Trikampis, kvadratas, šešiakampis – šias figūras žino beveik visi. Tačiau ne visi žino, kas yra taisyklingas daugiakampis. Bet tai visos tos pačios geometrinės figūros. Taisyklingas daugiakampis yra tas, kurio kampai ir kraštinės yra vienodi. Tokių figūrų yra daug, tačiau jos visos turi tas pačias savybes ir joms taikomos tos pačios formulės.
Įprastų daugiakampių savybės
Bet koks taisyklingas daugiakampis, nesvarbu, ar tai būtų kvadratas, ar aštuonkampis, gali būti įrašytas į apskritimą. Ši pagrindinė savybė dažnai naudojama kuriant figūrą. Be to, apskritimas taip pat gali būti įrašytas į daugiakampį. Tokiu atveju sąlyčio taškų skaičius bus lygus jo pusių skaičiui. Svarbu, kad apskritimas, įrašytas į taisyklingą daugiakampį, turėtų su juo bendrą centrą. Šioms geometrinėms figūroms taikomos tos pačios teoremos. Bet kuri pusėTaisyklingo n kampo yra susietas su aplink jį apibrėžiamo apskritimo spinduliu R. Todėl jį galima apskaičiuoti naudojant tokią formulę: a=2R ∙ sin180°. Per apskritimo spindulį galite rasti ne tik daugiakampio kraštines, bet ir perimetrą.
Kaip rasti įprasto daugiakampio kraštinių skaičių
Bet kuris įprastas n-kampis susideda iš tam tikro skaičiaus atkarpų, lygių viena kitai, kurios, sujungtos, sudaro uždarą liniją. Šiuo atveju visi suformuotos figūros kampai turi tą pačią vertę. Daugiakampiai skirstomi į paprastus ir sudėtingus. Pirmąją grupę sudaro trikampis ir kvadratas. Sudėtingi daugiakampiai turi daugiau kraštinių. Juose taip pat yra žvaigždės formos figūros. Sudėtingų taisyklingų daugiakampių kraštinės randamos įbrėžiant jas apskritimu. Pateikime įrodymą. Nubrėžkite taisyklingą daugiakampį su savavališku kraštinių skaičiumi n. Apibūdinkite apskritimą aplink jį. Nurodykite spindulį R. Dabar įsivaizduokite, kad pateiktas koks nors n-kampis. Jei jo kampų taškai yra ant apskritimo ir yra lygūs vienas kitam, tada kraštines galima rasti pagal formulę: a=2R ∙ sinα: 2.
Įbrėžto taisyklingo trikampio kraštinių skaičiaus radimas
Lygiakraštis trikampis yra taisyklingas daugiakampis. Jam taikomos tos pačios formulės kaip ir kvadratui bei n kampui. Trikampis bus laikomas teisingu, jei jo kraštinės yra vienodos. Šiuo atveju kampai yra 60⁰. Sukurkite trikampį, kurio kraštinės ilgis yra a. Žinant jo vidurkį ir aukštį,galite sužinoti jo pusių vertę. Norėdami tai padaryti, naudosime metodą, kaip rasti pagal formulę a \u003d x: cosα, kur x yra mediana arba aukštis. Kadangi visos trikampio kraštinės yra lygios, gauname a=b=c. Tada toks teiginys bus teisingas a=b=c=x: cosα. Panašiai galite rasti lygiašonio trikampio kraštinių reikšmę, tačiau x bus nurodytas aukštis. Tuo pačiu metu jis turėtų būti projektuojamas griežtai ant figūros pagrindo. Taigi, žinodami aukštį x, lygiašonio trikampio kraštinę a randame naudodami formulę a \u003d b \u003d x: cosα. Suradę a reikšmę, galite apskaičiuoti pagrindo c ilgį. Taikykime Pitagoro teoremą. Ieškosime pusės bazės c reikšmės: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Tada c=2xtanα. Štai paprastas būdas rasti bet kurio įrašyto daugiakampio kraštinių skaičių.
