Mechaninė sistema, kurią sudaro materialus taškas (kūnas), kabantis ant neištęsto nesvario sriegio (jo masė yra nereikšminga, palyginti su kūno svoriu) vienodame gravitacijos lauke, vadinama matematine švytuokle (kitas pavadinimas yra osciliatorius). Yra ir kitų šio įrenginio tipų. Vietoj sriegio galima naudoti nesvarų strypą. Matematinė švytuoklė gali aiškiai atskleisti daugelio įdomių reiškinių esmę. Esant nedidelei virpesių amplitudei, jo judėjimas vadinamas harmoniniu.
Mechaninės sistemos apžvalga
Šios švytuoklės svyravimo periodo formulę išvedė olandų mokslininkas Huygensas (1629-1695). Šis I. Niutono amžininkas labai mėgo šią mechaninę sistemą. 1656 metais jis sukūrė pirmąjį švytuoklinį laikrodį. Jie laiką matavo išskirtinaiuž tų laikų tikslumą. Šis išradimas tapo svarbiu fizinių eksperimentų ir praktinės veiklos plėtros etapu.
Jei švytuoklė yra pusiausvyroje (kabanti vertikaliai), gravitacijos jėgą subalansuos sriegio įtempimo jėga. Plokščioji švytuoklė ant neištempto sriegio yra dviejų laisvės laipsnių sistema su jungtimi. Pakeitus tik vieną komponentą, pasikeičia visų jo dalių charakteristikos. Taigi, jei sriegis bus pakeistas strypu, tada ši mechaninė sistema turės tik 1 laisvės laipsnį. Kokios yra matematinės švytuoklės savybės? Šioje paprasčiausioje sistemoje chaosas kyla dėl periodinių trikdžių. Tuo atveju, kai pakabos taškas nejuda, o svyruoja, švytuoklė turi naują pusiausvyros padėtį. Greitai svyruodama aukštyn ir žemyn, ši mechaninė sistema įgauna stabilią aukštyn kojomis padėtį. Ji taip pat turi savo vardą. Ji vadinama Kapitzos švytuokle.
Švytuoklės savybės
Matematinė švytuoklė turi labai įdomių savybių. Visus juos patvirtina žinomi fiziniai dėsniai. Bet kurios kitos švytuoklės svyravimo laikotarpis priklauso nuo įvairių aplinkybių, tokių kaip kūno dydis ir forma, atstumas tarp pakabos taško ir svorio centro, masės pasiskirstymas šio taško atžvilgiu. Štai kodėl nustatyti kabančio kūno laikotarpį yra gana sudėtinga užduotis. Daug lengviau apskaičiuoti matematinės švytuoklės periodą, kurio formulė bus pateikta žemiau. Dėl panašių stebėjimųmechaninės sistemos gali nustatyti šiuos modelius:
• Jei, išlaikydami vienodą švytuoklės ilgį, kabinsime skirtingus svorius, tai jų svyravimo periodas bus vienodas, nors jų masės labai skirsis. Todėl tokios švytuoklės veikimo laikas nepriklauso nuo apkrovos masės.
• Paleidus sistemą, jei švytuoklė nukrypsta ne per dideliais, o skirtingais kampais, ji pradės svyruoti tuo pačiu periodu, bet skirtingomis amplitudėmis. Kol nukrypimai nuo pusiausvyros centro nėra per dideli, tol svyravimai savo forma bus gana artimi harmoniniams. Tokios švytuoklės periodas niekaip nepriklauso nuo virpesių amplitudės. Ši šios mechaninės sistemos savybė vadinama izochronizmu (išvertus iš graikų kalbos „chronos“– laikas, „isos“– lygus).
