Nelygybės ir nelygybių sistemos yra viena iš temų, kurios dėstomos vidurinės mokyklos algebroje. Sunkumo prasme jis nėra pats sunkiausias, nes turi paprastas taisykles (apie jas kiek vėliau). Paprastai moksleiviai gana lengvai išmoksta spręsti nelygybių sistemas. Taip yra ir dėl to, kad mokytojai šia tema tiesiog „apmoko“savo mokinius. Ir jie negali to padaryti, nes ateityje jis tiriamas naudojant kitus matematinius dydžius, taip pat tikrinamas OGE ir vieningo valstybinio egzamino atveju. Mokykliniuose vadovėliuose nelygybių ir nelygybių sistemų tema yra nagrinėjama labai išsamiai, todėl jei ketinate ją studijuoti, geriausia jų griebtis. Šis straipsnis yra tik daug medžiagos perfrazavimas ir gali būti praleistų.
Nelygybių sistemos samprata
Jei kreipiamės į mokslinę kalbą, galime apibrėžti „sistemos“sąvokąnelygybės". Tai toks matematinis modelis, vaizduojantis kelias nelygybes. Žinoma, šis modelis reikalauja sprendimo, ir tai bus bendras atsakymas į visas užduotyje pasiūlytas sistemos nelygybes (dažniausiai rašoma taip, pavyzdys: "Išspręskite nelygybių sistemą 4 x + 1 > 2 ir 30 - x > 6… ").
Nelygybių sistemos ir lygčių sistemos
Mokantis naujos temos dažnai kyla nesusipratimų. Viena vertus, viskas aišku ir mieliau imčiau spręsti užduotis, bet iš kitos pusės, kai kurios akimirkos lieka „šešėlyje“, jos nėra gerai suvokiamos. Taip pat kai kurie jau įgytų žinių elementai gali būti susipynę su naujais. Dėl šio sutapimo dažnai pasitaiko klaidų.
Todėl, prieš pradėdami analizuoti mūsų temą, turėtume prisiminti lygčių ir nelygybių skirtumus, jų sistemas. Norėdami tai padaryti, būtina dar kartą išsiaiškinti, kas yra šios matematinės sąvokos. Lygtis visada yra lygybė ir visada kažkam lygi (matematikoje šis žodis žymimas ženklu "="). Nelygybė yra modelis, kuriame viena reikšmė yra didesnė arba mažesnė už kitą, arba yra tvirtinimas, kad jos nėra vienodos. Taigi pirmuoju atveju dera kalbėti apie lygybę, o antruoju, kad ir kaip akivaizdžiai tai skambėtų išpats pavadinimas, apie pradinių duomenų nelygybę. Lygčių ir nelygybių sistemos viena nuo kitos praktiškai nesiskiria ir jų sprendimo būdai yra vienodi. Vienintelis skirtumas yra tas, kad pirmasis naudoja lygybes, o antrasis naudoja nelygybes.
Nelygybių tipai
Yra dviejų tipų nelygybės: skaitinės ir su nežinomu kintamuoju. Pirmajam tipui pateikiamos vertės (skaičiai), kurios nėra lygios viena kitai, pavyzdžiui, 8 > 10. Antrasis tipas yra nelygybės, turinčios nežinomą kintamąjį (nurodomos kokia nors lotyniškos abėcėlės raide, dažniausiai X). Šį kintamąjį reikia rasti. Priklausomai nuo to, kiek jų yra, matematinis modelis išskiria nelygybes su vienu (jie sudaro nelygybių sistemą su vienu kintamuoju) arba kelis kintamuosius (jie sudaro nelygybių sistemą su keliais kintamaisiais).
