šio sektoriaus lanko ilgis lygus pagrindo perimetrui. Šie parametrai leidžia vienareikšmiškai nustatyti jo plotą. Atitinkama formulė yra:

S=pir2+ pirg.

Pirmasis ir antrasis terminai išraiškoje yra atitinkamai srities pagrindo ir šoninio paviršiaus kūgis.

Jei generatoriaus ilgis g nežinomas, bet figūros aukštis h nurodytas, tada formulę galima perrašyti taip:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Figūros tūris

Jei imsime tiesią piramidę ir padidinsime jos pagrindo kraštinių skaičių iki begalybės, tada pagrindo forma bus linkusi į apskritimą, o piramidės šoninis paviršius priartės prie kūginio paviršiaus. Šie svarstymai leidžia mums naudoti piramidės tūrio formulę apskaičiuojant panašią kūgio vertę. Kūgio tūrį galima rasti naudojant formulę:

V=1/3hS_o.

Ši formulė visada teisinga, nepaisant to, koks yra kūgio pagrindas, kurio plotas S_{o. Be to, formulė taip pat taikoma įstrižai kūgiui.}

Kadangi mes tiriame tiesios figūros su apvaliu pagrindu savybes, jos tūriui nustatyti galime naudoti šią išraišką:

V=1/3hpir2.

Formulė akivaizdi.

Paviršiaus ploto ir tūrio nustatymo problema

Duotas kūgis, kurio spindulys yra 10 cm, o generatoriaus ilgis yra 20žr. Reikia nustatyti šios formos tūrį ir paviršiaus plotą.

Norėdami apskaičiuoti plotą S, galite iš karto naudoti aukščiau parašytą formulę. Turime:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Norėdami nustatyti garsumą, turite žinoti figūros aukštį h. Jį apskaičiuojame naudodami ryšį tarp tiesinių kūgio parametrų. Gauname:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Dabar galite naudoti formulę V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812 m., 83cm}3^.

Atkreipkite dėmesį, kad apvalaus kūgio tūris yra trečdalis cilindro, kuriame jis įrašytas.