Dažnai gyvenime susiduriame su būtinybe įvertinti įvykio tikimybę. Ar verta pirkti loterijos bilietą ar ne, kokia bus trečio vaiko lytis šeimoje, ar rytoj bus giedras oras, ar vėl lietus – tokių pavyzdžių begalė. Paprasčiausiu atveju turėtumėte padalyti palankių rezultatų skaičių iš bendro įvykių skaičiaus. Jei loterijoje yra 10 laimėtų bilietų, o iš viso yra 50, tada tikimybė gauti prizą yra 10/50=0,2, tai yra 20 prieš 100. O kas, jei įvykiai yra keli ir jie yra glaudžiai susiję susijęs? Šiuo atveju mus domina nebe paprasta, o sąlyginė tikimybė. Kas yra ši vertė ir kaip ją galima apskaičiuoti – tai bus aptarta mūsų straipsnyje.
Koncepcija
Sąlyginė tikimybė yra konkretaus įvykio tikimybė, atsižvelgiant į tai, kad jau įvyko kitas susijęs įvykis. Apsvarstykite paprastą pavyzdį sumetant monetą. Jei lygiosios dar nebuvo, tada tikimybė gauti galvas ar uodegas bus tokia pati. Bet jei penkis kartus iš eilės moneta gulėtų su herbu į viršų, tai sutikite, kad 6, 7 ir juo labiau 10 kartosis toks rezultatas būtų nelogiškas. Su kiekviena pasikartojančia antrašte tikimybė, kad uodegos pasirodys, didėja ir anksčiau ar vėliau ji iškris.
Sąlyginės tikimybės formulė
Dabar išsiaiškinkime, kaip ši vertė apskaičiuojama. Pirmąjį įvykį pažymėkime kaip B, o antrąjį kaip A. Jei B tikimybė skiriasi nuo nulio, galios ši lygybė:
P (A|B)=P (AB) / P (B), kur:
- P (A|B) – sąlyginė rezultato A tikimybė;
- P (AB) – A ir B įvykių bendro pasireiškimo tikimybė;
- P (B) – įvykio B tikimybė.
Šiek tiek pakeitus šį santykį, gauname P (AB)=P (A|B)P (B). Ir jei taikysime indukcijos metodą, tada galime išvesti produkto formulę ir naudoti ją atsitiktiniam įvykių skaičiui:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
Praktika
Kad būtų lengviau suprasti, kaip apskaičiuojama sąlyginė įvykio tikimybė, pažvelkime į keletą pavyzdžių. Tarkime, kad yra vaza, kurioje yra 8 šokoladai ir 7 mėtos. Jie yra vienodo dydžio ir atsitiktiniai.du iš jų ištraukiami iš eilės. Kokia tikimybė, kad jie abu bus šokoladiniai? Pristatykime žymėjimą. Tegul rezultatas A reiškia, kad pirmasis saldainis yra šokoladas, o rezultatas B yra antrasis šokoladinis saldainis. Tada gausite:
P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
Panagrinėkime dar vieną atvejį. Tarkime, kad yra dviejų vaikų šeima ir žinome, kad bent vienas vaikas yra mergaitė.
Kokia sąlyginė tikimybė, kad šie tėvai dar neturi berniukų? Kaip ir ankstesniu atveju, pradedame nuo žymėjimo. Tegul P(B) yra tikimybė, kad šeimoje yra bent viena mergaitė, P(A|B) yra tikimybė, kad antrasis vaikas taip pat yra mergaitė, P(AB) yra tikimybė, kad šeimoje yra dvi mergaitės. šeima. Dabar atlikime skaičiavimus. Iš viso gali būti 4 skirtingi vaikų lyties deriniai, ir šiuo atveju tik vienu atveju (kai šeimoje yra du berniukai) tarp vaikų nebus merginos. Todėl tikimybė P (B)=3/4, o P (AB)=1/4. Tada pagal formulę gauname:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
Rezultatą galima interpretuoti taip: jei nežinotume vieno iš vaikų lyties, tada dviejų mergaičių tikimybė būtų 25 prieš 100. Tačiau kadangi žinome, kad vienas vaikas yra mergaitė, tikimybė, kad berniukų šeimoje nėra, padidėja iki trečdalio.