Paskutiniai du tipai, atsižvelgiant į jų konstrukcijos laipsnį ir sprendimo sudėtingumo lygį, skirstomi į paprastus ir sudėtingus. Paprastosios dar vadinamos tiesinėmis nelygybėmis. Jie savo ruožtu skirstomi į griežtus ir negriežtus. Griežtai konkrečiai „pasakykite“, kad viena reikšmė turi būti mažesnė arba didesnė, todėl tai yra gryna nelygybė. Yra keletas pavyzdžių: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 ir tt Negriežtieji apima ir lygybę. Tai reiškia, kad viena reikšmė gali būti didesnė arba lygi kitai vertei (ženklas „≧“) arba mažesnė arba lygi kitai reikšmei (ženklas „≦“). Vis dar eilėjeNelygybėse kintamasis nestovi šaknyje, kvadrate, iš nieko nedalomas, todėl jie ir vadinami „paprastaisiais“. Sudėtingi apima nežinomus kintamuosius, kurių radimas reikalauja daugiau matematinių operacijų. Jie dažnai būna kvadrate, kube arba po šaknimi, gali būti moduliniai, logaritminiai, trupmeniniai ir tt Bet kadangi mūsų užduotis yra suprasti nelygybių sistemų sprendimą, kalbėsime apie tiesinių nelygybių sistemą. Tačiau prieš tai reikėtų pasakyti keletą žodžių apie jų savybes.
Nelygybių savybės
Nelygybių savybės apima šias nuostatas:
- Nelygybės ženklas apverčiamas, jei taikoma kraštinių sekos keitimo operacija (pavyzdžiui, jei t1 ≦ t2, tada t 2 ≧ t1).
- Abi nelygybės dalys leidžia pridėti prie savęs tą patį skaičių (pavyzdžiui, jei t1 ≦ t2, tada t 1 + skaičius ≦ t2 + skaičius).
- Dvi ar daugiau nelygybių su tos pačios krypties ženklu leidžia pridėti jų kairiąją ir dešiniąją dalis (pavyzdžiui, jei t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, tada t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Abi nelygybės dalys gali būti padaugintos arba padalytos iš to paties teigiamo skaičiaus (pavyzdžiui, jei t1 ≦ t2ir skaičius ≦ 0, tada skaičius t1 ≧ skaičius t2).
- Dvi ar daugiau nelygybių, turinčių teigiamus terminus ir tos pačios krypties ženklą, leidžiapadauginkite vienas kitą (pavyzdžiui, jei t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0, tada t1 t3 ≦ t2 t4).
- Abi nelygybės dalys leidžia save padauginti arba padalyti iš to paties neigiamo skaičiaus, tačiau nelygybės ženklas pasikeičia (pavyzdžiui, jei t1 ≦ t2 ir skaičius ≦ 0, tada skaičius t1 ≧ skaičius t2).
- Visos nelygybės yra tranzityvinės (pavyzdžiui, jei t1 ≦ t2 ir t2≦ t3, tada t1 ≦ t3).
Dabar, išstudijavę pagrindines teorijos nuostatas, susijusias su nelygybėmis, galime pereiti tiesiai prie jų sistemų sprendimo taisyklių svarstymo.
Nelygybių sistemų sprendimas. Bendra informacija. Sprendimai
Kaip minėta aukščiau, sprendimas yra kintamojo reikšmės, atitinkančios visas pateiktos sistemos nelygybes. Nelygybių sistemų sprendimas yra matematinių operacijų, kurios galiausiai lemia visos sistemos sprendimą arba įrodo, kad ji neturi sprendimų, įgyvendinimas. Šiuo atveju sakoma, kad kintamasis nurodo tuščią skaičių aibę (rašoma taip: raidė, žyminti kintamąjį ∈ (ženklas „priklauso“) ø (ženklas „tuščia aibė“), pavyzdžiui, x ∈ ø (skaitoma taip: "Kintamasis "x" priklauso tuščiai aibei"). Yra keletas nelygybių sistemų sprendimo būdų:grafinis, algebrinis, pakeitimo metodas. Verta paminėti, kad jie nurodo tuos matematinius modelius, kurie turi keletą nežinomų kintamųjų. Tuo atveju, kai yra tik vienas, tiks tarpų metodas.
