Svarbi matematikos sąvoka yra funkcija. Su jo pagalba galite vizualizuoti daugybę gamtoje vykstančių procesų, atspindėti santykį tarp tam tikrų dydžių naudojant formules, lenteles ir paveikslėlius grafike. Pavyzdys yra skysčio sluoksnio slėgio ant kūno priklausomybė nuo panardinimo gylio, pagreičio - nuo tam tikros jėgos poveikio objektui, temperatūros padidėjimo - nuo perduodamos energijos ir daugelio kitų procesų. Funkcijos tyrimas apima grafiko sudarymą, jo savybių, apimties ir reikšmių, didėjimo ir mažėjimo intervalų išaiškinimą. Svarbus šio proceso momentas yra ekstremalių taškų paieška. Apie tai, kaip tai padaryti teisingai, ir pokalbis tęsis.
Apie pačią koncepciją konkrečiame pavyzdyje
Medicinoje nubrėžus funkcijų grafiką galima pasakyti apie ligos eigą paciento kūne, vizualiai atspindint jo būklę. Tarkime, kad laikas dienomis brėžiamas išilgai OX ašies, o žmogaus kūno temperatūra – išilgai OY ašies. Paveikslėlyje aiškiai matyti, kaip šis rodiklis smarkiai pakyla, irtada krenta. Taip pat nesunku pastebėti vienetinius taškus, atspindinčius momentus, kai funkcija, anksčiau padidėjusi, pradeda mažėti ir atvirkščiai. Tai yra kraštutiniai taškai, tai yra kritinės reikšmės (maksimali ir mažiausia) šiuo atveju paciento temperatūrai, po kurių atsiranda jo būklės pokyčių.
Pakrypimo kampas
Iš paveikslo nesunku nustatyti, kaip keičiasi funkcijos išvestinė. Jei grafiko tiesės laikui bėgant kyla aukštyn, tai yra teigiama. Ir kuo jie statesni, tuo didesnė išvestinės vertė, didėjant pasvirimo kampui. Mažėjimo laikotarpiais ši reikšmė įgauna neigiamas reikšmes, ekstremaliuose taškuose virsta nuliu, o išvestinės grafikas pastaruoju atveju nubrėžiamas lygiagrečiai OX ašiai.
Bet koks kitas procesas turėtų būti traktuojamas taip pat. Tačiau geriausias dalykas šioje sąvokoje gali parodyti įvairių kūnų judėjimą, aiškiai parodytą diagramose.
Judėjimas
Tarkime, koks nors objektas juda tiesia linija, įgydamas greitį tolygiai. Šiuo laikotarpiu kūno koordinačių pokytis grafiškai atvaizduoja tam tikrą kreivę, kurią matematikas vadintų parabolės šaka. Tuo pačiu metu funkcija nuolat didėja, nes koordinačių rodikliai kas sekundę keičiasi vis greičiau. Greičio grafikas rodo išvestinės elgseną, kurios reikšmė taip pat didėja. Tai reiškia, kad judėjimas neturi kritinių taškų.
Tai būtų tęsiama neribotą laiką. Bet jei kūnas staiga nusprendžia sulėtinti greitį, sustokite ir pradėkite judėti kitamekryptis? Tokiu atveju koordinačių rodikliai pradės mažėti. Funkcija perduos kritinę reikšmę ir pereis nuo didėjančios iki mažėjančios.
Šiame pavyzdyje vėl galite suprasti, kad funkcijos grafiko ekstremalūs taškai atsiranda tais momentais, kai jis nustoja būti monotoniškas.
Fizinė vedinio reikšmė
Anksčiau aprašyta aiškiai parodė, kad išvestinė iš esmės yra funkcijos kitimo greitis. Šiame patobulinime yra jo fizinė prasmė. Ekstremalūs taškai yra kritinės diagramos sritys. Juos sužinoti ir aptikti galima apskaičiavus išvestinės reikšmę, kuri pasirodo lygi nuliui.
Yra dar vienas ženklas, kuris yra pakankama ekstremumo sąlyga. Darinys tokiose linksniavimo vietose keičia savo ženklą: iš „+“į „-“maksimumo srityje ir iš „-“į „+“minimumo srityje.
