Georgas Kantoras (nuotrauka pateikiama vėliau straipsnyje) – vokiečių matematikas, sukūręs aibių teoriją ir įvedęs transribinių skaičių, be galo didelių, bet skirtingų vienas nuo kito, sąvoką. Jis taip pat apibrėžė eilinius ir kardinalinius skaičius bei sukūrė jų aritmetiką.
Georgas Kantoras: trumpa biografija
Gimęs Sankt Peterburge 1845-03-03. Jo tėvas buvo protestantų tikėjimo danas Georgas-Valdemaras Kantoras, kuris vertėsi prekyba, taip pat ir biržoje. Jo motina Maria Bem buvo katalikė ir kilusi iš garsių muzikantų šeimos. Kai 1856 m. susirgo Georgo tėvas, šeima iš pradžių persikėlė į Vysbadeną, o paskui į Frankfurtą, ieškodama švelnesnio klimato. Vaikino matematiniai gabumai išryškėjo dar prieš 15-ąjį gimtadienį, kai jis mokėsi privačiose Darmštato ir Vysbadeno mokyklose ir gimnazijose. Galiausiai Georgas Cantoras įtikino savo tėvą tvirtu ketinimu tapti matematiku, o ne inžinieriumi.
Po trumpų studijų Ciuricho universitete 1863 m. Kantoras persikėlė į Berlyno universitetą studijuoti fizikos, filosofijos ir matematikos. Ten jismokė:
- Karlas Theodoras Weierstrassas, kurio analizės specializacija tikriausiai padarė didžiausią įtaką Georgui;
- Ernstas Eduardas Kummeris, kuris dėstė aukštąją aritmetiką;
- Leopoldas Kroneckeris, skaičių teoretikas, vėliau pasipriešinęs Kantoriui.
1866 m. praleidęs vieną semestrą Getingeno universitete, kitais metais Georgas parašė daktaro disertaciją „Matematikoje klausimų klausimo menas yra vertingesnis už uždavinių sprendimą“apie Carlo Friedricho Gaussas problemą. liko neišspręstas jo Disquisitiones Arithmeticae (1801). Trumpai dėstęs Berlyno mergaičių mokykloje, Kantoras pradėjo dirbti Halės universitete, kur išbuvo iki savo gyvenimo pabaigos, pirmiausia mokytoju, nuo 1872 m. – docentu, o nuo 1879 m. – profesoriumi.
Tyrimai
10 straipsnių 1869–1873 m. pradžioje Georgas Cantoras svarstė skaičių teoriją. Darbas atspindėjo jo aistrą šiai temai, Gauso studijas ir Kroneckerio įtaką. Kantoro kolegos iš Halės Heinricho Eduardo Heine, kuris pripažino jo matematikos talentą, pasiūlymu, jis kreipėsi į trigonometrinių eilučių teoriją, kurioje išplėtė realiųjų skaičių sampratą.
Remdamasis vokiečių matematiko Bernhardo Riemanno 1854 m. darbu apie sudėtingo kintamojo funkciją, 1870 m. Kantoras parodė, kad tokią funkciją galima pavaizduoti tik vienu būdu – trigonometrinėmis eilutėmis. Skaičių (taškų) aibės svarstymas, kadneprieštarautų tokiai nuomonei, paskatino jį, pirma, 1872 m., apibrėžiant neracionaliuosius skaičius konvergencinėmis racionaliųjų skaičių sekomis (sveiųjų skaičių trupmenomis), o toliau - darbo, susijusio su jo gyvenimo darbu, aibių teorija ir koncepcija, pradžia. tarpribinių skaičių.