Grafinis metodas
Leidžia išspręsti nelygybių sistemą su keliais nežinomaisiais (iš dviejų ar daugiau). Šio metodo dėka tiesinių nelygybių sistema išsprendžiama gana lengvai ir greitai, todėl tai yra labiausiai paplitęs metodas. Taip yra todėl, kad braižymo sudarymas sumažina matematinių operacijų rašymo skaičių. Ypač malonu tampa šiek tiek pertrauka nuo rašiklio, pasiimti pieštuką su liniuote ir su jų pagalba imtis tolesnių veiksmų, kai atlikta daug darbų ir norisi šiek tiek įvairovės. Tačiau kai kuriems šis metodas nepatinka dėl to, kad tenka atitrūkti nuo užduoties ir protinę veiklą perjungti į piešimą. Tačiau tai labai efektyvus būdas.
Norint išspręsti nelygybių sistemą grafiniu metodu, reikia visus kiekvienos nelygybės narius perkelti į kairę pusę. Ženklai bus apversti, dešinėje rašomas nulis, tada kiekviena nelygybė turi būti rašoma atskirai. Dėl to funkcijos bus gautos iš nelygybių. Po to galite gauti pieštuką ir liniuotę: dabar reikia nubrėžti kiekvienos gautos funkcijos grafiką. Visas skaičių rinkinys, kuris bus jų sankirtos intervale, bus nelygybių sistemos sprendimas.
Algebrinis būdas
Leidžia išspręsti nelygybių sistemą su dviem nežinomais kintamaisiais. Nelygybės taip pat turi turėti tą patį nelygybės ženklą (ty jose turi būti arba tik ženklas "didesnis nei" arba tik ženklas "mažiau nei" ir pan.) Nepaisant apribojimų, šis metodas taip pat yra sudėtingesnis. Jis taikomas dviem etapais.
Pirmasis apima vieno iš nežinomų kintamųjų pašalinimą. Pirmiausia turite jį pasirinkti, tada patikrinti, ar prieš šį kintamąjį nėra skaičių. Jei jų nėra (tuomet kintamasis atrodys kaip viena raidė), tai nieko nekeičiame, jei yra (kintamojo tipas bus pvz. 5y arba 12y), tuomet reikia įsitikinti kad kiekvienoje nelygybėje skaičius prieš pasirinktą kintamąjį yra vienodas. Norėdami tai padaryti, turite padauginti kiekvieną nelygybės narį iš bendro koeficiento, pavyzdžiui, jei pirmoje nelygybėje parašyta 3y, o antroje - 5y, tada visus pirmosios nelygybės narius reikia padauginti iš 5, o antrasis - 3. Gaunate atitinkamai 15 m. ir 15 m.
Antrasis sprendimo etapas. Būtina perkelti kiekvienos nelygybės kairę pusę į jų dešines puses, pakeitus kiekvieno nario ženklą į priešingą, dešinėje parašykite nulį. Tada ateina linksmoji dalis: atsikratoma pasirinkto kintamojo (kitaip vadinama „sumažinimu“) kartu sudedant nelygybes. Gausite nelygybę su vienu kintamuoju, kurią reikia išspręsti. Po to turėtumėte daryti tą patį, tik su kitu nežinomu kintamuoju. Gauti rezultatai bus sistemos sprendimas.
