Matricos (lentelės su skaitiniais elementais) gali būti naudojamos įvairiems skaičiavimams. Kai kurie iš jų yra daugyba iš skaičiaus, vektoriaus, kitos matricos, kelių matricų. Produktas kartais būna netinkamas. Klaidingas rezultatas yra skaičiavimo veiksmų atlikimo taisyklių nežinojimo rezultatas. Išsiaiškinkime, kaip atlikti daugybą.
Matrica ir skaičius
Pradėkime nuo paprasčiausio dalyko – lentelės su skaičiais padauginimo iš konkrečios reikšmės. Pavyzdžiui, turime matricą A su elementais aij (i yra eilučių numeriai, o j yra stulpelių numeriai) ir skaičiumi e. Matricos sandauga iš skaičiaus e bus matrica B su elementais bij, kurie randami pagal formulę:
bij=e × aij.
T. e. norėdami gauti elementą b11, turite paimti elementą a11 ir padauginti jį iš norimo skaičiaus, kad gautumėte b12 reikia rasti elemento a12 sandaugą ir skaičių e ir tt
Išspręskime paveikslėlyje pateiktą užduotį numeris 1. Norėdami gauti matricą B, tiesiog padauginkite elementus iš A iš 3:
- a11 × 3=18. Šią reikšmę įrašome į matricą B toje vietoje, kur susikerta stulpelis Nr. 1 ir eilutė Nr. 1.
- a21 × 3=15. Gavome elementą b21.
- a12 × 3=-6. Gavome elementą b12. Ją įrašome į matricą B toje vietoje, kur susikerta 2 stulpelis ir 1 eilutė.
- a22 × 3=9. Šis rezultatas yra elementas b22.
- a13 × 3=12. Įveskite šį skaičių į matricą vietoje elemento b13.
- a23 × 3=-3. Paskutinis gautas skaičius yra elementas b23.
Taigi gavome stačiakampį masyvą su skaitiniais elementais.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektoriai ir matricų sandaugos egzistavimo sąlyga
Matematinėse disciplinose yra toks dalykas kaip „vektorius“. Šis terminas reiškia sutvarkytą verčių rinkinį nuo a1 iki a . Jos vadinamos vektorinės erdvės koordinatėmis ir rašomos kaip stulpelis. Taip pat yra terminas „perkeltas vektorius“. Jo komponentai išdėstyti kaip eilutė.
Vektoriai gali būti vadinami matricomis:
- stulpelio vektorius yra matrica, sudaryta iš vieno stulpelio;
- eilutės vektorius yra matrica, kurią sudaro tik viena eilutė.
Kai baigtaKalbant apie daugybos operacijų matricas, svarbu atsiminti, kad yra sandaugos egzistavimo sąlyga. Skaičiavimo veiksmą A × B galima atlikti tik tada, kai A lentelės stulpelių skaičius yra lygus B lentelės eilučių skaičiui. Gautoje matricoje, gautoje apskaičiavus, visada yra A lentelės eilučių skaičius ir stulpelių skaičius. lentelėje B.
Dauginant nerekomenduojama pertvarkyti matricų (daugiklių). Jų sandauga dažniausiai neatitinka komutacinio (poslinkio) daugybos dėsnio, t.y. operacijos A × B rezultatas nėra lygus operacijos B × A rezultatui. Ši savybė vadinama sandaugos nekomutatyvumu. matricos. Kai kuriais atvejais daugybos A × B rezultatas yra lygus daugybos B × A rezultatui, t.y. sandauga yra komutacinė. Matricos, kurioms galioja lygybė A × B=B × A, vadinamos permutacijos matricomis. Žr. tokių lentelių pavyzdžius toliau.
Daugyba iš stulpelio vektoriaus
Daugindami matricą iš stulpelio vektoriaus, turime atsižvelgti į sandaugos egzistavimo sąlygą. Lentelėje esančių stulpelių skaičius (n) turi atitikti vektorių sudarančių koordinačių skaičių. Skaičiavimo rezultatas yra transformuotas vektorius. Jo koordinačių skaičius yra lygus eilučių skaičiui (m) iš lentelės.
Kaip apskaičiuojamos vektoriaus y koordinatės, jei yra matrica A ir vektorius x? Skaičiavimams sukurtos formulės:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
……………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
kur x1, …, x yra koordinatės iš x vektoriaus, m yra matricos eilučių skaičius ir skaičius koordinačių naujajame y vektoriuje, n yra stulpelių skaičius matricoje ir koordinačių skaičius x vektoriuje, a11, a12, …, amn– matricos A elementai.
Taigi, norint gauti i-ąjį naujojo vektoriaus komponentą, atliekama skaliarinė sandauga. I-osios eilutės vektorius paimamas iš matricos A ir padauginamas iš turimo vektoriaus x.
