Jūsų dėmesiui skirtame straipsnyje siūlome matematinių modelių pavyzdžių. Be to, atkreipsime dėmesį į modelių kūrimo etapus ir analizuosime kai kurias su matematiniu modeliavimu susijusias užduotis.
Dar vienas mūsų klausimas yra apie matematinius ekonomikos modelius, pavyzdžius, kurių apibrėžimą svarstysime šiek tiek vėliau. Siūlome pokalbį pradėti nuo pačios „modelio“sąvokos, trumpai apsvarstyti jų klasifikaciją ir pereiti prie pagrindinių klausimų.
Sąvoka „modelis“
Dažnai girdime žodį „modelis“. Kas tai? Šis terminas turi daug apibrėžimų, čia yra tik trys iš jų:
- konkretus objektas, sukurtas priimti ir saugoti informaciją, atspindinčią kai kurias šio objekto originalo savybes ar charakteristikas ir pan. (šis konkretus objektas gali būti išreikštas įvairiomis formomis: mentaline, aprašymu naudojant ženklus, ir pan.);
- modelis taip pat reiškia bet kokios konkrečios situacijos, gyvenimo arvadybinis;
- modelis gali būti sumažinta bet kurio objekto kopija (jie sukurti detalesniam tyrimui ir analizei, nes modelis atspindi struktūrą ir ryšius).
Remiantis viskuo, kas buvo pasakyta anksčiau, galime padaryti nedidelę išvadą: modelis leidžia išsamiai ištirti sudėtingą sistemą ar objektą.
Visi modeliai gali būti klasifikuojami pagal daugybę kriterijų:
- pagal naudojimo sritį (mokomoji, eksperimentinė, mokslinė ir techninė, žaidimų, modeliavimo);
- pagal dinamiką (statinę ir dinaminę);
- pagal žinių šakas (fizines, chemines, geografines, istorines, sociologines, ekonomines, matematines);
- pateikimo būdu (medžiaga ir informacinė).
Informaciniai modeliai savo ruožtu skirstomi į ženklą ir žodinį. Ir ikoniška – kompiuteryje ir ne kompiuteriu. Dabar pereikime prie išsamaus matematinio modelio pavyzdžių nagrinėjimo.
Matematinis modelis
Kaip galite atspėti, matematinis modelis atspindi kai kurias objekto ar reiškinio ypatybes naudojant specialius matematinius simbolius. Matematika reikalinga tam, kad supančio pasaulio modelius būtų galima modeliuoti savo specifine kalba.
Matematinio modeliavimo metodas atsirado gana seniai, prieš tūkstančius metų, kartu su šio mokslo atsiradimu. Tačiau postūmį sukurti šį modeliavimo metodą davė kompiuterių (elektroninių kompiuterių) atsiradimas.
Dabar pereikime prie klasifikavimo. Tai taip pat galima atlikti pagal kai kuriuos ženklus. Jie yrayra pateiktos toliau esančioje lentelėje.
| Klasifikacija pagal mokslo šakas | Matematinių modelių taikymas fizikoje, sociologijoje, chemijoje ir kt. |
| Pagal matematinį aparatą, naudojamą modeliavimo procese | Modeliai, pagrįsti diferencialinėmis lygtimis, diskrečiomis algebrinėmis transformacijomis ir panašiai |
| Modeliuojant tikslus | Pagal šį principą yra aprašomieji, optimizavimo, kelių kriterijų, žaidimų ir modeliavimo modeliai |
Siūlome sustoti ir atidžiau pažvelgti į paskutinę klasifikaciją, nes ji atspindi bendruosius modeliavimo modelius ir kuriamų modelių tikslus.
Aprašomieji modeliai
Šiame skyriuje siūlome išsamiau panagrinėti aprašomuosius matematinius modelius. Kad viskas būtų labai aišku, bus pateiktas pavyzdys.
Pradžioje šį vaizdą galima pavadinti aprašomuoju. Taip yra dėl to, kad mes tik atliekame skaičiavimus ir prognozes, bet niekaip negalime įtakoti įvykio baigties.
Ryškus aprašomojo matematinio modelio pavyzdys yra kometos, kuri įsiveržė į mūsų saulės sistemos platybes, skrydžio trajektorijos, greičio ir atstumo nuo Žemės apskaičiavimas. Šis modelis yra aprašomasis, nes visi gauti rezultatai gali tik įspėti apie tam tikrą pavojų. Įtakoti įvykio baigtį, deja, mes to nedaromeGali. Tačiau remiantis gautais skaičiavimais, galima imtis bet kokių priemonių gyvybei Žemėje išgelbėti.