Matematinės švytuoklės laikotarpis
Šis rodiklis rodo natūralių svyravimų laikotarpį. Nepaisant sudėtingos formuluotės, pats procesas yra labai paprastas. Jei matematinės švytuoklės sriegio ilgis yra L, o laisvojo kritimo pagreitis yra g, tada ši reikšmė yra:
T=2π√L/g
Smulkių natūralių svyravimų laikotarpis jokiu būdu nepriklauso nuo švytuoklės masės ir svyravimų amplitudės. Šiuo atveju švytuoklė juda kaip matematinė svyruoklė su sumažintu ilgiu.
Matematinės švytuoklės sūpynės
Svyruoja matematinė švytuoklė, kurią galima apibūdinti paprasta diferencialine lygtimi:
x + ω2 sin x=0, kur x (t) yra nežinoma funkcija (tai yra nuokrypio kampas nuo apatinėspusiausvyros padėtis momentu t, išreiškiama radianais); ω yra teigiama konstanta, kuri nustatoma pagal švytuoklės parametrus (ω=√g/L, kur g – laisvojo kritimo pagreitis, o L – matematinės švytuoklės (pakabos) ilgis).
Mažų svyravimų, esančių šalia pusiausvyros padėties, lygtis (harmoninė lygtis) atrodo taip:
x + ω2 sin x=0
Svyruojantys švytuoklės judesiai
Matematinė švytuoklė, kuri priverčia nedidelius svyravimus juda išilgai sinusoidės. Antros eilės diferencialinė lygtis atitinka visus tokio judėjimo reikalavimus ir parametrus. Norėdami nustatyti trajektoriją, turite nurodyti greitį ir koordinates, iš kurių tada nustatomos nepriklausomos konstantos:
x=nuodėmė (θ0 + ωt), kur θ0 yra pradinė fazė, A yra virpesių amplitudė, ω yra ciklinis dažnis, nustatytas pagal judėjimo lygtį.
Matematinė švytuoklė (didelių amplitudių formulės)
Ši mechaninė sistema, kuri svyruoja su didele amplitude, paklūsta sudėtingesniems judėjimo dėsniams. Tokiai švytuoklei jie apskaičiuojami pagal formulę:
sin x/2=usn(ωt/u), kur sn yra Jacobi sinusas, kuris u < 1 yra periodinė funkcija, o mažajam u sutampa su paprastu trigonometriniu sinusu. u reikšmė nustatoma pagal šią išraišką:
u=(ε + ω2)/2ω2, kur ε=E/mL2 (mL2 yra švytuoklės energija).
Netiesinės švytuoklės svyravimo periodo nustatymasatliekama pagal formulę:
T=2π/Ω, kur Ω=π/2ω/2K(u), K yra elipsinis integralas, π - 3, 14.
Švytuoklės judėjimas išilgai separatoriaus
Separatricsas yra dinaminės sistemos su dvimačiu fazių erdve trajektorija. Matematinė švytuoklė juda išilgai jos neperiodiškai. Be galo nutolusiu laiko momentu jis nuliniu greičiu nukrenta iš kraštutinės viršutinės padėties į šoną, tada palaipsniui jį pakelia. Galiausiai jis sustoja ir grįžta į pradinę padėtį.
Jei švytuoklės svyravimų amplitudė artėja prie skaičiaus π, tai rodo, kad judėjimas fazinėje plokštumoje artėja prie separatrikso. Šiuo atveju, veikiant nedidelei periodinei varomajai jėgai, mechaninė sistema veikia chaotiškai.
Kai matematinė švytuoklė nukrypsta nuo pusiausvyros padėties tam tikru kampu φ, atsiranda tangentinė sunkio jėga Fτ=–mg sin φ. Minuso ženklas reiškia, kad ši liestinė dedamoji nukreipta priešinga kryptimi nuo švytuoklės įlinkio. Kai švytuoklės poslinkis išilgai apskritimo, kurio spindulys L, lankas žymimas x, jos kampinis poslinkis lygus φ=x/L. Antrasis Izaoko Niutono dėsnis, skirtas pagreičio vektoriaus ir jėgos projekcijoms, duos norimą reikšmę:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Remiantis šiuo santykiu, aišku, kad ši švytuoklė yra netiesinė sistema, nes jėga, kuri siekia grįžtiji pusiausvyros padėčiai, visada yra proporcinga ne poslinkiui x, o sin x/L.
