Matricos: Gauso metodas. Gauso matricos skaičiavimas: pavyzdžiai

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 05:34

Tiesinė algebra, kuri universitetuose dėstoma pagal įvairias specialybes, apjungia daugybę sudėtingų temų. Kai kurie iš jų yra susiję su matricomis, taip pat su tiesinių lygčių sistemų sprendimu Gauso ir Gauso-Jordano metodais. Ne visiems mokiniams pavyksta perprasti šias temas, įvairių problemų sprendimo algoritmus. Supraskime kartu Gauso ir Gauso-Jordano matricas ir metodus.

Pagrindinės sąvokos

Tiesinės algebros matrica yra stačiakampis elementų masyvas (lentelė). Žemiau pateikiami skliausteliuose pateikiami elementų rinkiniai. Tai yra matricos. Iš aukščiau pateikto pavyzdžio matyti, kad stačiakampių masyvų elementai yra ne tik skaičiai. Matricą gali sudaryti matematinės funkcijos, algebriniai simboliai.

Siekdami suprasti kai kurias sąvokas, iš elementų a_ij sukurkime matricą A. Indeksai yra ne tik raidės: i yra lentelės eilutės numeris, o j yra stulpelio, kurio sankirtos srityje yra elementas, numerisa_ij. Taigi matome, kad turime tokių elementų matricą kaip a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ ir tt Raidė n žymi stulpelių skaičių, o raidė m – eilučių skaičių. Simbolis m × n žymi matricos matmenis. Tai yra sąvoka, apibrėžianti eilučių ir stulpelių skaičių stačiakampiame elementų masyve.

Pasirinktinai matricoje turi būti keli stulpeliai ir eilutės. 1 × n matmenų elementų masyvas yra vienos eilutės, o m × 1 matmuo yra vieno stulpelio masyvas. Kai eilučių ir stulpelių skaičius yra lygus, matrica vadinama kvadratine. Kiekviena kvadratinė matrica turi determinantą (det A). Šis terminas reiškia skaičių, priskirtą matricai A.

Pagrindinės ir antrinės įstrižainės yra dar kelios svarbios sąvokos, kurias reikia atsiminti norint sėkmingai išspręsti matricas. Pagrindinė matricos įstrižainė yra įstrižainė, kuri iš viršutinio kairiojo kampo nusileidžia į dešinįjį stalo kampą. Šoninė įstrižainė eina į dešinįjį kampą aukštyn nuo kairiojo kampo iš apačios.

Žingsnis matricos vaizdas

Pažiūrėkite į paveikslėlį žemiau. Ant jo pamatysite matricą ir diagramą. Pirmiausia panagrinėkime matricą. Tiesinėje algebroje tokio tipo matrica vadinama žingsnine matrica. Jis turi vieną savybę: jei a_ij yra pirmasis elementas, kuris nėra nulis i-oje eilutėje, tada visi kiti elementai iš žemiau esančios matricos ir į kairę nuo a_ij yra nuliniai (t. y. visi tie elementai, kuriems gali būti suteiktas raidinis žymėjimas a_kl, kur k>i irl<j).

Dabar apsvarstykite diagramą. Tai atspindi laiptuotą matricos formą. Schema rodo 3 tipų ląsteles. Kiekvienas tipas žymi tam tikrus elementus:

• tušti langeliai – nulis matricos elementų;
• tamsuoti langeliai yra savavališki elementai, kurie gali būti ir nulis, ir ne nulis;
• juodi kvadratai yra nuliniai elementai, kurie vadinami kampiniais elementais, „žingsniais“(greta jų parodytoje matricoje tokie elementai yra skaičiai –1, 5, 3, 8).

Spręsdami matricas, kartais rezultatas būna toks, kad žingsnio "ilgis" yra didesnis nei 1. Tai leidžiama. Svarbu tik laiptelių „aukštis“. Žingsnių matricoje šis parametras visada turi būti lygus vienetui.