Judėjimas veikiamas gravitacijos
Įsivaizduokime kitą situaciją. Vaikai, žaisdami kamuolį, mėtė jį taip, kad jis pradėjo judėti kampu į horizontą. Pradiniu momentu šio objekto greitis buvo didžiausias, tačiau veikiamas gravitacijos jis pradėjo mažėti ir su kiekviena sekunde ta pačia verte, lygia maždaug 9,8 m/s2. Tai pagreičio vertė, atsirandanti veikiant žemės traukai laisvojo kritimo metu. Mėnulyje jis būtų maždaug šešis kartus mažesnis.
Kūno judėjimą apibūdinantis grafikas yra parabolė su šakomis,žemyn. Kaip rasti ekstremalių taškų? Šiuo atveju tai yra funkcijos viršūnė, kurioje kūno (rutulio) greitis įgyja nulinę reikšmę. Funkcijos išvestinė tampa lygi nuliu. Tokiu atveju kryptis, taigi ir greičio reikšmė, pasikeičia į priešingą. Kūnas vis greičiau ir greičiau lekia žemyn su kiekviena sekunde, o įsibėgėja tiek pat - 9,8 m/s2.
Antra išvestinė priemonė
Ankstesniu atveju greičio modulio grafikas nubraižytas kaip tiesi linija. Ši linija pirmiausia nukreipta žemyn, nes šio dydžio vertė nuolat mažėja. Pasiekus nulį vienu iš laiko momentų, šios reikšmės rodikliai pradeda didėti, o greičio modulio grafinio atvaizdavimo kryptis labai pasikeičia. Linija dabar nukreipta į viršų.
Greitis, kaip koordinatės laiko išvestinė, taip pat turi kritinį tašką. Šiame regione funkcija, iš pradžių mažėjanti, pradeda didėti. Tai funkcijos išvestinės ekstremumo taško vieta. Tokiu atveju liestinės nuolydis tampa lygus nuliui. O pagreitis, būdamas antrasis koordinatės išvestinis laiko atžvilgiu, keičia ženklą iš „-“į „+“. Ir judėjimas iš vienodai lėto tampa tolygiai pagreitintas.
Pagreičio diagrama
Dabar apsvarstykite keturias nuotraukas. Kiekvienas iš jų rodo tokio fizinio dydžio, kaip pagreitis, pokyčio grafiką. „A“atveju jo reikšmė išlieka teigiama ir pastovi. Tai reiškia, kad kūno greitis, kaip ir jo koordinatė, nuolat didėja. Jeiguįsivaizduokite, kad objektas taip judės be galo ilgai, funkcija, atspindinti koordinatės priklausomybę nuo laiko, pasirodys nuolat didėjanti. Iš to išplaukia, kad ji neturi kritinių regionų. Išvestinės grafike taip pat nėra ekstremalių taškų, tai yra tiesiškai besikeičiančio greičio.
Tas pats pasakytina ir apie „B“atvejį su teigiamu ir nuolat didėjančiu pagreičiu. Tiesa, koordinačių ir greičio grafikai čia bus šiek tiek sudėtingesni.
Kai pagreitis linkęs iki nulio
Peržiūrėdami paveikslėlį „B“, galite pamatyti visiškai kitokį vaizdą, apibūdinantį kūno judėjimą. Jo greitis bus grafiškai pavaizduotas kaip parabolė su šakomis, nukreiptomis žemyn. Jei tęsime eilutę, apibūdinančią pagreičio pokytį, kol jis susikirs su OX ašimi, ir toliau, tada galime įsivaizduoti, kad iki šios kritinės reikšmės, kur pagreitis pasirodo lygus nuliui, objekto greitis padidės. vis lėčiau. Koordinačių funkcijos išvestinės ekstremalus taškas bus kaip tik parabolės viršuje, po kurio kūnas radikaliai pakeis judesio pobūdį ir pradės judėti kita kryptimi.
