Furjė serija yra savavališkai paimtos funkcijos su konkrečiu periodu atvaizdavimas kaip serija. Apskritai šis sprendimas vadinamas elemento išskaidymu stačiakampiu pagrindu. Funkcijų išplėtimas Furjė serijoje yra gana galingas įrankis sprendžiant įvairias problemas dėl šios transformacijos savybių integruojant, diferencijuojant, taip pat keičiant išraišką argumente ir konvoliucijoje.
Asmuo, kuris nėra susipažinęs su aukštąja matematika, taip pat su prancūzų mokslininko Furjė darbais, greičiausiai nesupras, kas yra šios „eilės“ir kam jos skirtos. Tuo tarpu ši transformacija mūsų gyvenime tapo gana tanki. Jį naudoja ne tik matematikai, bet ir fizikai, chemikai, medikai, astronomai, seismologai, okeanografai ir daugelis kitų. Pažvelkime atidžiau į didžiojo prancūzų mokslininko darbus, kurie atrado anksčiau laiko.
Žmogus ir Furjė transformacija
Furjė eilutės yra vienas iš Furjė transformacijos metodų (kartu su analize ir kitais). Šis procesas vyksta kiekvieną kartą, kai žmogus išgirsta garsą. Mūsų ausis automatiškai konvertuoja garsąbangos. Elementariųjų dalelių svyruojantys judesiai elastingoje terpėje yra suskaidomi į eilutes (išilgai spektro) iš eilės skirtingo aukščio tonų garsumo lygio verčių. Tada smegenys šiuos duomenis paverčia mums žinomais garsais. Visa tai vyksta be mūsų noro ar sąmonės, savaime, tačiau norint suprasti šiuos procesus, prireiks kelerių metų aukštosios matematikos studijoms.
Daugiau apie Furjė transformaciją
Furjė transformaciją galima atlikti analitiniais, skaitiniais ir kitais metodais. Furjė serijos nurodo skaitinį bet kokių virpesių procesų skaidymo būdą - nuo vandenyno potvynių ir šviesos bangų iki saulės (ir kitų astronominių objektų) veiklos ciklų. Naudojant šiuos matematinius metodus, galima analizuoti funkcijas, vaizduojančias bet kokius svyravimo procesus kaip sinusinių komponentų seriją, kuri pereina nuo minimumo iki maksimumo ir atvirkščiai. Furjė transformacija yra funkcija, apibūdinanti tam tikrą dažnį atitinkančių sinusoidų fazę ir amplitudę. Šis procesas gali būti naudojamas sprendžiant labai sudėtingas lygtis, apibūdinančias dinaminius procesus, vykstančius šiluminės, šviesos ar elektros energijos įtakoje. Be to, Furjė serijos leidžia išskirti pastovius komponentus sudėtinguose svyruojančiuose signaluose, o tai leido teisingai interpretuoti gautus eksperimentinius medicinos, chemijos ir astronomijos stebėjimus.
Istorijos fonas
Šios teorijos įkūrėjasJean Baptiste Joseph Fourier yra prancūzų matematikas. Vėliau ši transformacija buvo pavadinta jo vardu. Iš pradžių mokslininkas savo metodą taikė tirdamas ir aiškindamas šilumos laidumo – šilumos sklidimo kietose medžiagose – mechanizmus. Furjė pasiūlė, kad pradinis netaisyklingas karščio bangos pasiskirstymas gali būti suskaidytas į paprasčiausias sinusoidus, kurių kiekviena turės savo temperatūros minimumą ir maksimumą, taip pat savo fazę. Tokiu atveju kiekvienas toks komponentas bus matuojamas nuo minimumo iki maksimumo ir atvirkščiai. Matematinė funkcija, apibūdinanti kreivės viršutinę ir apatinę smailes, taip pat kiekvienos harmonikos fazę, vadinama temperatūros pasiskirstymo išraiškos Furjė transformacija. Teorijos autorius bendrą skirstymo funkciją, kurią sunku apibūdinti matematiškai, sumažino iki labai lengvai tvarkomų periodinių kosinusų ir sinusų funkcijų, kurios sudaro pradinį skirstinį, seriją.
Pertvarkymo principas ir amžininkų pažiūros
Mokslininko amžininkai – žymiausi devynioliktojo amžiaus pradžios matematikai – nepriėmė šios teorijos. Pagrindinis prieštaravimas buvo Furjė tvirtinimas, kad nenutrūkstamą funkciją, apibūdinančią tiesią liniją arba nepertraukiamą kreivę, galima pavaizduoti kaip sinusoidinių išraiškų, kurios yra tolydžios, sumą. Kaip pavyzdį apsvarstykite Heaviside „žingsnį“: jo reikšmė yra nulis kairėje nuo tarpo ir viena dešinėje. Ši funkcija apibūdina elektros srovės priklausomybę nuo laiko kintamojo, kai grandinė uždaryta. To meto teorijos amžininkai su tokiais nebuvo susidūręsituacija, kai nenutrūkstama išraiška būtų apibūdinta nuolatinių įprastų funkcijų, tokių kaip eksponentinė, sinusinė, tiesinė arba kvadratinė, deriniu.