Optimizavimo modeliai
Dabar šiek tiek pakalbėsime apie ekonominius ir matematinius modelius, kurių pavyzdžiai gali būti įvairios situacijos. Šiuo atveju kalbame apie modelius, kurie tam tikromis sąlygomis padeda rasti teisingą atsakymą. Jie turi turėti tam tikrus parametrus. Kad būtų labai aišku, apsvarstykite pavyzdį iš žemės ūkio dalies.
Turime klėti, bet grūdai labai greitai genda. Tokiu atveju turime pasirinkti tinkamą temperatūros režimą ir optimizuoti saugojimo procesą.
Taigi galime apibrėžti „optimizavimo modelio“sąvoką. Matematine prasme tai lygčių (tiek tiesinių, tiek netiesinių) sistema, kurios sprendimas padeda rasti optimalų sprendimą konkrečioje ekonominėje situacijoje. Mes svarstėme matematinio modelio (optimizavimo) pavyzdį, tačiau noriu pridurti: šis tipas priklauso ekstremalių problemų klasei, jos padeda apibūdinti ekonominės sistemos funkcionavimą.
Atkreipkite dėmesį į dar vieną niuansą: modeliai gali būti skirtingo pobūdžio (žr. lentelę žemiau).
| deterministinis | Šiuo atveju rezultatas priklauso nuo įvesties duomenų |
| stochastinis | Atsitiktinių procesų aprašymas. Tokiu atveju rezultatas lieka neapibrėžtas |
Daugikriteriniai modeliai
Dabar kviečiame šiek tiek pakalbėtimatematinis daugiaobjektinio optimizavimo modelis. Prieš tai pateikėme matematinio modelio, skirto proceso optimizavimui pagal bet kurį kriterijų, pavyzdį, bet ką daryti, jei jų yra daug?
Ryškus daugiakriterinės užduoties pavyzdys yra tinkamos, sveikos ir kartu ekonomiškos mitybos organizavimas didelėms žmonių grupėms. Tokios užduotys dažnai atliekamos kariuomenėje, mokyklų valgyklose, vasaros stovyklose, ligoninėse ir pan.
Kokie kriterijai pateikiami atliekant šią problemą?
- Maistas turi būti sveikas.
- Išlaidos maistui turėtų būti kuo mažesnės.
Kaip matote, šie tikslai visiškai nesutampa. Tai reiškia, kad sprendžiant problemą reikia ieškoti optimalaus sprendimo, balanso tarp dviejų kriterijų.
Žaidimų modeliai
Kalbant apie žaidimų modelius, būtina suprasti „žaidimų teorijos“sąvoką. Paprasčiau tariant, šie modeliai atspindi matematinius tikrų konfliktų modelius. Tiesiog atminkite, kad, kitaip nei tikras konfliktas, žaidimo matematinis modelis turi savo specifines taisykles.
Dabar bus pateikta mažiausiai informacijos iš žaidimų teorijos, kuri padės suprasti, kas yra žaidimo modelis. Taigi modelyje būtinai yra vakarėlių (dvi ar daugiau), kurie dažniausiai vadinami žaidėjais.
Visi modeliai turi tam tikrų savybių.
| Temos | Žaidėjų skaičius |
| Strategija | Galimų veiksmų parinktys |
| Mokėjimas | Konflikto rezultatas (laimėti arba pralaimėti). |
Žaidimo modelis gali būti suporuotas arba keli. Jei turime du dalykus, tada konfliktas yra porinis, jei daugiau - daugybinis. Galima išskirti ir antagonistinį žaidimą, jis dar vadinamas nulinės sumos žaidimu. Tai modelis, kuriame vieno iš dalyvių pelnas yra lygus kito praradimui.
Imitaciniai modeliai
Šiame skyriuje atkreipsime dėmesį į modeliavimo matematinius modelius. Užduočių pavyzdžiai:
- mikroorganizmų skaičiaus dinamikos modelis;
- molekulių judėjimo modelis ir pan.
Šiuo atveju kalbame apie modelius, kurie yra kuo artimesni realiems procesams. Apskritai jie imituoja bet kokį pasireiškimą gamtoje. Pavyzdžiui, pirmuoju atveju galime modeliuoti skruzdžių skaičiaus dinamiką vienoje kolonijoje. Tokiu atveju galite stebėti kiekvieno asmens likimą. Šiuo atveju matematinis aprašymas naudojamas retai, dažniau rašomos sąlygos:
- po penkių dienų patelė deda kiaušinėlius;
- Po 20 dienų skruzdė miršta ir pan.
Taigi, modeliavimo modeliai naudojami apibūdinti didelę sistemą. Matematinė išvada yra gautų statistinių duomenų apdorojimas.
