Šios geometrinės figūros mus supa visur. Išgaubti daugiakampiai gali būti natūralūs, pavyzdžiui, koriniai, arba dirbtiniai (dirbti). Šios figūrėlės naudojamos įvairių tipų dangų gamyboje, tapyboje, architektūroje, dekoracijose ir kt. Išgaubti daugiakampiai turi savybę, kad visi jų taškai yra toje pačioje pusėje tiesės, kuri eina per porą gretimų šios geometrinės figūros viršūnių. Yra ir kitų apibrėžimų. Daugiakampis vadinamas išgaubtu, jei jis yra vienoje pusplokštumoje bet kurios tiesės, turinčios vieną iš jo kraštinių, atžvilgiu.
Išgaubti daugiakampiai
Elementariosios geometrijos metu visada atsižvelgiama tik į paprastus daugiakampius. Norėdami suprasti visas tokių savybiųgeometrines figūras, būtina suprasti jų prigimtį. Pirmiausia reikia suprasti, kad bet kuri linija vadinama uždara, kurios galai sutampa. Be to, jo suformuota figūra gali būti įvairių konfigūracijų. Daugiakampis yra paprasta uždara laužta linija, kurioje gretimos grandys nėra toje pačioje tiesioje linijoje. Jo saitai ir viršūnės yra atitinkamai šios geometrinės figūros šonai ir viršūnės. Paprastoje eilutėje neturi būti susikirtimų.
Daugiakampio viršūnės vadinamos gretimomis, jei jos žymi vienos iš jo kraštinių galus. Geometrinė figūra, turinti n-tą viršūnių skaičių, taigi ir n-tą kraštinių skaičių, vadinama n kampu. Pati nutrūkusi linija vadinama šios geometrinės figūros riba arba kontūru. Daugiakampė plokštuma arba plokščias daugiakampis vadinamas galine bet kurios plokštumos, kurią ji riboja, dalimi. Šios geometrinės figūros gretimos kraštinės vadinamos trūkinės linijos, išeinančios iš vienos viršūnės, atkarpomis. Jie nebus gretimi, jei jie kilę iš skirtingų daugiakampio viršūnių.
Kiti išgaubtų daugiakampių apibrėžimai
Elementariojoje geometrijoje yra keletas lygiaverčių apibrėžimų, nurodančių, kuris daugiakampis vadinamas išgaubtu. Visi šie teiginiai yra vienodai teisingi. Daugiakampis laikomas išgaubtu, jei:
• kiekvienas segmentas, jungiantis bet kuriuos du jo viduje esančius taškus, yra visiškai jame;
• jos vidujevisos jo įstrižainės guli;
• bet koks vidinis kampas neviršija 180°.
Daugiakampis visada padalija plokštumą į 2 dalis. Vienas iš jų yra ribotas (gali būti uždarytas ratu), o kitas - neribotas. Pirmasis vadinamas vidine sritimi, o antrasis - išorine šios geometrinės figūros sritimi. Šis daugiakampis yra kelių pusiau plokštumų sankirta (kitaip tariant, bendras komponentas). Be to, kiekviena atkarpa, kurios galai yra taškuose, kurie priklauso daugiakampiui, visiškai priklauso jam.
Išgaubtų daugiakampių įvairovė
Išgaubto daugiakampio apibrėžimas nerodo, kad yra daug jų rūšių. Ir kiekvienas iš jų turi tam tikrus kriterijus. Taigi, išgaubti daugiakampiai, kurių vidinis kampas yra 180°, vadinami silpnai išgaubtais. Išgaubta geometrinė figūra, turinti tris viršūnes, vadinama trikampiu, keturios – keturkampiu, penkios – penkiakampiu ir tt Kiekvienas išgaubtas n-kampis atitinka tokį esminį reikalavimą: n turi būti lygus 3 arba didesnis. trikampiai yra išgaubti. Tokio tipo geometrinė figūra, kurios visos viršūnės yra tame pačiame apskritime, vadinama įbrėžta į apskritimą. Išgaubtas daugiakampis vadinamas apibrėžtuoju, jei visos jo kraštinės šalia apskritimo liečia jį. Sakoma, kad du daugiakampiai yra lygūs tik tada, kai juos galima uždėti superpozicija. Plokštumos daugiakampis vadinamas daugiakampe plokštuma.(plokštumos dalis), kurią riboja ši geometrinė figūra.
