Kas yra tiesi prizmė? Savybės ir formulės. Užduoties pavyzdys

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 05:34

Stereometrija yra trimačių geometrinių formų charakteristikų tyrimas. Viena iš gerai žinomų tūrinių figūrų, atsirandančių geometrijos uždaviniuose, yra tiesi prizmė. Panagrinėkime šiame straipsnyje, kas tai yra, ir taip pat išsamiai apibūdinkime prizmę su trikampiu pagrindu.

Prizmė ir jos tipai

Prizmė yra figūra, susidaranti lygiagrečiai verčiant daugiakampį erdvėje. Šios geometrinės operacijos metu susidaro figūra, susidedanti iš kelių lygiagrečių ir dviejų identiškų daugiakampių, lygiagrečių vienas kitam. Lygiagretės yra prizmės kraštinės, o daugiakampiai yra jos pagrindai.

Bet kuri prizmė turi n+2 kraštines, 3n briaunas ir 2n viršūnių, kur n yra daugiakampio pagrindo kampų arba kraštinių skaičius. Paveikslėlyje pavaizduota penkiakampė prizmė, turinti 7 kraštines, 10 viršūnių ir 15 briaunų.

Nagrinėjama figūrų klasė pavaizduota kelių tipų prizmėmis. Trumpai juos išvardijame:

• įgaubta ir išgaubta;
• įstrižai ir tiesūs;
• neteisingai ir teisingai.

Kiekviena figūra priklauso vienam iš trijų išvardytų klasifikacijos tipų. Sprendžiant geometrinius uždavinius lengviausia atlikti taisyklingų ir tiesių prizmių skaičiavimus. Pastarasis bus išsamiau aptartas tolesnėse straipsnio pastraipose.

Kas yra tiesi prizmė?

Tiesi prizmė yra įgaubta arba išgaubta, taisyklinga arba netaisyklinga prizmė, kurios visos kraštinės pavaizduotos keturkampiais, kurių kampai yra 90°. Jei bent vienas iš kraštinių keturkampių nėra stačiakampis ar kvadratas, tai prizmė vadinama įstriža. Galima pateikti ir kitą apibrėžimą: tiesi prizmė yra tokia tam tikros klasės figūra, kurioje bet kuri šoninė briauna lygi aukščiui. Pagal prizmės aukštį h laikomas atstumas tarp jos pagrindų.

Abu pateikti apibrėžimai, kad tai yra tiesioginė prizmė, yra lygūs ir savarankiški. Iš jų matyti, kad visi dvikampiai kampai tarp bet kurio pagrindo ir kiekvienos kraštinės yra 90°.

Aukščiau buvo pasakyta, kad sprendžiant uždavinius patogu dirbti su tiesiomis figūromis. Taip yra dėl to, kad aukštis atitinka šoninio šonkaulio ilgį. Pastarasis faktas palengvina figūros tūrio ir jos šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo procesą.

Tiesioginės prizmės tūris

Tūris – bet kokiai erdvinei figūrai būdinga reikšmė, kuri skaitiniu būdu atspindi erdvės dalį tarp nagrinėjamo paviršiaus paviršių.objektas. Prizmės tūris gali būti apskaičiuojamas naudojant šią bendrą formulę:

V=S_oh.

Tai yra, aukščio ir pagrindo ploto sandauga duos norimą reikšmę V. Kadangi tiesios prizmės pagrindai yra lygūs, tada norint nustatyti plotą S_o galite pasiimti bet kurį iš jų.

Aukščiau pateiktos formulės, skirtos būtent tiesiajai prizmei, pranašumas, palyginti su kitais jos tipais, yra tas, kad labai lengva rasti figūros aukštį, nes jis sutampa su šoninės briaunos ilgiu.

Šoninė sritis

Patogu apskaičiuoti ne tik nagrinėjamos klasės tiesios figūros tūrį, bet ir jos šoninį paviršių. Iš tiesų, bet kuri jo pusė yra arba stačiakampis, arba kvadratas. Kiekvienas mokinys žino, kaip apskaičiuoti šių plokščių figūrų plotą, tam reikia gretimas puses padauginti vieną iš kitos.

Tarkime, kad prizmės pagrindas yra savavališkas n-kampis, kurio kraštinės yra lygios a_i. Indeksas i yra nuo 1 iki n. Vieno stačiakampio plotas apskaičiuojamas taip:

S_i=a_ih.

Šoninio paviršiaus plotą S_b lengva apskaičiuoti, jei sudėsite visus plotus S_i stačiakampiai. Šiuo atveju gauname galutinę formulę S_btiesi prizmė:

S_b=h∑_i=1(a_i)=hP_o.

Taigi, norėdami nustatyti tiesios prizmės šoninio paviršiaus plotą, turite padauginti jos aukštį iš vieno pagrindo perimetro.

Problema su trikampe prizme

Tarkime, kad duota tiesi prizmė. Pagrindas yra stačiakampis trikampis. Šio trikampio kojelės yra 12 cm ir 8 cm. Būtina apskaičiuoti figūros tūrį ir jos bendrą plotą, jei prizmės aukštis yra 15 cm.

Pirmiausia apskaičiuokime tiesios prizmės tūrį. Jo pagrinduose esančio trikampio (stačiakampio) plotas:

S_o=a₁a₂/2=128/2=48 cm².

Kaip galite atspėti, a₁ ir a₂ yra šios lygties dalys. Žinodami pagrindo plotą ir aukštį (žr. problemos sąlygą), galite naudoti formulę V:

V=S_oh=4815=720 cm³.

Bendrą figūros plotą sudaro dvi dalys: pagrindų plotai ir šoninis paviršius. Dviejų bazių sritys yra:

S_2o=2S_o=482=96 cm².

Norėdami apskaičiuoti šoninio paviršiaus plotą, turite žinoti stačiojo trikampio perimetrą. Apskaičiuokite pagal Pitagoro teoremą jos hipotenuzė a₃, turime:

a₃ =√(a₁²+ a₂ 2^)=√(122^{+ 8}2^{)=14,42 cm.}

Tada dešiniosios prizmės pagrindo trikampio perimetras bus:

P=a₁+ a₂+ a₃=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.

Taikant formulę S_b, kuri buvo parašyta ankstesnėje pastraipoje,gauti:

S_b=hP=1534, 42=516, 3 cm.

Pridėjus S_2o ir S_b plotus, gauname bendrą tiriamos geometrinės figūros paviršiaus plotą:

S=S_2o+ S_b=96 + 516, 3=612, 3 cm^2.

Trikampė prizmė, pagaminta iš specialių rūšių stiklo, naudojama optikoje šviesą skleidžiančių objektų spektrams tirti. Tokios prizmės dėl dispersijos reiškinio gali skaidyti šviesą į komponentų dažnius.