Išspręskime uždavinį 2. Galite rasti matricos ir vektoriaus sandaugą, nes A turi 3 stulpelius, o x susideda iš 3 koordinačių. Dėl to turėtume gauti stulpelio vektorių su 4 koordinatėmis. Naudokime aukščiau pateiktas formules:
- Apskaičiuokite y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Galutinė vertė yra 2.
- Apskaičiuokite y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Skaičiuodami gauname 0.
- Apskaičiuokite y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Nurodytų faktorių sandaugų suma yra 6.
- Apskaičiuokite y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinatė yra -8.
Eilutės vektoriaus matricos daugyba
Negalite padauginti matricos su keliais stulpeliais iš eilutės vektoriaus. Tokiais atvejais kūrinio egzistavimo sąlyga netenkinama. Bet galima padauginti eilutės vektorių iš matricos. Taiskaičiavimo operacija atliekama, kai sutampa koordinačių skaičius vektoriuje ir eilučių skaičius lentelėje. Vektoriaus ir matricos sandaugos rezultatas yra naujas eilutės vektorius. Jo koordinačių skaičius turi būti lygus stulpelių skaičiui matricoje.
Apskaičiuojant pirmąją naujo vektoriaus koordinatę reikia padauginti eilutės vektorių ir pirmojo stulpelio vektorių iš lentelės. Antroji koordinatė apskaičiuojama panašiai, tačiau vietoj pirmojo stulpelio vektoriaus imamas antrasis stulpelio vektorius. Štai bendra koordinačių skaičiavimo formulė:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, kur yk yra koordinatė iš y vektoriaus, (k yra tarp 1 ir n), m yra matricos eilučių skaičius ir koordinačių skaičius x-vektoriuje n yra stulpelių skaičius matricoje ir koordinačių skaičius y-vektoriuje, a su raidiniais ir skaitiniais indeksais yra matricos A elementai.
Stačiakampių matricų gaminys
Šis skaičiavimas gali atrodyti sudėtingas. Tačiau dauginti galima nesunkiai. Pradėkime nuo apibrėžimo. Matricos A su m eilučių ir n stulpelių ir matricos B su n eilučių ir p stulpelių sandauga yra matrica C su m eilučių ir p stulpelių, kurios elementas cij yra i-os lentelės A eilutės elementų ir B lentelės j-ojo stulpelio sandaugų suma. Paprasčiau tariant, elementas cij yra i-osios eilutės skaliarinė sandauga vektorius iš lentelės A ir j-ojo stulpelio vektorius iš lentelės B.
Dabar praktiškai išsiaiškinkime, kaip rasti stačiakampių matricų sandaugą. Tam išspręskime uždavinį Nr.3. Prekės egzistavimo sąlyga tenkinama. Pradėkime skaičiuoti elementus cij:
- Matrica C turės 2 eilutes ir 3 stulpelius.
- Apskaičiuoti elementą c11. Norėdami tai padaryti, atliekame 1 eilutės iš matricos A ir stulpelio Nr. 1 iš matricos B skaliarinį sandaugą. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Tada elgiamės panašiai, keisdami tik eilutes, stulpelius (priklausomai nuo elementų indekso).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Elementai apskaičiuojami. Dabar belieka sudaryti stačiakampį gautų skaičių bloką.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Trijų matricų daugyba: teorinė dalis
Ar galite rasti trijų matricų sandaugą? Ši skaičiavimo operacija yra įmanoma. Rezultatą galima gauti keliais būdais. Pavyzdžiui, yra 3 kvadratinės lentelės (tos pačios eilės) – A, B ir C. Norėdami apskaičiuoti sandaugą, galite:
- Pirmiausia padauginkite A ir B. Tada padauginkite rezultatą iš C.
- Pirmiausia suraskite B ir C sandaugą. Tada padauginkite matricą A iš rezultato.
Jei reikia padauginti stačiakampes matricas, pirmiausia turite įsitikinti, kad ši skaičiavimo operacija įmanoma. Turėtųproduktai A × B ir B × C egzistuoja.
Laipsnis daugyba nėra klaida. Yra toks dalykas kaip „matricos daugybos asociatyvumas“. Šis terminas reiškia lygybę (A × B) × C=A × (B × C).
Trijų matricų daugybos praktika
Kvadratinės matricos
Pradėkite padaugindami mažas kvadratines matricas. Žemiau esančiame paveikslėlyje parodyta 4 problema, kurią turime išspręsti.
Naudosime asociatyvumo ypatybę. Pirmiausia padauginame arba A ir B, arba B ir C. Prisimename tik vieną dalyką: jūs negalite sukeisti koeficientų, tai yra, jūs negalite dauginti B × A arba C × B. Taip daugindami gausime klaidingas rezultatas.
