Kvadratinės lygtys dažnai pateikiamos daugelyje matematikos ir fizikos uždavinių, todėl kiekvienas mokinys turėtų mokėti jas išspręsti. Šiame straipsnyje išsamiai aprašomi pagrindiniai kvadratinių lygčių sprendimo būdai, taip pat pateikiami jų naudojimo pavyzdžiai.
Kokia lygtis vadinama kvadratine
Pirmiausia atsakysime į šios pastraipos klausimą, kad geriau suprastume, apie ką bus straipsnis. Taigi, kvadratinė lygtis turi tokią bendrą formą: c + bx+ax2=0, kur a, b, c yra kai kurie skaičiai, vadinami koeficientais. Čia a≠0 yra privaloma sąlyga, kitaip nurodyta lygtis išsigimsta į tiesinę. Likę koeficientai (b, c) gali turėti absoliučiai bet kokias reikšmes, įskaitant nulį. Taigi tokios išraiškos kaip ax2=0, kur b=0 ir c=0, arba c+ax2=0, kur b=0 arba bx+ax2=0, kur c=0 taip pat yra kvadratinės lygtys, kurios vadinamos nepilnomis, nes arba tiesinis koeficientas b jose yra nulis arba nulisyra laisvas terminas c arba jie abu išnyksta.
Lygtis, kurioje a=1 vadinama redukuota, tai yra, jos forma: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Kvadratinės lygties sprendimas yra rasti tokias x reikšmes, kurios tenkina jos lygybę. Šios vertės vadinamos šaknimis. Kadangi nagrinėjama lygtis yra antrojo laipsnio išraiška, tai reiškia, kad didžiausias jos šaknų skaičius negali viršyti dviejų.
Kokie kvadratinių lygčių sprendimo būdai egzistuoja
Apskritai yra 4 sprendimo būdai. Jų vardai išvardyti žemiau:
- Faktoringas.
- Aikštės papildymas.
- Naudojant žinomą formulę (per diskriminantą).
- Sprendimo metodas yra geometrinis.
Kaip matote iš aukščiau pateikto sąrašo, pirmieji trys metodai yra algebriniai, todėl jie naudojami dažniau nei paskutinis, kuris apima funkcijos braižymą.
Yra ir kitas būdas kvadratines lygtis išspręsti naudojant Vieta teoremą. Jis gali būti įtrauktas į 5 vietą aukščiau esančiame sąraše, tačiau tai nedaroma, nes Vietos teorema yra paprasta 3-ojo metodo pasekmė.
Vėliau straipsnyje plačiau apžvelgsime įvardintus sprendimo būdus, taip pat pateiksime jų panaudojimo pavyzdžių, ieškant konkrečių lygčių šaknų.
1 metodas. Faktoringas
Šiam kvadratinių lygčių matematikos metodui yra gražuspavadinimas: faktorizacija. Šio metodo esmė tokia: kvadratinę lygtį reikia pateikti kaip dviejų dėmenų (reiškinių), kurie turi būti lygūs nuliui, sandaugą. Po tokio pavaizdavimo galite naudoti produkto savybę, kuri bus lygi nuliui tik tada, kai vienas ar keli (visi) jos nariai bus lygūs nuliui.
Dabar apsvarstykite konkrečių veiksmų, kuriuos reikia atlikti, kad surastumėte lygties šaknis, seką:
- Perkelkite visus narius į vieną išraiškos dalį (pavyzdžiui, į kairę), kad kitoje dalyje (dešinėje) liktų tik 0.
- Pateikite vienos lygties dalies terminų sumą kaip dviejų tiesinių lygčių sandaugą.
- Kiekvieną tiesinę išraišką nustatykite į nulį ir jas išspręskite.
Kaip matote, faktorizavimo algoritmas yra gana paprastas, tačiau daugumai studentų kyla sunkumų įgyvendinant 2-ąjį punktą, todėl mes tai paaiškinsime plačiau.
Norėdami atspėti, kurios 2 tiesinės išraiškos, padaugintos viena iš kitos, duos norimą kvadratinę lygtį, turite atsiminti dvi paprastas taisykles:
- Dviejų tiesinių išraiškų tiesiniai koeficientai, padauginti vienas iš kito, turėtų duoti pirmąjį kvadratinės lygties koeficientą, ty skaičių a.
- Laisvieji tiesinių išraiškų terminai, padauginti, turėtų duoti norimos lygties skaičių c.
Pasirinkę visus faktorių skaičius, juos reikia padauginti ir, jei jie pateikia norimą lygtį, pereikite prie 3 veiksmoaukščiau pateiktą algoritmą, kitu atveju turėtumėte pakeisti daugiklius, bet tai turite padaryti, kad visada būtų laikomasi aukščiau nurodytų taisyklių.
Sprendimo pagal faktorių nustatymo metodą pavyzdys
Aiškiai parodykime, kaip kvadratinės lygties sprendimo algoritmas yra sudaryti ir rasti nežinomas šaknis. Tegu pateikiama savavališka išraiška, pavyzdžiui, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Pereikime prie jo sprendimo, stebėdami taškų seką nuo 1 iki 3, kurie išdėstyti ankstesnėje straipsnio pastraipoje.