Kas supainiojo prancūzų matematikus Furjė teorijoje?
Galų gale, jei matematikas buvo teisus savo teiginiuose, tada, susumavus begalinę trigonometrinę Furjė eilutę, galite gauti tikslų žingsnio išraiškos vaizdą, net jei joje yra daug panašių žingsnių. XIX amžiaus pradžioje toks teiginys atrodė absurdiškas. Tačiau nepaisant visų abejonių, daugelis matematikų išplėtė šio reiškinio tyrimo sritį, perkeldami jį į šilumos laidumo tyrimų sritį. Tačiau dauguma mokslininkų ir toliau nerimavo dėl klausimo: "Ar sinusoidinės eilutės suma gali susilyginti su tikslia nenutrūkstamos funkcijos verte?"
Furjė serijų konvergencija: pavyzdys
Konvergencijos klausimas iškeliamas, kai reikia susumuoti begalines skaičių eilutes. Norėdami suprasti šį reiškinį, apsvarstykite klasikinį pavyzdį. Ar kada nors galite pasiekti sieną, jei kiekvienas tolesnis žingsnis yra perpus mažesnis už ankstesnį? Tarkime, kad esate du metrai nuo tikslo, pirmas žingsnis priartina prie pusiaukelės, kitas – prie trijų ketvirčių atžymos, o po penktojo įveiksite beveik 97 procentus kelio. Tačiau, kad ir kiek žingsnių žengtumėte, užsibrėžto tikslo griežtąja matematine prasme nepasieksite. Naudojant skaitinius skaičiavimus galima įrodyti, kad galų gale galima priartėti kiek tik nori.mažas nurodytas atstumas. Šis įrodymas prilygsta parodymui, kad pusės, ketvirtadalio ir tt sumos reikšmė bus viena.
Konvergencijos klausimas: antrasis atėjimas arba lordo Kelvino prietaisas
Šis klausimas ne kartą buvo iškeltas XIX amžiaus pabaigoje, kai Furjė serijomis buvo bandoma numatyti atoslūgių ir atoslūgių intensyvumą. Tuo metu lordas Kelvinas išrado įrenginį, kuris yra analoginis skaičiavimo įrenginys, leidžiantis kariuomenės ir prekybinio laivyno jūreiviams sekti šį gamtos reiškinį. Šis mechanizmas nustatė fazių ir amplitudių rinkinius iš potvynių aukščių lentelės ir atitinkamų laiko momentų, kruopščiai išmatuotų tam tikrame uoste per metus. Kiekvienas parametras buvo sinusoidinis potvynio aukščio išraiškos komponentas ir buvo vienas iš reguliarių komponentų. Matavimų rezultatai buvo įvesti į lordo Kelvino skaičiuotuvą, kuris susintetino kreivę, numatančią vandens aukštį kaip laiko funkciją kitiems metams. Labai greitai panašios kreivės buvo nubrėžtos visuose pasaulio uostuose.
O jei procesą sustabdo nepertraukiama funkcija?
Tuo metu atrodė akivaizdu, kad potvynio bangos prognozuotojas su daugybe skaičiavimo elementų gali apskaičiuoti daugybę fazių ir amplitudių ir taip pateikti tikslesnes prognozes. Nepaisant to, paaiškėjo, kad šis dėsningumas nepastebimas tais atvejais, kai atsiranda potvynio išraiškasusintetinti, buvo staigus šuolis, tai yra, jis buvo nenutrūkstamas. Tuo atveju, kai į įrenginį įvedami duomenys iš laiko momentų lentelės, jis apskaičiuoja kelis Furjė koeficientus. Sinusoidinių komponentų dėka (pagal rastus koeficientus) atkuriama pirminė funkcija. Neatitikimas tarp pradinės ir atkurtos išraiškos gali būti išmatuotas bet kuriame taške. Atliekant pakartotinius skaičiavimus ir palyginimus, matyti, kad didžiausios paklaidos reikšmė nemažėja. Tačiau jie yra lokalizuoti regione, atitinkančiame nepertraukiamumo tašką, ir bet kuriame kitame taške linkę į nulį. 1899 m. šį rezultatą teoriškai patvirtino Joshua Willardas Gibbsas iš Jeilio universiteto.