Įprasti išgaubti daugiakampiai
Įprasti daugiakampiai yra geometrinės figūros su vienodais kampais ir kraštinėmis. Jų viduje yra taškas 0, kuris yra vienodu atstumu nuo kiekvienos jo viršūnės. Jis vadinamas šios geometrinės figūros centru. Atkarpos, jungiančios centrą su šios geometrinės figūros viršūnėmis, vadinamos apotemais, o tos, kurios jungia tašką 0 su kraštinėmis, vadinamos spinduliais.
Taisyklingas keturkampis yra kvadratas. Lygiakraščiu trikampiu vadinamas lygiakraštis trikampis. Tokioms figūroms galioja tokia taisyklė: kiekvienas išgaubto daugiakampio kampas yra 180°(n-2)/n, kur n yra šios išgaubtos geometrinės figūros viršūnių skaičius.
Bet kurio reguliaraus daugiakampio plotas nustatomas pagal formulę:
S=ph, kur p yra pusė visų pateikto daugiakampio kraštinių sumos, o h yra apotemos ilgis.
Išgaubtų daugiakampių savybės
Išgaubti daugiakampiai turi tam tikrų savybių. Taigi, segmentas, jungiantis bet kuriuos 2 tokios geometrinės figūros taškus, būtinai yra jame. Įrodymas:
Tarkime, kad P yra duotas išgaubtas daugiakampis. Paimame 2 savavališkus taškus, pavyzdžiui, A, B, kurie priklauso P. Pagal esamą išgaubto daugiakampio apibrėžimą, šie taškai yra toje pačioje linijos, kurioje yra bet kuri P kraštinė, pusėje. Todėl AB taip pat turi šią savybę ir yra P. Išgaubtą daugiakampį visada galima padalyti į kelis trikampius absoliučiai visomis įstrižainėmis, nubrėžtomis iš vienos jo viršūnės.
Išgaubtų geometrinių formų kampai
Išgaubto daugiakampio kampai yra jo kraštinių suformuoti kampai. Vidiniai kampai yra tam tikros geometrinės figūros vidinėje srityje. Kampas, kurį sudaro jo kraštinės, susiliejančios vienoje viršūnėje, vadinamas išgaubto daugiakampio kampu. Kampai, esantys greta tam tikros geometrinės figūros vidinių kampų, vadinami išoriniais. Kiekvienas išgaubto daugiakampio kampas, esantis jo viduje, yra:
180° – x, kur x yra išorinio kampo reikšmė. Ši paprasta formulė tinka bet kokioms tokio tipo geometrinėms figūroms.
Apskritai išoriniams kampams galioja tokia taisyklė: kiekvienas išgaubto daugiakampio kampas yra lygus skirtumui tarp 180° ir vidinio kampo vertės. Jo vertės gali svyruoti nuo -180° iki 180°. Todėl, kai vidinis kampas yra 120°, išorinis kampas bus 60°.
Išgaubtų daugiakampių kampų suma
Išgaubto daugiakampio vidinių kampų suma nustatoma pagal formulę:
180°(n-2), kur n yra n kampo viršūnių skaičius.
Išgaubto daugiakampio kampų sumą apskaičiuoti gana lengva. Apsvarstykite bet kurią tokią geometrinę figūrą. Norint nustatyti kampų sumą išgaubto daugiakampio viduje, būtinasujungti vieną iš jos viršūnių su kitomis viršūnėmis. Dėl šio veiksmo gaunami (n-2) trikampiai. Žinome, kad bet kurio trikampio kampų suma visada yra 180°. Kadangi jų skaičius bet kuriame daugiakampyje yra (n-2), tokios figūros vidinių kampų suma yra 180° x (n-2).