Matricos sumažinimas į žingsninę formą

Bet kurią stačiakampę matricą galima konvertuoti į pakopinę formą. Tai daroma per elementarius transformavimus. Jie apima:

• stygų pertvarkymas;
• Kitos eilutės įtraukimas į vieną eilutę, jei reikia, padaugintas iš kokio nors skaičiaus (taip pat galite atlikti atimties operaciją).

Panagrinėkime elementarias transformacijas sprendžiant konkrečią problemą. Žemiau esančiame paveikslėlyje parodyta matrica A, kurią reikia sumažinti iki pakopinės formos.

Siekdami išspręsti problemą, vadovausimės tokiu algoritmu:

• Patogu atlikti transformacijas matricoje supirmasis elementas viršutiniame kairiajame kampe (t. y. „pirmaujantis“elementas) yra 1 arba -1. Mūsų atveju pirmasis elementas viršutinėje eilutėje yra 2, todėl sukeiskime pirmą ir antrą eilutes.
• Atlikkime atimties operacijas, turinčias įtakos 2, 3 ir 4 eilutėms. Pirmajame stulpelyje po elementu „pirmaujantis“turėtume gauti nulius. Šiam rezultatui pasiekti: iš 2 eilutės elementų nuosekliai atimame eilutės Nr. 1 elementus, padaugintus iš 2; iš 3 eilutės elementų nuosekliai atimame eilutės Nr. 1 elementus, padaugintus iš 4; iš 4 eilutės elementų nuosekliai atimame eilutės Nr. 1 elementus.
• Toliau dirbsime su sutrumpinta matrica (be 1 stulpelio ir 1 eilutės). Naujasis „pirmaujantis“elementas, stovintis antrojo stulpelio ir antrosios eilės sankirtoje, yra lygus -1. Nereikia pertvarkyti eilučių, todėl pirmą stulpelį ir pirmą bei antrą eilutes perrašome be pakeitimų. Atlikime atimties operacijas, kad antrame stulpelyje po elementu „pirmaujantis“gautume nulius: iš trečios eilutės elementų nuosekliai atimame antros eilutės elementus, padaugintus iš 3; iš ketvirtos eilutės elementų atimkite antros eilutės elementus, padaugintus iš 2.
• Belieka pakeisti paskutinę eilutę. Iš jo elementų paeiliui atimame trečiosios eilutės elementus. Taigi gavome pakopinę matricą.

Matricų redukcija į žingsninę formą naudojamas sprendžiant tiesinių lygčių sistemas (SLE) Gauso metodu. Prieš žiūrėdami į šį metodą, supraskime kai kuriuos su SLN susijusius terminus.

Tiesinių lygčių matricos ir sistemos

Matricos naudojamos įvairiuose moksluose. Naudodami skaičių lenteles galite, pavyzdžiui, išspręsti tiesines lygtis, sujungtas į sistemą naudodami Gauso metodą. Pirmiausia susipažinkime su keliais terminais ir jų apibrėžimais, taip pat pažiūrėkime, kaip iš sistemos, jungiančios kelias tiesines lygtis, sudaroma matrica.

SLU – kelios kombinuotos algebrinės lygtys su nežinomuoju pirmuoju laipsniu ir be produkto terminų.

SLE sprendimas – rastos nežinomųjų reikšmės, kurias pakeičiant lygtys sistemoje tampa tapatybėmis.

Jungtinė SLE yra lygčių sistema, turinti bent vieną sprendimą.

Nenuoseklus SLE yra lygčių sistema, kuri neturi sprendinių.

Kaip sudaroma matrica remiantis sistema, jungiančia tiesines lygtis? Yra tokios sąvokos kaip pagrindinės ir išplėstinės sistemos matricos. Norint gauti pagrindinę sistemos matricą, reikia į lentelę sudėti visus nežinomųjų koeficientus. Išplėstinė matrica gaunama pridedant laisvųjų terminų stulpelį prie pagrindinės matricos (joje yra žinomi elementai, kuriems prilyginama kiekviena lygtis sistemoje). Visą šį procesą galite suprasti išnagrinėję toliau pateiktą paveikslėlį.

