Matrica yra ypatingas matematikos objektas. Jis pavaizduotas kaip stačiakampė arba kvadratinė lentelė, sudaryta iš tam tikro skaičiaus eilučių ir stulpelių. Matematikoje yra daug įvairių matricų tipų, kurios skiriasi dydžiu ar turiniu. Jo eilučių ir stulpelių numeriai vadinami eilėmis. Šie objektai matematikoje naudojami tiesinių lygčių sistemų rašymui organizuoti ir patogiai jų rezultatų paieškai. Lygtys naudojant matricą sprendžiamos Carl Gauss, Gabriel Cramer metodu, minorais ir algebriniais papildymais bei daugeliu kitų būdų. Pagrindinis įgūdis dirbant su matricomis yra suformuoti jas į standartinę formą. Tačiau pirmiausia išsiaiškinkime, kokių tipų matricas skiria matematikai.
Nulio tipas
Visi tokio tipo matricos komponentai yra nuliai. Tuo tarpu jo eilučių ir stulpelių skaičius yra visiškai skirtingas.
Kvadrato tipas
Šio tipo matricos stulpelių ir eilučių skaičius yra toks pat. Kitaip tariant, tai yra „kvadrato“formos stalas. Jo stulpelių (arba eilučių) skaičius vadinamas tvarka. Ypatingi atvejai yra antros eilės (matrica 2x2), ketvirtos eilės (4x4), dešimtosios (10x10), septynioliktosios (17x17) ir tt matricos egzistavimas.
Stulpelio vektorius
Tai vienas iš paprasčiausių matricų tipų, turintis tik vieną stulpelį, kuriame yra trys skaitinės reikšmės. Tai žymi laisvųjų terminų (nuo kintamųjų nepriklausomų skaičių) seriją tiesinių lygčių sistemose.
Eilutės vektorius
Žiūrėti panašų į ankstesnį. Jį sudaro trys skaitiniai elementai, išdėstyti vienoje eilutėje.
Įstrižainės tipas
Tik pagrindinės įstrižainės komponentai (paryškinti žaliai) įstrižainės formos skaitines reikšmes. Pagrindinė įstrižainė prasideda elementu viršutiniame kairiajame kampe ir baigiasi atitinkamai apatiniame dešiniajame kampe. Likę komponentai yra lygūs nuliui. Įstrižainės tipas yra tik tam tikros eilės kvadratinė matrica. Tarp įstrižainės formos matricų galima išskirti skaliarinę. Visi jo komponentai turi tas pačias reikšmes.
Tapatybės matrica
Įstrižainės matricos porūšis. Visos jo skaitinės reikšmės yra vienetai. Naudodami vieno tipo matricų lenteles, atlikite pagrindines jos transformacijas arba raskite atvirkštinę pradinei matricai.
Canoninis tipas
Kanoninė matricos forma laikoma viena iš pagrindinių; lietimas prie jo dažnai reikalingas darbui. Eilučių ir stulpelių skaičius kanoninėje matricoje yra skirtingas, jis nebūtinai priklauso kvadratiniam tipui. Ji yra šiek tiek panaši į tapatybės matricą, tačiau jos atveju ne visi pagrindinės įstrižainės komponentai įgauna reikšmę, lygią vienetui. Gali būti du arba keturi pagrindiniai įstrižainės vienetai (viskas priklauso nuo matricos ilgio ir pločio). Arba gali nebūti vienetų (tada jis laikomas nuliu). Likę kanoninio tipo komponentai, taip pat įstrižainės ir tapatybės elementai yra lygūs nuliui.
Trikampio tipas
Vienas iš svarbiausių matricos tipų, naudojamas ieškant jo determinanto ir atliekant paprastas operacijas. Trikampis tipas kilęs iš įstrižainės, todėl matrica taip pat yra kvadratinė. Trikampis matricos vaizdas yra padalintas į viršutinį trikampį ir apatinį trikampį.
Viršutinėje trikampėje matricoje (1 pav.) tik elementai, esantys virš pagrindinės įstrižainės, įgauna reikšmę, lygią nuliui. Pačios įstrižainės ir po ja esančios matricos dalyse yra skaitinės reikšmės.
Apatinėje trikampėje matricoje (2 pav.), priešingai, elementai, esantys apatinėje matricos dalyje, yra lygūs nuliui.
Step Matrix
Rodinys reikalingas ieškant matricos rango, taip pat atliekant elementarias operacijas su ja (kartu su trikampiu tipu). Žingsnių matrica taip pavadinta, nes joje yra būdingi nulių „žingsniai“(kaip parodyta paveikslėlyje). Pakopiniame tipe susidaro nulių įstrižainė (nebūtinai pagrindinė), o visi elementai po šia įstriža taip pat turi reikšmes, lygias nuliui. Būtina sąlyga yra tokia: jei žingsnių matricoje yra nulis eilutė, likusiose po ja esančiose eilutėse taip pat nėra skaitinių reikšmių.