Išgaubto daugiakampio, ty bet kurių dviejų vidinių ir gretimų išorinių kampų, kampų suma tam tikrai išgaubtai geometrinei figūrai visada bus lygi 180°. Remdamiesi tuo, galite nustatyti visų jo kampų sumą:
180 x n.
Vidinių kampų suma yra 180° (n-2). Remiantis tuo, visų išorinių šios figūros kampų suma nustatoma pagal formulę:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Bet kurio išgaubto daugiakampio išorinių kampų suma visada bus 360° (neatsižvelgiant į kraštinių skaičių).
Išorinis išgaubto daugiakampio kampas paprastai vaizduojamas kaip skirtumas tarp 180° ir vidinio kampo vertės.
Kitos išgaubto daugiakampio savybės
Be pagrindinių šių geometrinių formų savybių, jos turi ir kitų, kurios atsiranda manipuliuojant jomis. Taigi, bet kurį daugiakampį galima suskirstyti į kelis išgaubtus n kampus. Norėdami tai padaryti, turite tęsti kiekvieną jo pusę ir iškirpti šią geometrinę figūrą išilgai šių tiesių linijų. Taip pat galima bet kurį daugiakampį padalinti į keletą išgaubtų dalių taip, kad kiekvienos gabalo viršūnės sutaptų su visomis jo viršūnėmis. Iš tokios geometrinės figūros galima labai paprastai padaryti trikampius, nubrėžus visusįstrižainės iš vienos viršūnės. Taigi, bet kurį daugiakampį ilgainiui galima padalyti į tam tikrą skaičių trikampių, o tai labai naudinga sprendžiant įvairias su tokiomis geometrinėmis figūromis susijusias problemas.
Išgaubto daugiakampio perimetras
Nutrauktos linijos atkarpos, vadinamos daugiakampio kraštinėmis, dažniausiai žymimos šiomis raidėmis: ab, bc, cd, de, ea. Tai geometrinės figūros su viršūnėmis a, b, c, d, e kraštinės. Visų šio išgaubto daugiakampio kraštinių ilgių suma vadinama jo perimetru.
Daugiakampio perimetras
Išgaubtus daugiakampius galima įrašyti ir apriboti. Apskritimas, kuris liečia visas šios geometrinės figūros puses, vadinamas įbrėžtu į jį. Toks daugiakampis vadinamas ribotu. Į daugiakampį įrašyto apskritimo centras yra visų kampų, esančių tam tikroje geometrinėje figūroje, susikirtimo taškas. Tokio daugiakampio plotas yra:
S=pr, kur r yra įbrėžto apskritimo spindulys, o p yra nurodyto daugiakampio pusperimetras.
Apskritimas, kuriame yra daugiakampio viršūnės, vadinamas aplink jį apibrėžtu. Be to, ši išgaubta geometrinė figūra vadinama įrašyta. Apskritimo centras, kuris yra apibrėžtas apie tokį daugiakampį, yra visų kraštinių vadinamųjų statmenų bisektorių susikirtimo taškas.
Išgaubtų geometrinių formų įstrižainės
Išgaubto daugiakampio įstrižainės yra atkarpos, kuriossujungti ne gretimas viršūnes. Kiekvienas iš jų yra šios geometrinės figūros viduje. Tokio n kampo įstrižainių skaičius nustatomas pagal formulę:
N=n (n – 3)/ 2.
Išgaubto daugiakampio įstrižainių skaičius atlieka svarbų vaidmenį elementariojoje geometrijoje. Trikampių (K), į kuriuos galima padalyti kiekvieną išgaubtą daugiakampį, skaičius apskaičiuojamas pagal šią formulę:
K=n – 2.
Išgaubto daugiakampio įstrižainių skaičius visada priklauso nuo jo viršūnių skaičiaus.
Išgaubto daugiakampio skaidymas
Kai kuriais atvejais, norint išspręsti geometrines problemas, išgaubtą daugiakampį reikia padalyti į kelis trikampius, kurių įstrižainės nesikerta. Šią problemą galima išspręsti išvedant konkrečią formulę.