Pirmas dalykas, kurį matome paveikslėlyje, yra sistema, apimanti tiesines lygtis. Jo elementai: a_ij – skaitiniai koeficientai, x_j – nežinomos reikšmės, b_i – pastovūs terminai (kur i=1, 2, …, m ir j=1, 2, …, n). Antrasis elementas paveikslėlyje yra pagrindinė koeficientų matrica. Iš kiekvienos lygties koeficientai rašomi iš eilės. Dėl to matricoje yra tiek eilučių, kiek sistemoje yra lygčių. Stulpelių skaičius yra lygus didžiausiam koeficientų skaičiui bet kurioje lygtyje. Trečiasis elementas paveikslėlyje yra išplėstinė matrica su laisvų terminų stulpeliu.

Bendra informacija apie Gauso metodą

Tiesinėje algebroje Gauso metodas yra klasikinis SLE sprendimo būdas. Jis pavadintas Carlo Friedricho Gauso, gyvenusio XVIII–XIX a., vardu. Tai vienas didžiausių visų laikų matematikų. Gauso metodo esmė – atlikti elementarias transformacijas tiesinių algebrinių lygčių sistemoje. Transformacijų pagalba SLE redukuojama į lygiavertę trikampės (pakopinės) formos sistemą, iš kurios galima rasti visus kintamuosius.

Verta pažymėti, kad Carlas Friedrichas Gaussas nėra klasikinio tiesinių lygčių sistemos sprendimo metodo atradėjas. Metodas buvo išrastas daug anksčiau. Pirmasis jo aprašymas yra senovės Kinijos matematikų žinių enciklopedijoje, pavadintoje „Matematika 9 knygose“.

SLE sprendimo Gauso metodu pavyzdys

Panagrinėkime konkrečiu pavyzdžiu sistemų sprendimą Gauso metodu. Dirbsime su paveikslėlyje parodytu SLU.

Sprendimo algoritmas:

1. Mes sumažinsime sistemą į žingsninę formą tiesioginiu Gauso metodu, bet pirmiausiasudarysime išplėstą skaitinių koeficientų ir laisvųjų narių matricą.
2. Norėdami išspręsti matricą Gauso metodu (t. y. perkelti ją į laiptuotą formą), iš antrosios ir trečiosios eilučių elementų nuosekliai atimame pirmosios eilutės elementus. Pirmajame stulpelyje po elementu „pirmaujantis“gauname nulius. Toliau, kad būtų patogiau, vietomis pakeisime antrą ir trečią eilutes. Prie paskutinės eilutės elementų iš eilės pridėkite antros eilutės elementus, padaugintus iš 3.
3. Apskaičiavę matricą Gauso metodu, gavome pakopinį elementų masyvą. Remdamiesi juo, sudarysime naują tiesinių lygčių sistemą. Atvirkščiai naudojant Gauso metodą, randame nežinomų terminų reikšmes. Iš paskutinės tiesinės lygties matyti, kad x₃ yra lygus 1. Šią reikšmę pakeičiame antroje sistemos eilutėje. Gaunate lygtį x₂ – 4=–4. Iš to išplaukia, kad x₂ yra lygus 0. Pirmojoje sistemos lygtyje pakeiskite x₂ ir x₃: x1 _{+ 0 +3=2. Nežinomas terminas yra -1.}

Atsakymas: naudodami matricą, Gauso metodą, radome nežinomųjų reikšmes; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gausso-Jordano metodas

Tiesinėje algebroje taip pat yra toks dalykas kaip Gauso-Jordano metodas. Tai laikoma Gauso metodo modifikacija ir naudojama atvirkštinei matricai rasti, nežinomiems algebrinių tiesinių lygčių kvadratinių sistemų nariams apskaičiuoti. Gauss-Jordan metodas patogus tuo, kad leidžia išspręsti SRV vienu žingsniu (nenaudojant tiesioginio ir atvirkštiniojudesiai).

