Neįmanoma teigti, kad išmanote matematiką, jei nemokate braižyti grafikų, nubrėžti nelygybių koordinačių tiesėje ir dirbti su koordinačių ašimis. Vizualinis komponentas moksle yra gyvybiškai svarbus, nes be vaizdinių pavyzdžių formulėse ir skaičiavimuose kartais galite labai susipainioti. Šiame straipsnyje pamatysime, kaip dirbti su koordinačių ašimis, ir išmoksime sudaryti paprastus funkcijų grafikus.
Programa
Koordinačių linija yra paprasčiausių grafikų tipų, su kuriais mokinys susiduria savo mokymosi kelyje, pagrindas. Jis naudojamas beveik visose matematinėse temose: skaičiuojant greitį ir laiką, projektuojant objektų dydį ir skaičiuojant jų plotą, trigonometrijoje dirbant su sinusais ir kosinusais.
Pagrindinė tokios tiesioginės linijos vertė yra matomumas. Kadangi matematika yra mokslas, reikalaujantis aukšto abstraktaus mąstymo lygio, grafikai padeda vaizduoti objektą realiame pasaulyje. Kaip jis elgiasi? Kuriame erdvės taške buskelias sekundes, minutes, valandas? Ką apie tai galima pasakyti, palyginti su kitais objektais? Koks jo greitis atsitiktinai parinktu laiku? Kaip apibūdinti jo judėjimą?
Ir mes ne veltui kalbame apie greitį – jis dažnai rodomas funkcijų grafikuose. Taip pat jie gali rodyti temperatūros ar slėgio pokyčius objekto viduje, jo dydį, orientaciją horizonto atžvilgiu. Taigi koordinačių tiesę dažnai reikia sudaryti ir fizikoje.
Vienmatė diagrama
Yra daugiamatiškumo samprata. Vienmatėje erdvėje taško vietai nustatyti pakanka vieno skaičiaus. Būtent taip yra naudojant koordinačių liniją. Jei erdvė yra dvimatė, reikia dviejų skaičių. Tokio tipo diagramos naudojamos daug dažniau ir tikrai jas apsvarstysime šiek tiek vėliau straipsnyje.
Ką galima pamatyti taškais ant ašies, jei yra tik viena ašis? Galite matyti objekto dydį, jo padėtį erdvėje, palyginti su kokiu nors „nuliu“, t. y. tašku, pasirinktu kaip atskaitos taškas.
Parametrų pasikeitimas laikui bėgant nebus matomas, nes visi rodmenys bus rodomi tam tikrą akimirką. Tačiau jūs turite kažkur pradėti! Taigi pradėkime.
Kaip sukurti koordinačių ašį
Pirmiausia reikia nubrėžti horizontalią liniją – tai bus mūsų ašis. Dešinėje pusėje „paaštrinti“, kad atrodytų kaip rodyklė. Taigi nurodysime kryptį, kuria bus skaičiaipadidinti. Žemyn rodyklė paprastai nededama. Tradiciškai ašis nukreipta į dešinę, todėl tiesiog laikysimės šios taisyklės.
Nustatykime nulio ženklą, kuris parodys koordinačių kilmę. Tai yra ta vieta, iš kurios imamas atgalinis skaičiavimas, nesvarbu, ar tai dydis, svoris, greitis ar dar kas nors. Be nulio, būtinai turime nurodyti vadinamąją padalijimo kainą, t.y. įvesti vieneto standartą, pagal kurį ašyje nubraižysime tam tikrus kiekius. Tai turi būti padaryta, kad būtų galima rasti atkarpos ilgį koordinačių tiesėje.
Vienodu atstumu vienas nuo kito įdėkite taškus arba „įpjovas“ant linijos ir po jais atitinkamai parašykite 1, 2, 3 ir pan. O dabar viskas paruošta. Tačiau pagal susidariusį tvarkaraštį vis tiek turite išmokti dirbti.