Uždavinio apibrėžimas: pavadinkime tinkamą išgaubto n kampo skaidinį į kelis trikampius įstrižainėmis, kurios susikerta tik šios geometrinės figūros viršūnėse.
Sprendimas: Tarkime, kad Р1, Р2, Р3 …, Pn yra šio n kampo viršūnės. Skaičius Xn yra jo skaidinių skaičius. Atidžiai apsvarstykime gautą geometrinės figūros Pi Pn įstrižainę. Bet kurioje įprastoje pertvaroje P1 Pn priklauso tam tikram trikampiui P1 Pi Pn, kuris turi 1<i<n. Remdamiesi tuo ir darydami prielaidą, kad i=2, 3, 4 …, n-1, gauname (n-2) šių skaidinių grupes, kurios apima visus galimus konkrečius atvejus.
Tegul i=2 yra viena reguliarių skaidinių grupė, kuri visada turi įstrižainę Р2 Pn. Į jį patenkančių skaidinių skaičius yra toks pat kaip skaidinių skaičius(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Kitaip tariant, jis lygus Xn-1.
Jei i=3, tada šioje kitoje pertvarų grupėje visada bus įstrižainės Р3 Р1 ir Р3 Pn. Šiuo atveju įprastų skaidinių, esančių šioje grupėje, skaičius sutaps su (n-2)-gon P3 P4 … Pn skaidinių skaičiumi. Kitaip tariant, jis bus lygus Xn-2.
Tegul i=4, tada tarp trikampių taisyklingoje pertvaroje tikrai bus trikampis P1 P4 Pn, prie kurio jungsis keturkampis P1 P2 P3 P4, (n-3)-kampis P4 P5 … Pn. Tokio keturkampio taisyklingųjų pertvarų skaičius yra X4, o (n-3)-kampo – Xn-3. Remdamiesi tuo, kas išdėstyta pirmiau, galime pasakyti, kad bendras teisingų skaidinių skaičius šioje grupėje yra Xn-3 X4. Kitose grupėse, kurių i=4, 5, 6, 7… bus Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … įprastos pertvaros.
Tegul i=n-2, tada teisingų skilimų skaičius šioje grupėje bus toks pat kaip ir skilimų skaičius grupėje, kur i=2 (kitaip tariant, lygus Xn-1).
Kadangi X1=X2=0, X3=1, X4=2…, tada visų išgaubto daugiakampio skirsnių skaičius yra:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Pavyzdys:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Teisingų pertvarų, susikertančių viena įstriža viduje, skaičius
Tikrinant specialius atvejus, galima pasiektiprielaida, kad išgaubtų n kampų įstrižainių skaičius yra lygus visų šios figūros skaidinių sandaugai iš (n-3).
Šios prielaidos įrodymas: įsivaizduokite, kad P1n=Xn(n-3), tada bet kurį n kampą galima padalyti į (n-2) trikampius. Be to, iš jų gali būti sudarytas (n-3) keturkampis. Be to, kiekvienas keturkampis turės įstrižainę. Kadangi šioje išgaubtoje geometrinėje figūroje gali būti nubrėžtos dvi įstrižainės, tai reiškia, kad bet kuriame (n-3) keturkampyje gali būti nubrėžtos papildomos (n-3) įstrižainės. Remdamiesi tuo, galime daryti išvadą, kad bet kurioje įprastoje skaidinyje galima nubrėžti (n-3) įstrižaines, kurios atitinka šios problemos sąlygas.
Išgaubtų daugiakampių plotas
Dažnai, sprendžiant įvairius elementarios geometrijos uždavinius, reikia nustatyti išgaubto daugiakampio plotą. Tarkime, kad (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n yra visų gretimų daugiakampio, kuris neturi susikirtimų, viršūnių koordinačių seka. Šiuo atveju jo plotas apskaičiuojamas pagal šią formulę:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), kur (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