Rinkinio teorija
Georgas Cantoras, kurio aibių teorija kilo susirašinėjant su Braunšveigo technikos instituto matematiku Richardu Dedekindu, buvo jo draugas nuo vaikystės. Jie padarė išvadą, kad aibės – baigtinės ar begalinės – yra elementų (pvz., skaičių, {0, ±1, ±2…}) rinkiniai, kurie turi tam tikrą savybę, išsaugodami savo individualumą. Tačiau kai Georgas Cantoras naudojo „vienas su vienu“atitikmenį (pavyzdžiui, {A, B, C} į {1, 2, 3}), norėdamas ištirti jų charakteristikas, jis greitai suprato, kad jie skiriasi savo narystės laipsniu. jei jie būtų begalinės aibės., ty aibės, kurių dalis ar poaibis apima tiek objektų, kiek ir pats. Jo metodas netrukus davė nuostabių rezultatų.
1873 m. Georgas Cantoras (matematikas) įrodė, kad racionalieji skaičiai, nors ir begaliniai, yra skaičiuojami, nes gali būti sutampa su natūraliaisiais skaičiais (t. y. 1, 2, 3 ir kt.). d.). Jis parodė, kad realiųjų skaičių aibė, susidedanti iš neracionalių ir racionalių, yra begalinė ir nesuskaičiuojama. Paradoksalu, kad Kantoras įrodė, kad visų algebrinių skaičių aibėje yra tiek elementų, kiekkiek yra visų sveikųjų skaičių aibė ir kad transcendentiniai skaičiai, kurie nėra algebriniai, kurie yra neracionaliųjų skaičių poaibis, yra nesuskaičiuojami, todėl jų skaičius yra didesnis už sveikuosius skaičius ir turėtų būti laikomas begaliniais.
Oponentai ir rėmėjai
Tačiau Kantoro straipsnis, kuriame jis pirmą kartą pateikė šiuos rezultatus, nebuvo paskelbtas Krell, nes vienas iš apžvalgininkų Kroneckeris tam griežtai priešinosi. Tačiau po Dedekindo įsikišimo jis buvo paskelbtas 1874 m. pavadinimu „Apie būdingas visų realiųjų algebrinių skaičių savybes“.
Mokslas ir privatus gyvenimas
Tais pačiais metais, būdamas medaus mėnesio su žmona Wally Gutman Interlakene, Šveicarijoje, Kantoras susitiko su Dedekindu, kuris palankiai kalbėjo apie savo naują teoriją. Jurgio atlyginimas buvo nedidelis, bet už 1863 metais mirusio tėvo pinigus jis pasistatė namą žmonai ir penkiems vaikams. Daugelis jo straipsnių buvo paskelbti Švedijoje naujame žurnale Acta Mathematica, kurį redagavo ir įkūrė Gesta Mittag-Leffler, kuris vienas pirmųjų pripažino vokiečių matematiko talentą.
Ryšys su metafizika
Kantoriaus teorija tapo visiškai nauju studijų objektu, susijusiu su begalybės matematika (pvz., 1, 2, 3 ir tt serijos ir sudėtingesnės aibės), kurios labai priklausė nuo „vienas su vienu“atitikimo. Kantoro naujų inscenizacijos metodų kūrimasklausimai, susiję su tęstinumu ir begalybe, suteikė jo tyrimui dviprasmišką pobūdį.
Kai jis tvirtino, kad begaliniai skaičiai tikrai egzistuoja, jis atsigręžė į senovės ir viduramžių filosofiją apie tikrąją ir potencialią begalybę, taip pat į ankstyvąjį religinį išsilavinimą, kurį jam suteikė tėvai. 1883 m. savo knygoje „Bendrosios aibių teorijos pagrindai“Kantoras sujungė savo koncepciją su Platono metafizika.
Kroneckeris, tvirtinęs, kad „egzistuoja“tik sveikieji skaičiai („Dievas sukūrė sveikuosius skaičius, visa kita yra žmogaus darbas“), daugelį metų griežtai atmetė jo samprotavimus ir neleido jam paskirti Berlyno universitetą.