Tik tada, kai matematinė švytuoklė daro nedidelius svyravimus, ji yra harmoninis osciliatorius. Kitaip tariant, ji tampa mechanine sistema, galinčia atlikti harmonines vibracijas. Šis apytikslis skaičiavimas praktiškai galioja 15–20° kampams. Didelės amplitudės švytuoklės svyravimai nėra harmoningi.
Niutono dėsnis mažiems švytuoklės virpesiams
Jei ši mechaninė sistema atlieka mažus virpesius, 2-asis Niutono dėsnis atrodys taip:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Remiantis tuo, galime daryti išvadą, kad matematinės švytuoklės tangentinis pagreitis yra proporcingas jos poslinkiui su minuso ženklu. Tai yra sąlyga, dėl kurios sistema tampa harmoniniu osciliatoriumi. Proporcinio padidėjimo tarp poslinkio ir pagreičio modulis yra lygus apskritimo dažnio kvadratui:
ω02=g/l; ω0=√ g/L.
Ši formulė atspindi natūralų šio tipo švytuoklės mažų virpesių dažnį. Remiantis tuo, T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Skaičiavimai pagal energijos tvermės dėsnį
Švytuoklės svyruojančių judesių savybes taip pat galima apibūdinti naudojant energijos tvermės dėsnį. Šiuo atveju reikia atsižvelgti į tai, kad potenciali švytuoklės energija gravitaciniame lauke yra:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Bendra mechaninė energijalygus kinetiniam arba maksimaliam potencialui: Epmax=Ekmsx=E
Parašę energijos tvermės dėsnį, paimkite išvestinę iš dešinės ir kairės lygties pusių:
Ep + Ek=const
Kadangi pastovių reikšmių išvestinė yra 0, tai (Ep + Ek)'=0. Sumos išvestinė lygi išvestinių sumai:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2 (v2)'=m/22vv'=mv α, taigi:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Remiantis paskutine formule, randame: α=- g/Lx.
Praktinis matematinės švytuoklės taikymas
Laisvo kritimo pagreitis skiriasi priklausomai nuo geografinės platumos, nes žemės plutos tankis visoje planetoje yra nevienodas. Ten, kur yra didesnio tankio uolienos, jis bus šiek tiek didesnis. Geologiniams tyrimams dažnai naudojamas matematinės švytuoklės pagreitis. Jis naudojamas įvairių mineralų paieškai. Paprasčiausiai suskaičiavę švytuoklės sūpuoklių skaičių, galite rasti anglį ar rūdą Žemės gelmėse. Taip yra dėl to, kad tokių fosilijų tankis ir masė yra didesni nei po jomis esančių laisvų uolienų.
Matematinę švytuoklę naudojo tokie žymūs mokslininkai kaip Sokratas, Aristotelis, Platonas, Plutarchas, Archimedas. Daugelis jų tikėjo, kad ši mechaninė sistema gali turėti įtakos žmogaus likimui ir gyvenimui. Archimedas savo skaičiavimuose naudojo matematinę švytuoklę. Šiais laikais daug okultistų ir aiškiaregiųnaudokite šią mechaninę sistemą, kad išpildytumėte jų pranašystes arba ieškotumėte dingusių žmonių.
Žymus prancūzų astronomas ir gamtininkas K. Flammarionas savo tyrimams taip pat naudojo matematinę švytuoklę. Jis tvirtino, kad jo pagalba sugebėjo nuspėti naujos planetos atradimą, Tunguskos meteorito atsiradimą ir kitus svarbius įvykius. Antrojo pasaulinio karo metais Vokietijoje (Berlyne) veikė specializuotas Švytuoklių institutas. Šiandien panašiais tyrimais užsiima Miuncheno parapsichologijos institutas. Šios įstaigos darbuotojai savo darbą su švytuokle vadina „radiestezija“.