Sprendimo pažanga.
Pirmas žingsnis. Norėdami rasti bendrą sandaugą, pirmiausia padauginame A iš B. Daugindami dvi matricas vadovausimės taisyklėmis, kurios buvo išdėstytos aukščiau. Taigi, padauginus A ir B gausime matricą D su 2 eilutėmis ir 2 stulpeliais, ty stačiakampį masyvą sudarys 4 elementai. Suraskime juos atlikdami skaičiavimus:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Parengtas tarpinis rezultatas.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Antras žingsnis. Dabar padauginkime matricą D iš matricos C. Rezultatas turėtų būti kvadratinė matrica G su 2 eilutėmis ir 2 stulpeliais. Apskaičiuoti elementus:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Taigi, kvadratinių matricų sandaugos rezultatas yra lentelė G su apskaičiuotais elementais.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Stačiakampės matricos
Žemiau pateiktame paveikslėlyje parodyta užduotis numeris 5. Reikia padauginti stačiakampes matricas ir rasti sprendimą.
Patikrinkime, ar tenkinama sandaugų A × B ir B × C egzistavimo sąlyga. Nurodytų matricų eilės leidžia atlikti daugybą. Pradėkime spręsti problemą.
Sprendimo pažanga.
Pirmas žingsnis. Padauginkite B iš C, kad gautumėte D. Matrica B turi 3 eilutes ir 4 stulpelius, o matrica C turi 4 eilutes ir 2 stulpelius. Tai reiškia, kad gausime matricą D su 3 eilutėmis ir 2 stulpeliais. Apskaičiuokime elementus. Štai 2 skaičiavimo pavyzdžiai:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Mes ir toliau sprendžiame problemą. Atlikę tolesnius skaičiavimus randame reikšmes d21, d2 2, d31 ir d32. Šie elementai yra atitinkamai 0, 19, 1 ir 11. Rastas reikšmes surašykime į stačiakampį masyvą.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Antras žingsnis. Padauginkite A iš D, kad gautumėte galutinę matricą F. Ji turės 2 eilutes ir 2 stulpelius. Apskaičiuoti elementus:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Sudarykite stačiakampį masyvą, kuris yra trijų matricų padauginimo galutinis rezultatas.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Įvadas į tiesioginį darbą
Gana sunkiai suprantama medžiaga yra Kronecker matricų sandauga. Jis turi ir papildomą pavadinimą – tiesioginis kūrinys. Ką reiškia šis terminas? Tarkime, kad turime lentelę A, kurios eilės m × n, ir lentelę B, kurios eilės p × q. Tiesioginė matricos A ir matricos B sandauga yra matrica, kurios eilės mp × nq.
Turime 2 kvadratines matricas A, B, kurios parodytos paveikslėlyje. Pirmasis turi 2 stulpelius ir 2 eilutes, o antrasis - 3 stulpelius ir 3 eilutes. Matome, kad iš tiesioginio produkto gaunama matrica susideda iš 6 eilučių ir lygiai tiek pat stulpelių.
Kaip apskaičiuojami naujos matricos elementai tiesioginiame sandaugoje? Jei išanalizuosite paveikslėlį, labai lengva rasti atsakymą į šį klausimą. Pirmiausia užpildykite pirmąją eilutę. Paimkite pirmąjį elementą iš viršutinės lentelės A eilutės ir padauginkite iš pirmosios eilutės elementųiš lentelės B. Tada paimkite antrą pirmosios lentelės A eilutės elementą ir paeiliui padauginkite iš pirmosios lentelės B eilutės elementų. Norėdami užpildyti antrąją eilutę, vėl paimkite pirmąjį elementą iš pirmosios lentelės A eilutės ir padauginkite jį iš antrosios lentelės B eilutės elementų.
Galutinė matrica, gauta tiesioginiu produktu, vadinama blokine matrica. Jei dar kartą paanalizuosime figūrą, pamatysime, kad mūsų rezultatas susideda iš 4 blokų. Visi jie apima matricos B elementus. Be to, kiekvieno bloko elementas padauginamas iš konkretaus A matricos elemento. Pirmajame bloke visi elementai dauginami iš a11, antrasis – a12, trečioje – a21, ketvirtoje – a22.
Produktą lemiantis veiksnys
Nagrinėjant matricos daugybos temą, verta atsižvelgti į tokį terminą kaip „matricų sandaugos determinantas“. Kas yra determinantas? Tai svarbi kvadratinės matricos charakteristika, tam tikra reikšmė, kuri priskiriama šiai matricai. Pažodinis determinanto pavadinimas yra det.