Apskaičiuokite kvadrato, įbrėžto į apskritimą, kraštines
Kaip ir bet kuris kitas įbrėžtas taisyklingas daugiakampis, kvadrato kraštinės ir kampai yra vienodi. Jam taikomos tos pačios formulės kaip ir trikampiui. Galite apskaičiuoti kvadrato kraštines naudodami įstrižainės reikšmę. Panagrinėkime šį metodą išsamiau. Yra žinoma, kad įstrižainė dalija kampą pusiau. Iš pradžių jo vertė buvo 90 laipsnių. Taigi po padalijimo susidaro du stačiakampiai trikampiai. Jų pagrindo kampai bus 45 laipsniai. Atitinkamai, kiekviena kvadrato kraštinė bus lygi, tai yra: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kur e yra kvadrato įstrižainė arba pagrindas po padalijimo susidaręs stačiakampis trikampis. Tai ne vienintelis būdasieškant kvadrato kraštinių. Įbrėžkime šią figūrą į apskritimą. Žinodami šio apskritimo spindulį R, randame kvadrato kraštinę. Ją apskaičiuosime taip a4=R√2. Taisyklingų daugiakampių spinduliai apskaičiuojami pagal formulę R=a: 2tg (360o: 2n), kur a yra kraštinės ilgis.
Kaip apskaičiuoti n-kampo perimetrą
N kampo perimetras yra visų jo kraštinių suma. Tai lengva apskaičiuoti. Norėdami tai padaryti, turite žinoti visų pusių vertybes. Kai kurių tipų daugiakampiams yra specialios formulės. Jie leidžia daug greičiau rasti perimetrą. Yra žinoma, kad bet kuris taisyklingas daugiakampis turi lygias kraštines. Todėl, norint apskaičiuoti jo perimetrą, pakanka žinoti bent vieną iš jų. Formulė priklausys nuo figūros kraštinių skaičiaus. Apskritai tai atrodo taip: P \u003d an, kur a yra kraštinės reikšmė, o n yra kampų skaičius. Pavyzdžiui, norėdami rasti įprasto aštuonkampio, kurio kraštinė yra 3 cm, perimetrą, turite jį padauginti iš 8, tai yra, P=3 ∙ 8=24 cm. Šešiakampiui, kurio kraštinė yra 5 cm, apskaičiuojame taip: P=5 ∙ 6=30 cm. Ir taip kiekvienam daugiakampiui.
Lygiagretainio, kvadrato ir rombo perimetro radimas
Priklausomai nuo to, kiek kraštinių turi taisyklingas daugiakampis, apskaičiuojamas jo perimetras. Tai labai palengvina užduotį. Išties, skirtingai nuo kitų figūrų, šiuo atveju nebūtina ieškoti visų jos pusių, užtenka vienos. Tuo pačiu principu randame perimetrą tiesketurkampiai, tai yra kvadratas ir rombas. Nepaisant to, kad tai yra skirtingi skaičiai, jų formulė yra ta pati P=4a, kur a yra pusė. Paimkime pavyzdį. Jei rombo ar kvadrato kraštinė yra 6 cm, tada perimetrą randame taip: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Lygiagretainis turi tik priešingas kraštines. Todėl jo perimetras randamas naudojant kitą metodą. Taigi, turime žinoti figūros ilgį a ir plotį b. Tada taikome formulę P=(a + c) ∙ 2. Lygiagretainis, kurio visos kraštinės ir kampai tarp jų yra lygūs, vadinamas rombu.