Pradėkime nuo termino „atvirkštinė matrica“. Tarkime, kad turime matricą A. Jai atvirkštinė matrica bus A^-1, o sąlyga būtinai tenkinama: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, t.y. šių matricų sandauga lygi tapatybės matricai (pagrindinės tapatybės matricos įstrižainės elementai yra vienetai, o likę nuliai).}

Svarbus niuansas: tiesinėje algebroje yra atvirkštinės matricos egzistavimo teorema. Pakankama ir būtina matricos A^-1 egzistavimo sąlyga yra ta, kad matrica A yra nevienskaita.

Pagrindiniai žingsniai, kuriais grindžiamas Gauso-Jordano metodas:

1. Pažiūrėkite į pirmąją konkrečios matricos eilutę. Gauso-Jordano metodą galima pradėti, jei pirmoji reikšmė nėra lygi nuliui. Jei pirmoji vieta yra 0, sukeiskite eilutes taip, kad pirmojo elemento reikšmė būtų ne nulis (pageidautina, kad skaičius būtų arčiau vieneto).
2. Padalinkite visus pirmosios eilutės elementus iš pirmojo skaičiaus. Gausite eilutę, kuri prasideda vienu.
3. Iš antrosios eilutės atimkite pirmąją eilutę, padaugintą iš pirmojo antrosios eilutės elemento, t. y. galų gale gausite eilutę, kuri prasideda nuo nulio. Tą patį padarykite su likusiomis eilutėmis. Padalinkite kiekvieną eilutę iš pirmojo elemento, kuris nėra nulis, kad gautumėte 1 įstrižai.
4. Todėl gausite viršutinę trikampę matricą naudodami Gauso – Jordano metodą. Jame pagrindinė įstrižainė pavaizduota vienetais. Apatinis kampas užpildytas nuliais irviršutiniame kampe – įvairios reikšmės.
5. Iš priešpaskutinės eilutės atimkite paskutinę eilutę, padaugintą iš reikiamo koeficiento. Turėtumėte gauti eilutę su nuliais ir vienu. Likusioms eilutėms pakartokite tą patį veiksmą. Po visų transformacijų bus gauta tapatybės matrica.

Atvirkštinės matricos radimo naudojant Gauss-Jordan metodą pavyzdys

Norint apskaičiuoti atvirkštinę matricą, reikia parašyti padidintą matricą A|E ir atlikti reikiamas transformacijas. Panagrinėkime paprastą pavyzdį. Toliau pateiktame paveikslėlyje parodyta matrica A.

Sprendimas:

1. Pirma, suraskime matricos determinantą naudodami Gauso metodą (det A). Jei šis parametras nėra lygus nuliui, tada matrica bus laikoma nevienetine. Tai leis mums daryti išvadą, kad A tikrai turi A^-1. Norėdami apskaičiuoti determinantą, elementariomis transformacijomis transformuojame matricą į laipsnišką formą. Suskaičiuokime skaičių K lygų eilučių permutacijų skaičiui. Eilutes keitėme tik 1 kartą. Apskaičiuokime determinantą. Jo reikšmė bus lygi pagrindinės įstrižainės elementų sandaugai, padaugintai iš (–1)^K. Skaičiavimo rezultatas: det A=2.
2. Sudarykite papildytą matricą pridėdami tapatybės matricą prie pradinės matricos. Gautas elementų masyvas bus naudojamas atvirkštinei matricai rasti Gauso-Jordano metodu.
3. Pirmasis elementas pirmoje eilutėje yra lygus vienetui. Tai mums tinka, nes nereikia pertvarkyti eilučių ir dalyti pateiktos eilutės iš kažkokio skaičiaus. Pradėkime dirbtisu antra ir trečia eilutėmis. Norėdami paversti pirmąjį elementą antroje eilutėje į 0, iš antrosios eilutės atimkite pirmąją eilutę, padaugintą iš 3. Atimkite pirmąją eilutę iš trečios eilutės (daugybos nereikia).
4. Gautoje matricoje antrasis antrosios eilutės elementas yra -4, o antrasis trečios eilutės elementas yra -1. Patogumo dėlei pakeiskime eilutes. Iš trečios eilutės atimkite antrąją eilutę, padaugintą iš 4. Antrą eilutę padalinkite iš -1, o trečią eilutę iš 2. Gauname viršutinę trikampę matricą.
5. Iš antros eilutės atimkime paskutinę eilutę, padaugintą iš 4, ir paskutinę eilutę, padaugintą iš 5, iš pirmosios eilutės. Tada iš pirmos eilutės atimkime antrą eilutę, padaugintą iš 2. Kairėje gavome tapatybės matrica. Dešinėje yra atvirkštinė matrica.