Taškų tipai koordinačių tiesėje
Iš pirmo žvilgsnio į vadovėliuose siūlomus brėžinius tampa aišku: ašies taškai gali būti užpildyti arba nepildyti. Ar manote, kad tai sutapimas? Visai ne! „Tvirtas“taškas naudojamas nelygiai nelygybei – tokiai, kuri skaitoma kaip „didesnė arba lygi“. Jei reikia griežtai apriboti intervalą (pavyzdžiui, "x" gali paimti reikšmes nuo nulio iki vieneto, bet jo neįtraukia), naudosime "tuščiavidurį" tašką, tai yra, iš tikrųjų, mažą apskritimą. ant ašies. Pažymėtina, kad studentams labai nepatinka griežta nelygybė, nes su jais sunkiau dirbti.
Priklausomai nuo to, kuriuos taškus jūsnaudoti diagramoje, sukurti intervalai taip pat bus vadinami. Jei abiejų pusių nelygybė nėra griežta, tada gauname atkarpą. Jei, viena vertus, jis pasirodys „atviras“, tada tai bus vadinama pusės intervalu. Galiausiai, jei linijos dalis iš abiejų pusių apribota tuščiaviduriais taškais, ji bus vadinama intervalu.
Lėktuvas
Kūrdami dvi tieses koordinačių plokštumoje, jau galime atsižvelgti į funkcijų grafikus. Tarkime, kad horizontali linija yra laiko ašis, o vertikali linija yra atstumas. O dabar galime nustatyti, kokį atstumą objektas įveiks per minutę ar valandą kelionės. Taigi dirbant su plokštuma galima stebėti objekto būsenos kitimą. Tai daug įdomiau nei tyrinėti statinę būseną.
Paprasčiausias grafikas tokioje plokštumoje yra tiesė, ji atspindi funkciją Y(X)=aX + b. Ar linija lenkiasi? Tai reiškia, kad tyrimo metu objektas keičia savo charakteristikas.
Įsivaizduokite, kad stovite ant pastato stogo ir laikote akmenį ištiestoje rankoje. Kai jį atleisite, jis skris žemyn, pradėdamas judėti nuo nulinio greičio. Tačiau per sekundę jis įveiks 36 kilometrus per valandą. Akmuo toliau įsibėgės, o norint nubrėžti jo judėjimą diagramoje, jums reikės išmatuoti jo greitį keliais laiko momentais, nustatydami taškus ant ašies atitinkamose vietose.
Žymės horizontalioje koordinačių linijoje pagal numatytuosius nustatymus yra pavadintos X1, X2, X3, o vertikalioje - atitinkamai Y1, Y2, Y3. projektuojantisjuos į plokštumą ir radę sankryžas, randame gauto rašto fragmentus. Sujungę juos viena linija, gauname funkcijos grafiką. Jei akmuo krenta, kvadratinė funkcija atrodys taip: Y(X)=aXX + bX + c.
Mastelis
Žinoma, nebūtina dėti sveikųjų skaičių reikšmių šalia padalų tiesia linija. Jei svarstote apie sraigės, ropojančios 0,03 metro per minutę greičiu, judėjimą, nustatykite kaip reikšmes koordinačių trupmenoje. Tokiu atveju nustatykite skalės intervalą į 0,01 metro.
Ypač patogu tokius piešinius atlikti sąsiuvinyje narvelyje – čia iškart matysite, ar lape užtenka vietos jūsų diagramai, jei peržengsite paraštes. Suskaičiuoti savo jėgą nesunku, nes langelio plotis tokiame sąsiuvinyje – 0,5 centimetro. Paėmė – sumažino vaizdą. Pakeitus diagramos mastelį, jos savybės nepraras arba nepasikeis.
Taško ir atkarpos koordinatės
Kai matematikos uždavinys pateikiamas pamokoje, jame gali būti įvairių geometrinių figūrų parametrai tiek kraštinių ilgių, perimetro, ploto, tiek koordinačių pavidalu. Tokiu atveju gali tekti sukurti formą ir gauti su ja susijusių duomenų. Kyla klausimas: kaip rasti reikiamą informaciją koordinačių tiesėje? Ir kaip sukurti formą?