Todėl mes apsvarstėme svarbiausias matricų rūšis, reikalingas darbui su jomis. Dabar atlikime užduotį konvertuoti matricą į reikiamą formą.
Sumažinti iki trikampio formos
Kaip matricą paversti trikampiu? Dažniausiai atliekant užduotis reikia paversti matricą į trikampę formą, kad rastumėte jos determinantą, kitaip vadinamą determinantu. Atliekant šią procedūrą nepaprastai svarbu „išsaugoti“pagrindinę matricos įstrižainę, nes trikampės matricos determinantas yra būtent jos pagrindinės įstrižainės komponentų sandauga. Taip pat leiskite jums priminti alternatyvius determinanto paieškos būdus. Kvadrato tipo determinantas randamas naudojant specialias formules. Pavyzdžiui, galite naudoti trikampio metodą. Kitoms matricoms naudojamas skaidymo pagal eilutes, stulpelius arba jų elementus metodas. Taip pat galite taikyti mažųjų ir matricos algebrinių papildinių metodą.
Išsami informacijaIšanalizuokime matricos įvedimą į trikampę formą naudodami kai kurių užduočių pavyzdžius.
1 užduotis
Būtina rasti pateiktos matricos determinantą, naudojant metodą, suvedant jį į trikampę formą.
Mums pateikta matrica yra trečios eilės kvadratinė matrica. Todėl, norėdami jį paversti trikampe forma, turime panaikinti du pirmojo stulpelio komponentus ir vieną antrojo stulpelio komponentą.
Norėdami paversti ją trikampiu, pradėkite transformaciją nuo apatinio kairiojo matricos kampo – nuo skaičiaus 6. Norėdami paversti jį iki nulio, padauginkite pirmąją eilutę iš trijų ir atimkite iš paskutinės eilutės.
Svarbu! Viršutinė eilutė nesikeičia, bet išlieka tokia pati, kaip ir pradinėje matricoje. Nereikia rašyti eilutės keturis kartus už pradinę. Tačiau eilučių, kurių komponentus reikia panaikinti, reikšmės nuolat kinta.
Toliau nagrinėkime kitą reikšmę – pirmojo stulpelio antros eilutės elementą, skaičių 8. Pirmąją eilutę padauginkite iš keturių ir atimkite iš antrosios eilutės. Gauname nulį.
Liko tik paskutinė reikšmė – antrojo stulpelio trečios eilutės elementas. Tai yra skaičius (-1). Norėdami jį paversti nuliu, iš pirmosios eilutės atimkite antrąją.
Patikrinkim:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Taigi užduoties atsakymas yra -22.
2 užduotis
Turime rasti matricos determinantą, pateikdami ją į trikampę formą.
Pavaizduota matricapriklauso kvadratiniam tipui ir yra ketvirtos eilės matrica. Tai reiškia, kad trys pirmojo stulpelio komponentai, du antrojo stulpelio komponentai ir vienas trečiojo stulpelio komponentas turi būti lyginami nuliu.
Jo mažinimą pradėkime nuo elemento, esančio apatiniame kairiajame kampe – nuo skaičiaus 4. Šį skaičių reikia paversti nuliu. Lengviausias būdas tai padaryti – viršutinę eilutę padauginti iš keturių ir atimti iš ketvirtos eilės. Užrašykime pirmojo transformacijos etapo rezultatą.
Taigi, ketvirtos eilutės komponentas nustatomas į nulį. Pereikime prie pirmojo trečios eilutės elemento, prie skaičiaus 3. Atliekame panašią operaciją. Padauginkite iš trijų pirmąją eilutę, atimkite ją iš trečios eilutės ir parašykite rezultatą.
Toliau antroje eilutėje matome skaičių 2. Pakartojame operaciją: viršutinę eilutę padauginkite iš dviejų ir atimkite iš antrosios.
Mums pavyko nustatyti į nulį visus šios kvadratinės matricos pirmojo stulpelio komponentus, išskyrus skaičių 1, pagrindinės įstrižainės elementą, kuriam nereikia transformacijos. Dabar svarbu palikti gautus nulius, todėl transformacijas atliksime su eilutėmis, o ne stulpeliais. Pereikime prie antrojo pateiktos matricos stulpelio.
Vėl pradėkime nuo apačios – nuo paskutinės eilutės antrojo stulpelio elemento. Tai yra skaičius (-7). Tačiau šiuo atveju patogiau pradėti nuo skaičiaus (-1) – trečios eilutės antrojo stulpelio elemento. Norėdami jį paversti nuliu, atimkite antrąją eilutę iš trečiosios. Tada antrą eilutę padauginame iš septynių ir atimame iš ketvirtosios. Vietoj elemento, esančio antrojo stulpelio ketvirtoje eilutėje, gavome nulį. Dabar pereikime prie trečiojostulpelyje.