Pakeitimo metodas
Leidžia išspręsti nelygybių sistemą, kai turite galimybę įvesti naują kintamąjį. Paprastai šis metodas naudojamas, kai nežinomas kintamasis viename nelygybės naryje pakeliamas į ketvirtą laipsnį, o kitame – pakeliamas kvadratu. Taigi šiuo metodu siekiama sumažinti sistemos nelygybių laipsnį. Imties nelygybė x4 - x2 - 1 ≦ 0 sprendžiama tokiu būdu taip. Įvedamas naujas kintamasis, pavyzdžiui, t. Jie rašo: „Tegul t=x2“, tada modelis perrašomas nauja forma. Mūsų atveju gauname t2 - t - 1 ≦0. Šią nelygybę reikia išspręsti intervalo metodu (apie tai šiek tiek vėliau), tada grįžti prie kintamojo X, tada tą patį padaryti su kita nelygybe. Gauti atsakymai bus sistemos sprendimas.
Intervalinis metodas
Tai lengviausias būdas išspręsti nelygybių sistemas, kartu jis yra universalus ir plačiai paplitęs. Jis naudojamas vidurinėje mokykloje ir net vidurinėje mokykloje. Jo esmė slypi tame, kad mokinys nelygybės intervalų ieško skaičių tiesėje, kuri nupiešta sąsiuvinyje (tai ne grafikas, o tiesiog eilinė tiesė su skaičiais). Ten, kur susikerta nelygybių intervalai, randamas sistemos sprendimas. Norėdami naudoti tarpų metodą, atlikite šiuos veiksmus:
- Visi kiekvienos nelygybės nariai perkeliami į kairę pusę, ženklą pakeitus į priešingą (dešinėje rašomas nulis).
- Nelygybės išrašomos atskirai, nustatomas kiekvieno iš jų sprendimas.
- Skaitinio nelygybių sankirtostiesiai. Visi skaičiai šiose sankryžose bus sprendimas.
Kurį būdą naudoti?
Akivaizdu, kad tas, kuris atrodo lengviausias ir patogiausias, tačiau kartais užduotys reikalauja tam tikro metodo. Dažniausiai jie sako, kad reikia išspręsti arba naudojant grafiką, arba naudojant intervalų metodą. Algebrinis metodas ir pakaitalai naudojami itin retai arba visai nenaudojami, nes jie yra gana sudėtingi ir painūs, be to, jie labiau naudojami lygčių sistemoms, o ne nelygybėms spręsti, todėl reikėtų pasitelkti grafikus ir intervalus. Jie suteikia matomumo, o tai prisideda prie efektyvaus ir greito matematinių operacijų atlikimo.
Jei kažkas neveikia
Studijuojant tam tikrą algebros temą, žinoma, gali kilti problemų su jos supratimu. Ir tai yra normalu, nes mūsų smegenys suprojektuotos taip, kad nesugeba vienu ypu suprasti sudėtingos medžiagos. Dažnai reikia iš naujo perskaityti pastraipą, pasitelkti mokytojo pagalbą arba pasipraktikuoti sprendžiant tipines problemas. Mūsų atveju jie atrodo, pavyzdžiui, taip: „Išspręskite nelygybių sistemą 3 x + 1 ≧ 0 ir 2 x - 1 > 3“. Taigi asmeninis siekis, pagalba iš pašalinių asmenų ir praktika padeda suprasti bet kokią sudėtingą temą.
Reshebnik?
Ir sprendimų knyga irgi labai gera, bet ne namų darbų apgaudinėjimui, o savipagalbai. Juose galite rasti nelygybių su sprendimu sistemas, pažiūrėkitejuos (pavyzdžiui, šablonus), pabandykite tiksliai suprasti, kaip sprendimo autorius susidorojo su užduotimi, ir tada pabandykite tai padaryti pats.
Išvados
Algebra yra vienas sunkiausių dalykų mokykloje. Na, ką tu gali padaryti? Matematika visada buvo tokia: vieniems ji ateina lengvai, o kitiems – sunku. Tačiau bet kuriuo atveju reikia atsiminti, kad bendrojo ugdymo programa yra sukurta taip, kad su ja susidorotų bet kuris mokinys. Be to, reikia turėti omenyje didžiulį padėjėjų skaičių. Kai kurie iš jų buvo paminėti aukščiau.