Pavyzdžiui, mes kalbame apie tašką. Tada problemos sąlygoje atsiras didžioji raidė, o skliausteliuose – keli skaičiai, dažniausiai du (tai reiškia, kad skaičiuosime dvimatėje erdvėje). Jei skliausteliuose yra trys skaičiai, atskirti kabliataškiu arba kableliu, tai yra trimatė erdvė. Kiekviena reikšmė yra atitinkamos ašies koordinatė: pirmiausia išilgai horizontalės (X), tada išilgai vertikalios (Y).
Prisimeni, kaip nubrėžti atkarpą? Perdavėte geometriją. Jei yra du taškai, tarp jų galima nubrėžti liniją. Jų koordinatės nurodomos skliausteliuose, jei užduotyje atsiranda atkarpa. Pavyzdžiui: A(15, 13) – B(1, 4). Norėdami sukurti tokią liniją, turite rasti ir pažymėti taškus koordinačių plokštumoje, o tada juos sujungti. Štai ir viskas!
Ir visus daugiakampius, kaip žinote, galima nubrėžti naudojant segmentus. Problema išspręsta.
Skaičiavimai
Tarkime, yra objektas, kurio padėtis išilgai X ašies apibūdinama dviem skaičiais: jis prasideda taške, kurio koordinatė (-3) ir baigiasi (+2). Jei norime sužinoti šio objekto ilgį, iš didesnio skaičiaus turime atimti mažesnį skaičių. Atkreipkite dėmesį, kad neigiamas skaičius sugeria atimties ženklą, nes „minusas ir minusas yra lygus pliusui“. Taigi pridedame (2+3) ir gauname 5. Tai reikalingas rezultatas.
Kitas pavyzdys: mums nurodomas objekto pabaigos taškas ir ilgis, bet ne pradžios taškas (ir mes turime jį rasti). Tegul žinomo taško padėtis yra (6), o tiriamo objekto dydis – (4). Iš galutinės koordinatės atėmę ilgį, gauname atsakymą. Iš viso: (6–4)=2.
Neigiami skaičiai
Praktiškai dažnai reikia dirbti su neigiamomis reikšmėmis. Šiuo atveju mes padarysimeperkelkite į kairę išilgai koordinačių ašies. Pavyzdžiui, 3 centimetrų aukščio objektas plūduriuoja vandenyje. Trečdalis jo yra panardinta į skystį, du trečdaliai yra ore. Tada ašimi pasirinkę vandens paviršių, paprasčiausiais aritmetiniais skaičiavimais gauname du skaičius: viršutinis objekto taškas turi koordinatę (+2), o apatinis – (-1) centimetrą.
Nesunku pastebėti, kad plokštumos atveju turime keturis ketvirčius koordinačių linijos. Kiekvienas iš jų turi savo numerį. Pirmoje (viršutinėje dešinėje) dalyje bus taškai, turintys dvi teigiamas koordinates, antroje - viršuje kairėje - X ašies reikšmės bus neigiamos, o išilgai Y ašies - teigiamos. Trečias ir ketvirtas skaičiuojami toliau prieš laikrodžio rodyklę.
Svarbi nuosavybė
Žinote, kad linija gali būti pavaizduota kaip begalinis taškų skaičius. Galime žiūrėti kiek norime įdėmiai reikšmių kiekviena ašies kryptimi, bet nepasikartojančių. Atrodo naivu ir suprantama, bet toks teiginys kyla iš svarbaus fakto: kiekvienas skaičius atitinka vieną ir tik vieną tašką koordinačių tiesėje.
Išvada
Atminkite, kad visos ašys, figūros ir, jei įmanoma, grafika turi būti pastatyta ant liniuotės. Matavimo vienetus žmogus sugalvojo neatsitiktinai – jei piešdami padarysite klaidą, rizikuojate pamatyti kitokį vaizdą, nei turėjo būti.
Būkite atsargūs ir tikslūs braižydami ir skaičiuodami. Kaip ir bet kuris mokykloje mokomas mokslas, matematika mėgsta tikslumą. Įdėkite šiek tiek pastangų ir geraiįvertinimų netruks laukti.