Reikalavimai
Labai svarbuatminkite, kad šio tipo modeliams taikomi tam tikri reikalavimai, tarp kurių yra ir toliau pateiktoje lentelėje.
| Universalumas | Ši savybė leidžia naudoti tą patį modelį aprašant to paties tipo objektų grupes. Svarbu pažymėti, kad universalūs matematiniai modeliai visiškai nepriklauso nuo tiriamo objekto fizinės prigimties |
| Adekvatumas | Svarbu suprasti, kad ši savybė leidžia kuo tiksliau atkurti tikrus procesus. Operacijų uždaviniuose ši matematinio modeliavimo savybė yra labai svarbi. Modelio pavyzdys yra dujų sistemos naudojimo optimizavimo procesas. Tokiu atveju lyginami apskaičiuoti ir faktiniai rodikliai, todėl patikrinamas sudaryto modelio teisingumas |
| Tikslumas | Šis reikalavimas reiškia reikšmių, kurias gauname apskaičiuodami matematinį modelį ir realaus objekto įvesties parametrus, sutapimą |
| Ekonomika | Bet kurio matematinio modelio sąnaudų efektyvumo reikalavimas apibūdinamas įgyvendinimo sąnaudomis. Jei darbas su modeliu atliekamas rankiniu būdu, tai naudojant šį matematinį modelį reikia apskaičiuoti, kiek laiko užtruks vienos problemos sprendimas. Jei kalbame apie kompiuterinį projektavimą, tai laiko ir kompiuterio atminties sąnaudų rodikliai yra skaičiuojami |
Etapaimodeliavimas
Iš viso įprasta skirti keturis matematinio modeliavimo etapus.
- Suformuluokite dėsnius, kurie susieja modelio dalis.
- Matematinių problemų tyrimas.
- Praktinių ir teorinių rezultatų sutapimo išaiškinimas.
- Modelio analizė ir modernizavimas.
Ekonominis ir matematinis modelis
Šiame skyriuje trumpai pabrėšime ekonominių ir matematinių modelių problemą. Užduočių pavyzdžiai:
- mėsos gaminių gamybos gamybos programos formavimas, užtikrinantis maksimalų gamybos pelną;
- maksimizuoti organizacijos pelną, apskaičiuojant optimalų baldų gamykloje gaminamų stalų ir kėdžių skaičių ir pan.
Ekonominis-matematinis modelis rodo ekonominę abstrakciją, kuri išreiškiama matematiniais terminais ir ženklais.
Kompiuterinis matematinis modelis
Kompiuterinio matematinio modelio pavyzdžiai:
- hidraulikos problemos naudojant struktūrines diagramas, diagramas, lenteles ir pan.;
- kietosios mechanikos problemos ir pan.
Kompiuterinis modelis yra objekto arba sistemos vaizdas, pateiktas kaip:
- stalai;
- flowcharts;
- diagramos;
- grafika ir pan.
Tuo pat metu šis modelis atspindi sistemos struktūrą ir tarpusavio ryšius.
Ekonominio-matematinio modelio kūrimas
Jau kalbėjome apie tai, kas ekonominėmatematinis modelis. Šiuo metu bus svarstomas problemos sprendimo pavyzdys. Turime išanalizuoti gamybos programą, kad galėtume nustatyti rezervą pelnui didinti keičiant asortimentą.
Mes iki galo nenagrinėsime problemos, o tik sukursime ekonominį ir matematinį modelį. Mūsų užduoties kriterijus yra pelno maksimizavimas. Tada funkcija turi tokią formą: Л=р1х1+р2х2… linkusi į maksimumą. Šiame modelyje p – vieneto pelnas, x – pagamintų vienetų skaičius. Toliau, remiantis sukonstruotu modeliu, reikia atlikti skaičiavimus ir apibendrinti.
Paprasto matematinio modelio kūrimo pavyzdys
Užduotis. Žvejas grįžo su šiuo laimikiu:
- 8 žuvys – šiaurinių jūrų gyventojai;
- 20% laimikio – pietinių jūrų gyventojai;
- iš vietinės upės nerasta nė vienos žuvies.
Kiek žuvies jis nusipirko parduotuvėje?
Taigi, šios problemos matematinio modelio sudarymo pavyzdys yra toks. Bendrą žuvų skaičių pažymime x. Remiantis sąlyga, 0,2 karto didesnis pietinėse platumose gyvenančių žuvų skaičius. Dabar sujungiame visą turimą informaciją ir gauname matematinį uždavinio modelį: x=0, 2x+8. Išsprendžiame lygtį ir gauname atsakymą į pagrindinį klausimą: jis parduotuvėje nusipirko 10 žuvų.