1 punktas. Perkelkite visus terminus į kairę pusę ir išdėstykite juos klasikine kvadratinės lygties seka. Turime tokią lygybę: 2x+(-8)+x2=0.
2 punktas. Suskaidome jį į tiesinių lygčių sandaugą. Kadangi a=1, o c=-8, tuomet parinksime, pavyzdžiui, tokį produktą (x-2)(x+4). Jis atitinka pirmiau pateiktoje pastraipoje nurodytas tikėtinų veiksnių nustatymo taisykles. Jei atidarome skliaustus, gauname: -8+2x+x2, tai yra, gauname lygiai tokią pačią išraišką kaip ir kairėje lygties pusėje. Tai reiškia, kad teisingai atspėjome daugiklius ir galime pereiti prie 3 algoritmo žingsnio.
3 punktas. Kiekvieną koeficientą prilyginkite nuliui, gausime: x=-4 ir x=2.
Jei kyla abejonių dėl rezultato, rekomenduojama patikrinti rastąsias šaknis pakeisdami į pradinę lygtį. Šiuo atveju turime: 22+22-8=0 ir 2(-4)+(-4)2 -8=0. Šaknys rastos teisingai.
Taigi, taikydami faktorizavimo metodą, nustatėme, kad pateiktoje lygtyje yra dvi skirtingos šaknysturi: 2 ir -4.
2 metodas. Papildyti visą kvadratą
Kvadratinių lygčių algebroje ne visada galima naudoti daugiklio metodą, nes kvadratinės lygties koeficientų trupmeninių verčių atveju kyla sunkumų įgyvendinant algoritmo 2 dalį.
Viso kvadrato metodas savo ruožtu yra universalus ir gali būti taikomas bet kokio tipo kvadratinėms lygtims. Jo esmė yra atlikti šias operacijas:
- Lygties, kurioje yra koeficientai a ir b, nariai turi būti perkelti į vieną lygties dalį, o laisvasis narys c – į kitą.
- Toliau lygybės dalis (dešinę ir kairę) reikia padalyti iš koeficiento a, tai yra pateikti lygtį sumažinta forma (a=1).
- Susumuokite terminus su koeficientais a ir b, kad pateiktumėte tiesinės lygties kvadratą. Kadangi a \u003d 1, tada tiesinis koeficientas bus lygus 1, kaip ir laisvajam tiesinės lygties terminui, tada jis turėtų būti lygus pusei sumažintos kvadratinės lygties tiesinio koeficiento. Nubrėžus tiesinės išraiškos kvadratą, dešinėje lygybės pusėje, kurioje yra laisvasis narys, reikia pridėti atitinkamą skaičių, kuris gaunamas išplečiant kvadratą.
- Paimkite kvadratinę šaknį su „+“ir „-“ženklais ir išspręskite jau gautą tiesinę lygtį.
Aprašytas algoritmas iš pirmo žvilgsnio gali būti suvokiamas kaip gana sudėtingas, tačiau praktiškai jį įgyvendinti lengviau nei faktorizavimo metodą.
Sprendimo, kuriame naudojamas viso kvadrato papildinys, pavyzdys
Pateiksime kvadratinės lygties pavyzdį, kaip išmokyti jos sprendimą ankstesnėje pastraipoje aprašytu metodu. Tegul kvadratinė lygtis -10 - 6x+5x2=0. Pradedame ją spręsti pagal aukščiau aprašytą algoritmą.
1 punktas. Spręsdami kvadratines lygtis naudojame perkėlimo metodą, gauname: - 6x+5x2=10.
Taškas 2. Šios lygties redukuota forma gaunama padalijus iš kiekvieno jos nario skaičiaus 5 (jei abi dalys padalytos arba padaugintos iš to paties skaičiaus, tada lygybė išliks). Dėl transformacijų gauname: x2 - 6/5x=2.
3 punktas. Pusė koeficiento - 6/5 yra -6/10=-3/5, naudokite šį skaičių kvadratui užbaigti, gausime: (-3/5+x) 2 . Ją išplečiame ir gautą laisvąjį terminą reikia atimti iš kairės lygybės, kad būtų patenkinta pradinė kvadratinės lygties forma, kuri yra lygiavertė jos pridėjimui į dešinę. Dėl to gauname: (-3/5+x)2=59/25.
4 punktas. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį su teigiamais ir neigiamais ženklais ir raskite šaknis: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Dviejų rastų šaknų reikšmės yra tokios: x1=(√59+3)/5 ir x1=(3-√59)/5.
Kadangi atlikti skaičiavimai yra susiję su šaknimis, didelė tikimybė suklysti. Todėl rekomenduojama patikrinti šaknų x2 ir x1 teisingumą. Gauname už x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 – 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Pakeiskite dabarx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 – 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Taigi, mes parodėme, kad rastos lygties šaknys yra teisingos.