Begaliniai skaičiai
1895–1897 m. Georgas Cantoras visiškai suformavo savo tęstinumo ir begalybės, įskaitant begalinius eilinius ir kardinalinius skaičius, sampratą savo garsiausiame darbe, paskelbtame „Indėlis į beribių skaičių teorijos sukūrimą“(1915). Šiame rašinyje pateikiama jo koncepcija, kuriai jis vadovavosi pademonstruodamas, kad begalinė aibė gali būti viena su kita korespondenta su vienu iš jos poaibių.
Pagal mažiausią tarpribinį kardinalinį skaičių jis turėjo omenyje bet kurios aibės kardinalumą, kuris gali būti suderintas su natūraliaisiais skaičiais. Kantoras jį pavadino aleph-null. Didelės transribinės aibės žymimos alef-vienas, alefas-du ir tt Jis toliau išplėtojo transribinių skaičių aritmetiką, kuri buvo analogiška baigtinei aritmetikai. tai jispraturtino begalybės sampratą.
Opozicija, su kuria jis susidūrė, ir laikas, per kurį jo idėjos buvo visiškai priimtos, atsirado dėl to, kad sunku iš naujo įvertinti senovinį klausimą, kas yra skaičius. Cantoras parodė, kad linijos taškų aibė turi didesnį kardinalumą nei aleph-nulis. Tai atvedė prie gerai žinomos kontinuumo hipotezės problemos – tarp alefo nulio ir tiesės taškų galios nėra kardinalių skaičių. Ši problema XX amžiaus pirmoje ir antroje pusėje sukėlė didelį susidomėjimą ir ją tyrinėjo daugelis matematikų, įskaitant Kurtą Gödelį ir Paulą Coheną.
Depresija
Georgo Kantoro biografiją nuo 1884 m. nustelbė jo psichinė liga, tačiau jis ir toliau aktyviai dirbo. 1897 m. jis padėjo surengti pirmąjį tarptautinį matematikos kongresą Ciuriche. Iš dalies dėl to, kad jam priešinosi Kroneckeris, jis dažnai užjautė jaunus, norinčius matematikus ir ieškojo būdų, kaip išgelbėti juos nuo mokytojų, kurie jautė grėsmę dėl naujų idėjų, priekabiavimo.
Pripažinimas
Šimtmečio sandūroje jo darbai buvo visiškai pripažinti kaip funkcijų teorijos, analizės ir topologijos pagrindas. Be to, kantoriaus Georgo knygos buvo postūmis toliau plėtoti intuicionistines ir formalistines matematikos loginių pagrindų mokyklas. Tai labai pakeitė mokymo sistemą ir dažnai siejama su „nauja matematika“.
1911 m. Kantoras buvo tarp pakviestųjųŠv. Andriuso universiteto Škotijoje 500 metų jubiliejaus minėjimas. Jis nuvyko ten tikėdamasis sutikti Bertrandą Russellą, kuris neseniai išleistame savo darbe Principia Mathematica ne kartą užsiminė apie vokiečių matematiką, tačiau taip neatsitiko. Universitetas Kantorui suteikė garbės laipsnį, tačiau dėl ligos jis negalėjo asmeniškai priimti apdovanojimo.
Kantorius išėjo į pensiją 1913 m., gyveno skurde ir badavo Pirmojo pasaulinio karo metu. 1915 m. jo 70-mečio iškilmės buvo atšauktos dėl karo, tačiau jo namuose įvyko nedidelė ceremonija. Jis mirė 1918-06-01 Hallėje, psichiatrinėje ligoninėje, kur praleido paskutinius savo gyvenimo metus.
Georgas Kantoras: biografija. Šeima
1874 m. rugpjūčio 9 d. vokiečių matematikas vedė Wally Gutmann. Pora susilaukė 4 sūnų ir 2 dukterų. Paskutinis vaikas gimė 1886 metais naujame Kantoro įsigytame name. Tėvo palikimas padėjo jam išlaikyti šeimą. Kantoro sveikatai didelę įtaką padarė jo jauniausio sūnaus mirtis 1899 m., ir nuo to laiko depresija jo neapleido.