Šiame stulpelyje prie nulio reikia pasukti tik vieną skaičių – 4. Tai padaryti paprasta: tiesiog pridėkite trečią prie paskutinės eilutės ir pamatysite mums reikalingą nulį.
Po visų transformacijų siūlomą matricą perkėlėme į trikampę formą. Dabar, norint rasti jo determinantą, tereikia padauginti gautus pagrindinės įstrižainės elementus. Gauname: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Todėl sprendimas yra skaičius 160.
Taigi, dabar klausimas dėl matricos suvedimo į trikampę formą jūsų neapsunkins.
Sumažinimas į laiptuotą formą
Atliekant elementariąsias operacijas su matricomis, pakopinė forma yra mažiau „reikalinga“nei trikampė. Jis dažniausiai naudojamas matricos rangui (t. y. jos nulinių eilučių skaičiui) rasti arba tiesiškai priklausomoms ir nepriklausomoms eilutėms nustatyti. Tačiau pakopinis matricos vaizdas yra universalesnis, nes tinka ne tik kvadratiniam, bet ir visiems kitiems.
Norėdami sumažinti matricą į pakopinę formą, pirmiausia turite rasti jos determinantą. Tam tinka aukščiau pateikti metodai. Determinanto radimo tikslas yra išsiaiškinti, ar jį galima paversti žingsnių matrica. Jei determinantas yra didesnis arba mažesnis už nulį, galite saugiai tęsti užduotį. Jei jis lygus nuliui, matricos sumažinimas į laiptuotą formą neveiks. Tokiu atveju turite patikrinti, ar įraše ar matricos transformacijose nėra klaidų. Jei tokių netikslumų nėra, užduotis negali būti išspręsta.
Pažiūrėkime, kaipperkelkite matricą į pakopinę formą naudodami kelių užduočių pavyzdžius.
Užduotis 1. Raskite pateiktos matricos lentelės reitingą.
Prieš mus yra trečios eilės kvadratinė matrica (3x3). Žinome, kad norint rasti rangą, būtina jį sumažinti į laiptuotą formą. Todėl pirmiausia turime rasti matricos determinantą. Naudojant trikampio metodą: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinantas=12. Jis didesnis už nulį, o tai reiškia, kad matrica gali būti sumažinta iki pakopinės formos. Pradėkime jos transformacijas.
Pradėkime nuo trečios eilutės kairiojo stulpelio elemento - skaičiaus 2. Viršutinę eilutę padauginkite iš dviejų ir atimkite iš trečiosios. Šios operacijos dėka ir mums reikalingas elementas, ir skaičius 4 – trečios eilutės antrojo stulpelio elementas – pavirto nuliu.
Toliau pasukite į nulį pirmojo stulpelio antros eilutės elementą – skaičių 3. Norėdami tai padaryti, padauginkite viršutinę eilutę iš trijų ir atimkite ją iš antrosios.
Matome, kad sumažinus susidarė trikampė matrica. Mūsų atveju transformacijos tęsti negalima, nes likusių komponentų negalima paversti nuliu.
Taigi darome išvadą, kad eilučių su skaitinėmis reikšmėmis šioje matricoje skaičius (arba jos rangas) yra 3. Atsakymas į užduotį: 3.
2 užduotis. Nustatykite tiesiškai nepriklausomų šios matricos eilučių skaičių.
Turime rasti eilutes, kurių negalima pakeisti jokiomis transformacijomisiki nulio. Tiesą sakant, turime rasti nulinių eilučių skaičių arba vaizduojamos matricos rangą. Norėdami tai padaryti, supaprastinkime.
Matome matricą, kuri nepriklauso kvadratiniam tipui. Jo matmenys yra 3x4. Taip pat pradėkime nuo apatinio kairiojo kampo elemento – skaičiaus (-1).
Pridėkite pirmąją eilutę prie trečios. Tada atimkite antrąjį iš jo, kad skaičių 5 paverstumėte nuliu.
Tolimesnės transformacijos neįmanomos. Taigi darome išvadą, kad tiesiškai nepriklausomų eilučių skaičius jame ir užduoties atsakymas yra 3.
Dabar perkelti matricą į pakopinę formą jums nėra neįmanoma užduotis.
Šių užduočių pavyzdžiuose išanalizavome matricos redukavimą į trikampę formą ir laiptuotą formą. Norint panaikinti norimas matricinių lentelių reikšmes, kai kuriais atvejais reikia parodyti vaizduotę ir teisingai transformuoti jų stulpelius ar eilutes. Sėkmės matematikoje ir dirbant su matricomis!