3 metodas. Gerai žinomos formulės taikymas
Šis kvadratinių lygčių sprendimo būdas yra bene paprasčiausias, nes jį sudaro koeficientų pakeitimas žinoma formule. Norint juo naudotis, nereikia galvoti apie sprendimo algoritmų sudarymą, pakanka prisiminti tik vieną formulę. Tai parodyta aukščiau esančiame paveikslėlyje.
Šioje formulėje radikali išraiška (b2-4ac) vadinama diskriminantu (D). Nuo jo vertės priklauso nuo to, kokios šaknys yra gautos. Yra 3 atvejai:
- D>0, tada dviejų šaknų lygtis turi realią ir skirtingas.
- D=0, tada gaunama šaknis, kurią galima apskaičiuoti pagal išraišką x=-b/(a2).
- D<0, tada gausite dvi skirtingas įsivaizduojamas šaknis, kurios vaizduojamos kaip kompleksiniai skaičiai. Pavyzdžiui, skaičius 3-5i yra sudėtingas, o įsivaizduojamas vienetas i atitinka savybę: i2=-1.
Sprendimo, apskaičiuojant diskriminantą, pavyzdys
Pateikime kvadratinės lygties pavyzdį, kurį galima pritaikyti naudojant aukščiau pateiktą formulę. Raskite -3x2-6+3x+4x=0 šaknis. Pirmiausia apskaičiuokite diskriminanto reikšmę, gausime: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Kadangi yra gautas D<0, tai reiškia, kad nagrinėjamos lygties šaknys yra kompleksiniai skaičiai. Raskime juos pakeisdami rastą reikšmę D į formulę, pateiktą ankstesnėje pastraipoje (ji taip pat parodyta aukščiau esančioje nuotraukoje). Gauname: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
4 metodas. Funkcijų grafiko naudojimas
Jis taip pat vadinamas grafiniu kvadratinių lygčių sprendimo metodu. Reikia pasakyti, kad paprastai jis naudojamas ne kiekybinei, o kokybinei nagrinėjamos lygties analizei.
Metodo esmė – nubrėžti kvadratinę funkciją y=f(x), kuri yra parabolė. Tada reikia nustatyti, kuriuose taškuose parabolė kerta x ašį (X), jie bus atitinkamos lygties šaknys.
Norint nustatyti, ar parabolė susikirs su X ašimi, pakanka žinoti jos minimumo (maksimalio) padėtį ir šakų kryptį (jos gali didėti arba mažėti). Reikia atsiminti dvi šios kreivės savybes:
- Jei a>0 - šakos parabolės nukreiptos į viršų, priešingai, jei a<0, tada jos nusileidžia.
- Mažiausia (maksimali) parabolės koordinatė visada yra x=-b/(2a).
Pavyzdžiui, reikia nustatyti, ar lygtis -4x+5x2+10=0 turi šaknis. Atitinkama parabolė bus nukreipta aukštyn, nes=5>0. Jo ekstremumas turi koordinates: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Nuo kreivės minimumas yra virš x ašies (y=9, 2), tada ji nesikerta su pastarąjax reikšmės. Tai reiškia, kad pateikta lygtis neturi realių šaknų.
Vietos teorema
Kaip pažymėta aukščiau, ši teorema yra metodo Nr. 3, kuris grindžiamas formulės su diskriminantu taikymu, pasekmė. Vietos teoremos esmė yra ta, kad ji leidžia sujungti lygties koeficientus ir jos šaknis į lygybę. Gaukime atitinkamas lygybes.
Naudokime formulę šaknims apskaičiuoti per diskriminantą. Pridėkite dvi šaknis, gausime: x1+x2=-b/a. Dabar padauginkime šaknis vieną iš kitos: x1x2, atlikę daugybę supaprastinimų gauname skaičių c/a.
Taigi, norėdami išspręsti kvadratines lygtis pagal Vietos teoremą, galite naudoti gautas dvi lygybes. Jei žinomi visi trys lygties koeficientai, tada šaknis galima rasti išsprendus atitinkamą šių dviejų lygčių sistemą.
Vietos teoremos naudojimo pavyzdys
Turite parašyti kvadratinę lygtį, jei žinote, kad jos forma yra x2+c=-bx, o jos šaknys yra 3 ir -4.
Kadangi nagrinėjamoje lygtyje a=1, Vieta formulės atrodys taip: x2+x1=-b ir x2x1=p. Pakeitę žinomas šaknų reikšmes, gauname: b=1 ir c=-12. Dėl to atkurta kvadratinė sumažinta lygtis atrodys taip: x2-12=-1x. Galite pakeisti šaknų reikšmę ir įsitikinti, kad galioja lygybė.
Atvirkštinis Vieta teoremos taikymas, ty šaknų apskaičiavimas pagalžinoma lygties forma, leidžia mažiems sveikiesiems skaičiams a, b ir c greitai (intuityviai) rasti sprendimus.