Matricoje A, kurią sudaro du stulpeliai ir dvi eilutės, determinantą rasti lengva. Yra nedidelė formulė, kuri yra skirtumas tarp konkrečių elementų produktų:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Panagrinėkime antros eilės lentelės determinanto apskaičiavimo pavyzdį. Yra matrica A, kurioje a11=2, a12=3, a21=5 ir a22=1. Norėdami apskaičiuoti determinantą, naudokite formulę:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
3 × 3 matricų determinantas apskaičiuojamas naudojant sudėtingesnę formulę. Jis pateiktas toliau A matricai:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Norėdami prisiminti formulę, sugalvojome trikampio taisyklę, kuri pavaizduota paveikslėlyje. Pirmiausia padauginami pagrindinės įstrižainės elementai. Prie gautos vertės pridedamos tų elementų sandaugos, nurodytos trikampių su raudonomis kraštinėmis kampais. Toliau atimama antrinės įstrižainės elementų sandauga ir atimamos tų elementų sandaugos, nurodytos trikampių su mėlynomis kraštinėmis kampais.
Dabar pakalbėkime apie matricų sandaugos determinantą. Yra teorema, kuri sako, kad šis rodiklis yra lygus daugiklių lentelių determinantų sandaugai. Patikrinkime tai pavyzdžiu. Turime matricą A su įrašais a11=2, a12=3, a21=1 ir a22=1 ir matrica B su įrašais b11=4, b12=5, b 21 =1 ir b22=2. Raskite matricų A ir B determinantus, sandaugą A × B ir šios sandaugos determinantą.
Sprendimo pažanga.
Pirmas žingsnis. Apskaičiuokite A determinantą: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Tada apskaičiuokite B determinantą: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Antras žingsnis. Raskimesandauga A × B. Pažymėkite naują matricą raide C. Apskaičiuokite jos elementus:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Trečias žingsnis. Apskaičiuokite C determinantą: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Palyginkite su verte, kurią būtų galima gauti padauginus pradinių matricų determinantus. Skaičiai tie patys. Pirmiau pateikta teorema yra teisinga.
Produkto reitingas
Matricos rangas yra charakteristika, atspindinti didžiausią tiesiškai nepriklausomų eilučių ar stulpelių skaičių. Rangui apskaičiuoti atliekamos elementarios matricos transformacijos:
- dviejų lygiagrečių eilučių pertvarkymas;
- visų tam tikros lentelės eilutės elementų padauginimas iš ne nulio skaičiaus;
- prie vienos eilutės elementų pridėjimas elementų iš kitos eilutės, padaugintas iš konkretaus skaičiaus.
Po elementarių transformacijų pažiūrėkite į nulinių eilučių skaičių. Jų skaičius yra matricos rangas. Apsvarstykite ankstesnį pavyzdį. Pateiktos 2 matricos: A su elementais a11=2, a12=3, a21=1 ir a22 =1 ir B su elementais b11=4, b12=5, b21=1 ir b22=2. Taip pat naudosime matricą C, gautą kaip daugybos rezultatą. Jei atliksime elementariąsias transformacijas, tai supaprastintose matricose nulių eilučių nebus. Tai reiškia, kad ir A lentelės rangas, ir B lentelės rangas, ir rangasC lentelė yra 2.
Dabar atkreipkime ypatingą dėmesį į matricų sandaugos rangą. Yra teorema, kuri sako, kad lentelių, kuriose yra skaitinių elementų, sandaugos rangas neviršija nė vieno faktoriaus rango. Tai gali būti įrodyta. Tegu A yra k × s matrica, o B – s × m matrica. A ir B sandauga yra lygi C.
Išnagrinėkime aukščiau pateiktą paveikslėlį. Tai rodo pirmąjį matricos C stulpelį ir supaprastintą jos žymėjimą. Šis stulpelis yra linijinis stulpelių, įtrauktų į matricą A, derinys. Panašiai galima sakyti apie bet kurį kitą stulpelį iš stačiakampio masyvo C. Taigi poerdvė, kurią sudaro lentelės C stulpelių vektoriai, yra poerdvėje, kurią sudaro A lentelės stulpelių vektoriai. Taigi 1 poerdvės matmuo neviršija poerdvės Nr. 2 matmenų. Tai reiškia, kad C lentelės stulpelių rangas neviršija A lentelės stulpelių rango, y., r(C) ≦ r(A). Jei argumentuosime panašiai, tai įsitikinsime, kad matricos C eilutės yra tiesinės matricos B eilučių kombinacijos. Tai reiškia nelygybę r(C) ≦ r(B).
Kaip rasti matricų sandaugą yra gana sudėtinga tema. Ją galima nesunkiai įsisavinti, tačiau norint pasiekti tokį rezultatą, teks praleisti daug laiko įsimindamas visas esamas taisykles ir teoremas.