Furjė eilučių konvergencija ir apskritai matematikos raida
Furjė analizė netaikoma išraiškoms, turinčioms begalinį serijų skaičių tam tikru intervalu. Apskritai Furjė eilutės, jei pradinė funkcija yra tikro fizinio matavimo rezultatas, visada suartėja. Šio proceso konvergencijos konkrečioms funkcijų klasėms klausimai lėmė naujų matematikos skyrių, pavyzdžiui, apibendrintų funkcijų teorijos, atsiradimą. Jis siejamas su tokiais vardais kaip L. Schwartz, J. Mikusinsky ir J. Temple. Šios teorijos rėmuose buvo sukurtas aiškus ir tikslus teorinis pagrindas tokioms išraiškoms kaip Dirako delta funkcija (ji apibūdina vienos srities plotą, sutelktą be galo mažoje taško kaimynystėje) ir Heaviside. žingsnis“. Dėl šio darbo Furjė serija tapo taikomasprendžiant lygtis ir uždavinius, apimančius intuityvias sąvokas: taškinį krūvį, taškinę masę, magnetinius dipolius, taip pat koncentruotą pluošto apkrovą.
Furier metodas
Furjė serija, vadovaujantis trukdžių principais, prasideda sudėtingų formų skaidymu į paprastesnes. Pavyzdžiui, šilumos srauto pasikeitimas paaiškinamas jo praėjimu per įvairias kliūtis, pagamintas iš netaisyklingos formos šilumą izoliuojančios medžiagos arba žemės paviršiaus pasikeitimu – žemės drebėjimu, dangaus kūno orbitos pasikeitimu – įtaka planetos. Paprastai panašios lygtys, apibūdinančios paprastas klasikines sistemas, elementariai išsprendžiamos kiekvienai atskirai bangai. Furjė parodė, kad paprasti sprendimai taip pat gali būti apibendrinti, kad būtų pateikti sudėtingesnių problemų sprendimai. Matematikos kalba Furjė serija yra išraiškos kaip harmonikų - kosinuso ir sinusoidų - sumos pavaizdavimo technika. Todėl ši analizė taip pat žinoma kaip „harmoninė analizė“.
Furier serija – ideali technika prieš „kompiuterių amžių“
Prieš kuriant kompiuterines technologijas Furjė technika buvo geriausias ginklas mokslininkų arsenale dirbant su mūsų pasaulio bangine prigimtimi. Sudėtinga Furjė serija leidžia išspręsti ne tik paprastas problemas, kurias galima tiesiogiai pritaikyti Niutono mechanikos dėsniams, bet ir pagrindines lygtis. Dauguma XIX amžiaus Niutono mokslo atradimų buvo įmanomi tik Furjė technika.
Furier serija šiandien
Sukūrus Furjė transformacijos kompiuteriuspakeltas į visiškai naują lygį. Ši technika yra tvirtai įsitvirtinusi beveik visose mokslo ir technologijų srityse. Pavyzdys yra skaitmeninis garso ir vaizdo signalas. Ją įgyvendinti tapo įmanoma tik XIX amžiaus pradžioje prancūzų matematiko sukurtos teorijos dėka. Taigi Furjė serija sudėtinga forma leido padaryti proveržį kosminės erdvės tyrime. Be to, tai turėjo įtakos puslaidininkinių medžiagų ir plazmos fizikos, mikrobangų akustikos, okeanografijos, radaro, seismologijos studijoms.
Trigonometrinė Furjė serija
Matematikoje Furjė serija yra būdas pavaizduoti savavališkas sudėtingas funkcijas kaip paprastesnių funkcijų sumą. Paprastai tokių išraiškų skaičius gali būti begalinis. Be to, kuo labiau skaičiuojant atsižvelgiama į jų skaičių, tuo tikslesnis galutinis rezultatas. Dažniausiai trigonometrinės kosinuso arba sinuso funkcijos naudojamos kaip paprasčiausios. Šiuo atveju Furjė eilutės vadinamos trigonometrinėmis, o tokių išraiškų sprendimas – harmonikos išplėtimu. Šis metodas vaidina svarbų vaidmenį matematikoje. Visų pirma, trigonometrinė serija suteikia vaizdą, taip pat funkcijų tyrimą, tai yra pagrindinis teorijos aparatas. Be to, tai leidžia išspręsti daugybę matematinės fizikos problemų. Galiausiai ši teorija prisidėjo prie matematinės analizės raidos, davė pradžią kelioms labai svarbioms matematikos mokslo sekcijoms (integralų teorijai, periodinių funkcijų teorijai). Be to, tai buvo atspirties taškas kuriant šias teorijas: aibes, funkcijasrealus kintamasis, funkcinė analizė, taip pat padėjo pagrindą harmoninei analizei.