Pastaruoju atveju „G“judesio pobūdžio negalima tiksliai nustatyti. Čia žinome tik tai, kad tam tikrą nagrinėjamą laikotarpį nėra pagreičio. Tai reiškia, kad objektas gali likti vietoje arba judėjimas vyksta pastoviu greičiu.
Koordinatės pridėjimo užduotis
Pereikime prie užduočių, kurios dažnai sutinkamos studijuojant algebrą mokykloje ir siūlomospasiruošimas egzaminui. Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas funkcijos grafikas. Būtina apskaičiuoti ekstremalių taškų sumą.
Padarykime tai y ašiai, nustatydami kritinių sričių, kuriose pastebimas funkcijos charakteristikų pokytis, koordinates. Paprasčiau tariant, mes randame vingio taškų reikšmes išilgai x ašies ir tada pridedame gautus terminus. Pagal grafiką akivaizdu, kad jie turi tokias reikšmes: -8; -7; -5; -3; -2; vienas; 3. Pridedama iki -21, tai yra atsakymas.
Optimalus sprendimas
Nebūtina aiškinti, kiek svarbus gali būti optimalaus sprendimo pasirinkimas atliekant praktines užduotis. Juk yra daug būdų pasiekti tikslą, o geriausia išeitis, kaip taisyklė, yra tik viena. Tai labai būtina, pavyzdžiui, projektuojant laivus, erdvėlaivius ir orlaivius, architektūrines struktūras, kad būtų galima rasti optimalią šių žmogaus sukurtų objektų formą.
Transporto priemonių greitis labai priklauso nuo kompetentingo pasipriešinimo, kurį jos patiria važiuojant vandeniu ir oru, sumažinimo, nuo perkrovų, atsirandančių veikiant gravitacinėms jėgoms ir daugeliui kitų rodiklių. Laivui jūroje reikia tokių savybių kaip stabilumas audros metu, upės laivui svarbi minimali grimzlė. Skaičiuojant optimalų dizainą, ekstremalūs grafiko taškai gali vizualiai pateikti idėją apie geriausią sudėtingos problemos sprendimą. Tokio pobūdžio užduotys dažnai būnasprendžiami ekonomikoje, ekonomikos srityse, daugelyje kitų gyvenimo situacijų.
Iš senovės istorijos
Ekstremalios problemos kamavo net senovės išminčius. Graikų mokslininkai matematiniais skaičiavimais sėkmingai išaiškino plotų ir tūrių paslaptį. Jie pirmieji suprato, kad įvairių figūrų plokštumoje, turinčioje tą patį perimetrą, apskritimas visada turi didžiausią plotą. Panašiai rutuliui suteikiamas didžiausias tūris tarp kitų erdvėje esančių objektų, kurių paviršiaus plotas yra toks pat. Tokių problemų sprendimui atsidėjo tokios garsios asmenybės kaip Archimedas, Euklidas, Aristotelis, Apolonijus. Labai gerai sekėsi surasti ekstremalių taškų Heronui, kuris, griebęsis skaičiavimų, sukonstravo išradingus įrenginius. Tai buvo automatinės mašinos, judančios garais, siurbliai ir turbinos, veikiančios tuo pačiu principu.
Kartaginos statyba
Yra legenda, kurios siužetas pagrįstas vienos iš ekstremalių problemų sprendimu. Finikiečių princesės, kuri kreipėsi pagalbos į išminčius, pademonstruoto verslo požiūrio rezultatas buvo Kartaginos statyba. Šio senovinio ir garsaus miesto sklypą Didonai (toks buvo valdovo vardas) padovanojo vienos iš Afrikos genčių vadas. Sklypo plotas iš pradžių jam neatrodė labai didelis, nes pagal sutartį jis turėjo būti uždengtas jaučio oda. Tačiau princesė įsakė savo kareiviams supjaustyti jį plonomis juostelėmis ir iš jų padaryti diržą. Jis pasirodė toks ilgas, kad apėmė svetainę,kur telpa visas miestas.