Lygiakraščio ir stačiakampio trikampio perimetro radimas
Taisyklingojo lygiakraščio trikampio perimetrą galima rasti pagal formulę P=3a, kur a yra kraštinės ilgis. Jei jis nežinomas, jį galima rasti per medianą. Stačiakampiame trikampyje tik dvi kraštinės yra lygios. Pagrindą galima rasti per Pitagoro teoremą. Kai žinomos visų trijų pusių reikšmės, apskaičiuojame perimetrą. Jį galima rasti taikant formulę P \u003d a + b + c, kur a ir b yra lygios kraštinės, o c yra pagrindas. Prisiminkite, kad lygiašoniame trikampyje a \u003d b \u003d a, taigi, a + b \u003d 2a, tada P \u003d 2a + c. Pavyzdžiui, lygiašonio trikampio kraštinė yra 4 cm, raskite jo pagrindą ir perimetrą. Hipotenuzos reikšmę apskaičiuojame pagal Pitagoro teoremą c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Dabar apskaičiuojame perimetrą Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Kaip rasti įprasto daugiakampio kampus
Įprastas daugiakampismūsų gyvenime pasitaiko kiekvieną dieną, pavyzdžiui, paprastas kvadratas, trikampis, aštuonkampis. Atrodytų, kad nėra nieko lengviau, kaip susikurti šią figūrą patiems. Bet tai tik iš pirmo žvilgsnio. Norint sukurti bet kurį n kampą, reikia žinoti jo kampų reikšmę. Bet kaip juos rasti? Net senovės mokslininkai bandė statyti taisyklingus daugiakampius. Jie spėjo juos sutalpinti į ratus. Ir tada ant jo buvo pažymėti reikalingi taškai, sujungti tiesiomis linijomis. Dėl paprastų figūrų statybos problema buvo išspręsta. Gautos formulės ir teoremos. Pavyzdžiui, Euklidas savo garsiajame darbe „Pradžia“užsiėmė 3, 4, 5, 6 ir 15 gonų uždavinių sprendimu. Jis rado būdų, kaip juos sukonstruoti ir rasti kampus. Pažiūrėkime, kaip tai padaryti 15 gon. Pirmiausia reikia apskaičiuoti jo vidinių kampų sumą. Būtina naudoti formulę S=180⁰(n-2). Taigi, mums suteikiamas 15 kampų, o tai reiškia, kad skaičius n yra 15. Mes pakeičiame mums žinomus duomenis į formulę ir gauname S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Mes radome visų 15 kampų vidinių kampų sumą. Dabar turime sužinoti kiekvieno iš jų vertę. Kampų iš viso yra 15. Skaičiuojame 2340⁰: 15=156⁰. Tai reiškia, kad kiekvienas vidinis kampas yra 156⁰, dabar naudodami liniuotę ir kompasą galite sukurti įprastą 15 kampų. Bet kaip su sudėtingesniais n-gonais? Šimtmečius mokslininkai stengėsi išspręsti šią problemą. Jį tik XVIII amžiuje rado Carlas Friedrichas Gaussas. Jis sugebėjo sukurti 65537-gon. Nuo tada problema oficialiai laikoma visiškai išspręsta.
N kampų kampų apskaičiavimasradianais
Žinoma, yra keletas būdų, kaip rasti daugiakampių kampus. Dažniausiai jie skaičiuojami laipsniais. Bet jūs taip pat galite juos išreikšti radianais. Kaip tai padaryti? Būtina elgtis taip. Pirmiausia išsiaiškiname taisyklingo daugiakampio kraštinių skaičių, tada iš jo atimame 2. Taigi gauname reikšmę: n - 2. Rastą skirtumą padauginkite iš skaičiaus n („pi“=3, 14). Dabar lieka tik padalyti gautą sandaugą iš kampų skaičiaus n-kampyje. Apsvarstykite šiuos skaičiavimus naudodami tos pačios penkiolikos pusių pavyzdį. Taigi, skaičius n yra 15. Taikykite formulę S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Tai, žinoma, nėra vienintelis būdas apskaičiuoti kampą radianais. Galite tiesiog padalyti kampo dydį laipsniais iš skaičiaus 57, 3. Juk tiek laipsnių yra tolygus vienam radianui.
Apskaičiuokite kampų vertę laipsniais
Be laipsnių ir radianų, galite pabandyti rasti taisyklingo daugiakampio kampų vertę laipsniais. Tai daroma tokiu būdu. Iš viso kampų skaičiaus atimkite 2, gautą skirtumą padalinkite iš taisyklingo daugiakampio kraštinių skaičiaus. Rastą rezultatą padauginame iš 200. Beje, toks kampų matavimo vienetas kaip kruša praktiškai nenaudojamas.
Išorinių n kampų kampų apskaičiavimas
Bet kurio reguliaraus daugiakampio, išskyrus vidinį, galite apskaičiuoti išorinį kampą. Jo vertė nustatoma taip pat, kaip ir kitų figūrų. Taigi, norint rasti įprasto daugiakampio išorinį kampą, jums reikiažinoti vidinio prasmę. Be to, mes žinome, kad šių dviejų kampų suma visada yra 180 laipsnių. Todėl skaičiavimus atliekame taip: 180⁰ atėmus vidinio kampo reikšmę. Mes randame skirtumą. Jis bus lygus kampo, esančio šalia jo, vertei. Pavyzdžiui, kvadrato vidinis kampas yra 90 laipsnių, taigi išorinis kampas bus 180⁰ - 90⁰=90⁰. Kaip matome, jį rasti nėra sunku. Išorinis kampas gali būti atitinkamai nuo +180⁰ iki -180⁰.