SLE sprendimo Gauss-Jordan metodu pavyzdys

Paveikslėlyje parodyta tiesinių lygčių sistema. Nežinomų kintamųjų reikšmes reikia rasti naudojant matricą, Gauso-Jordano metodą.

Sprendimas:

1. Sukurkime papildytą matricą. Norėdami tai padaryti, į lentelę įtrauksime koeficientus ir laisvuosius terminus.
2. Išspręskite matricą naudodami Gauso-Jordano metodą. Iš eilutės Nr. 2 atimame eilutę Nr. 1. Iš eilutės Nr. 3 atimame eilutę Nr. 1, anksčiau padaugintą iš 2.
3. Sukeisti 2 ir 3 eilutes.
4. Iš 3 eilutės atimkite 2 eilutę, padaugintą iš 2. Gautą trečią eilutę padalinkite iš –1.
5. Atimkite 3 eilutę iš 2 eilutės.
6. Atimkite 1 eilutę iš 1 eilutės2 kartus -1. Šone gavome stulpelį, sudarytą iš skaičių 0, 1 ir -1. Iš to darome išvadą, kad x₁=0, x₂=1 ir x₃ =–1.

Jei norite, galite patikrinti sprendimo teisingumą, pakeisdami apskaičiuotas reikšmes į lygtis:

• 0 – 1=–1, pirmoji tapatybė iš sistemos yra teisinga;
• 0 + 1 + (–1)=0, antroji tapatybė iš sistemos yra teisinga;
• 0 – 1 + (–1)=–2, trečioji sistemos tapatybė yra teisinga.

Išvada: naudodami Gauso-Jordano metodą, radome teisingą kvadratinės sistemos, jungiančios tiesines algebrines lygtis, sprendimą.

Internetiniai skaičiuotuvai

Šiuolaikinio jaunimo, studijuojančio universitetuose ir studijuojančio tiesinę algebrą, gyvenimas labai supaprastėjo. Prieš keletą metų mes patys turėjome ieškoti sprendimų sistemoms naudojant Gauso ir Gauso-Jordano metodą. Vieni mokiniai sėkmingai susidorojo su užduotimis, kiti sprendime pasimetė, suklydo, prašė klasės draugų pagalbos. Šiandien atlikdami namų darbus galite naudoti internetinius skaičiuotuvus. Tiesinių lygčių sistemoms spręsti, atvirkštinių matricų paieškai buvo parašytos programos, kurios parodo ne tik teisingus atsakymus, bet ir parodo konkrečios problemos sprendimo eigą.

Internete yra daug išteklių su integruotais internetiniais skaičiuotuvais. Gauso matricos, lygčių sistemos šiomis programomis išsprendžiamos per kelias sekundes. Studentams tereikia nurodyti reikiamus parametrus (pavyzdžiui, lygčių skaičių,kintamųjų skaičius).