Sukamojo judėjimo dinamikos ir kinematikos kiekybiniam tyrimui reikia žinoti materialaus taško ir standaus kūno inercijos momentą sukimosi ašies atžvilgiu. Straipsnyje apsvarstysime, apie kokį parametrą kalbame, taip pat pateiksime jo nustatymo formulę.
Bendra informacija apie fizinį kiekį
Pirma, apibrėžkime materialaus taško ir standaus kūno inercijos momentą, o tada parodykime, kaip jis turėtų būti naudojamas sprendžiant praktines problemas.
Pagal nurodytą fizinę charakteristiką taškui, kurio masė m ir kuris sukasi aplink ašį atstumu r, turima omenyje ši reikšmė:
I=mr².
Iš kur išplaukia, kad tiriamo parametro matavimo vienetas yra kilogramai kvadratiniam metrui (kgm²).
Jei vietoj taško aplink ašį sukasi sudėtingos formos kūnas, kurio masė savavališkai pasiskirsto, tada nustatomas jo inercijos momentastaigi:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Kur ρ yra kūno tankis. Naudodami integralo formulę, galite nustatyti I reikšmę absoliučiai bet kuriai sukimosi sistemai.
Inercijos momentas sukimuisi turi lygiai tą pačią reikšmę, kaip ir masė transliaciniam judėjimui. Pavyzdžiui, visi žino, kad grindų šluostę lengviausia sukti aplink ašį, einančią per jo rankeną, nei per statmeną. Taip yra dėl to, kad pirmuoju atveju inercijos momentas yra daug mažesnis nei antruoju.
Aš vertinu skirtingų formų kūnus
Spręsdami sukimosi fizikos uždavinius, dažnai reikia žinoti konkrečios geometrinės formos kūno, pavyzdžiui, cilindro, rutulio ar strypo, inercijos momentą. Jei taikysime aukščiau parašytą formulę I, tada nesunku gauti atitinkamą išraišką visiems pažymėtiems kūnams. Toliau pateikiamos kai kurių iš jų formulės:
strypas: I=1 / 12ML²;
cilindras: I=1/2MR²;
sfera: I=2 / 5MR².
Čia aš duota sukimosi ašiai, kuri eina per kūno masės centrą. Cilindro atveju ašis yra lygiagreti figūros generatoriui. Kitų geometrinių kūnų inercijos momentą ir sukimosi ašių išdėstymo variantus rasite atitinkamose lentelėse. Atkreipkite dėmesį, kad norint nustatyti skirtingas figūras, pakanka žinoti tik vieną geometrinį parametrą ir kūno masę.
Šteinerio teorema ir formulė
Inercijos momentą galima nustatyti, jei sukimosi ašis yra tam tikru atstumu nuo kūno. Norėdami tai padaryti, turėtumėte žinoti šio atkarpos ilgį ir kūno reikšmę IO ašies, einančios per jo masės centrą, atžvilgiu, kuri turėtų būti lygiagreti svarstymas. Ryšio tarp parametro IO ir nežinomos reikšmės I nustatymas fiksuotas Steinerio teoremoje. Matematikos taško ir standaus kūno inercijos momentas matematiškai parašytas taip:
I=IO+ Mh2.
Čia M yra kūno masė, h yra atstumas nuo masės centro iki sukimosi ašies, kurio atžvilgiu reikia apskaičiuoti I. Šią išraišką lengva gauti savarankiškai, jei naudokite integralo formulę I ir atsižvelkite į tai, kad visi kūno taškai yra atstumu r=r0 + h.
Steinerio teorema labai supaprastina I apibrėžimą daugelyje praktinių situacijų. Pavyzdžiui, jei reikia rasti I strypo, kurio ilgis L ir masė M ašies, einančios per jo galą, atžvilgiu, taikydami Steinerio teoremą galite parašyti:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Galite peržiūrėti atitinkamą lentelę ir pamatyti, kad joje yra tiksliai tokia plono strypo, kurio gale yra sukimosi ašis, formulė.
Momentinė lygtis
Sukimosi fizikoje yra formulė, vadinama momentų lygtimi. Tai atrodo taip:
M=Iα.
Čia M yra jėgos momentas, α yra kampinis pagreitis. Kaip matote, materialaus taško ir standaus kūno inercijos momentas bei jėgos momentas yra tiesiškai susiję vienas su kitu. Reikšmė M nustato tam tikros jėgos F galimybę sistemoje sukurti sukamąjį judesį su pagreičiu α. Norėdami apskaičiuoti M, naudokite šią paprastą išraišką:
M=Fd.
Kur d yra momento petys, lygus atstumui nuo jėgos vektoriaus F iki sukimosi ašies. Kuo mažesnė ranka d, tuo mažesnė jėga turės sistemos sukimąsi.
Momentų lygtis savo prasme visiškai atitinka antrąjį Niutono dėsnį. Šiuo atveju aš atlieku inercinės masės vaidmenį.
Problemos sprendimo pavyzdys
Įsivaizduokime sistemą, kuri yra cilindras, pritvirtintas prie vertikalios ašies besvoriu horizontaliu strypu. Yra žinoma, kad cilindro sukimosi ašis ir pagrindinė ašis yra lygiagrečios viena kitai, o atstumas tarp jų yra 30 cm. Cilindro masė 1 kg, spindulys 5 cm Jėga 10 N liestinė sukimosi trajektorijai veikia figūrą, kurios vektorius eina per pagrindinę cilindro ašį. Būtina nustatyti figūros kampinį pagreitį, kurį sukels ši jėga.
Pirmiausia apskaičiuokime I cilindro inercijos momentą. Norėdami tai padaryti, taikykite Steinerio teoremą, turime:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Prieš naudodami momento lygtį, turitenustatyti jėgos momentą M. Šiuo atveju turime:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Dabar galite nustatyti pagreitį:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Apskaičiuotas kampinis pagreitis rodo, kad kiekvieną sekundę cilindro greitis padidės 5,2 apsisukimų per sekundę.