Skaičiavimo ištakos
O dabar pereikime nuo seniausių laikų į vėlesnę erą. Įdomu tai, kad XVII amžiuje Keplerį suprasti matematinės analizės pagrindus paskatino susitikimas su vyno pardavėju. Prekybininkas taip gerai išmanė savo profesiją, kad galėjo nesunkiai nustatyti gėrimo tūrį statinėje tiesiog nuleidęs į ją geležinį turniketą. Apmąstydamas tokį kuriozą, žinomas mokslininkas sugebėjo išspręsti šią dilemą. Pasirodo, įgudę tų laikų kuprininkai įprato indus gaminti taip, kad tam tikrame tvirtinimo žiedų perimetro aukštyje ir spinduliu jie turėtų maksimalią talpą.
Tai buvo Keplerio priežastis tolesniam apmąstymui. Bocharai priėjo optimalų sprendimą ilgų ieškojimų, klaidų ir naujų bandymų dėka, perduodant savo patirtį iš kartos į kartą. Tačiau Kepleris norėjo pagreitinti procesą ir išmokti tą patį padaryti per trumpą laiką matematiniais skaičiavimais. Visi jo pokyčiai, kuriuos perėmė kolegos, virto dabar žinomomis Fermato ir Niutono – Leibnizo teoremomis.
Maksimalaus ploto problema
Įsivaizduokime, kad turime 50 cm ilgio vielą. Kaip iš jo padaryti didžiausio ploto stačiakampį?
Priimant sprendimą, reikia vadovautis paprastų ir žinomų tiesų. Aišku, kad mūsų figūros perimetras bus 50 cm. Ji taip pat susideda iš dvigubai didesnių abiejų pusių ilgių. Tai reiškia, kad vieną iš jų pažymėjus „X“, kitą galima išreikšti kaip (25 – X).
Iš čia mes gaunameplotas lygus X (25 - X). Ši išraiška gali būti pavaizduota kaip funkcija, kuri įgyja daug reikšmių. Norint išspręsti problemą, reikia rasti jų maksimumą, o tai reiškia, kad reikia išsiaiškinti kraštutinius taškus.
Norėdami tai padaryti, randame pirmąją išvestinę ir prilyginame ją nuliui. Rezultatas yra paprasta lygtis: 25 - 2X=0.
Iš to sužinome, kad viena iš kraštinių X=12, 5.
Todėl kitas: 25 – 12, 5=12, 5.
Paaiškėjo, kad problemos sprendimas bus kvadratas, kurio kraštinė yra 12,5 cm.
Kaip rasti didžiausią greitį
Panagrinėkime dar vieną pavyzdį. Įsivaizduokite, kad yra kūnas, kurio tiesinis judėjimas apibūdinamas lygtimi S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, kur atstumas nuvažiuotas laikas išreiškiamas metrais, o laikas – sekundėmis. Būtina rasti maksimalų greitį. Kaip tai padaryti? Atsisiuntę raskite greitį, tai yra, pirmąją išvestinę.
Gavome lygtį: V=- 3t2 + 18t – 24. Dabar, norėdami išspręsti problemą, vėl turime rasti ekstremumo taškus. Tai turi būti padaryta taip pat, kaip ir ankstesnėje užduotyje. Raskite pirmąją greičio išvestinę ir prilyginkite ją nuliui.
Gaujame: - 6t + 18=0. Vadinasi, t=3 s. Tai laikas, kai kūno greitis įgauna kritinę reikšmę. Gautus duomenis pakeičiame į greičio lygtį ir gauname: V=3 m/s.
Bet kaip suprasti, kad tai yra būtent didžiausias greitis, nes kritiniais funkcijos taškais gali būti jos didžiausios arba minimalios reikšmės? Norėdami patikrinti, turite rasti antrągreičio išvestinė. Jis išreiškiamas skaičiumi 6 su minuso ženklu. Tai reiškia, kad rastas taškas yra didžiausias. O antrosios išvestinės teigiamos reikšmės atveju būtų minimumas. Taigi, rastas sprendimas pasirodė teisingas.
Kaip pavyzdys pateiktos užduotys yra tik dalis tų, kurios gali būti išspręstos, kai galima rasti funkcijos kraštutinius taškus. Tiesą sakant, jų yra daug daugiau. Ir tokios žinios žmogaus civilizacijai atveria neribotas galimybes.
