Integralo sąvokos atsiradimą lėmė poreikis pagal jo išvestinę rasti antidarinę funkciją, taip pat nustatyti darbo kiekį, sudėtingų figūrų plotą, nuvažiuotą atstumą, su parametrai, apibrėžti kreivėmis, aprašytomis netiesinėmis formulėmis.
Iš kurso
ir fizika žino, kad darbas yra lygus jėgos ir atstumo sandaugai. Jei visas judėjimas vyksta pastoviu greičiu arba atstumas įveikiamas naudojant tą pačią jėgą, tada viskas aišku, tereikia juos padauginti. Kas yra konstantos integralas? Tai yra y=kx+c formos tiesinė funkcija.
Bet jėga darbo metu gali keistis ir dėl tam tikros natūralios priklausomybės. Ta pati situacija susidaro skaičiuojant nuvažiuotą atstumą, jei greitis nėra pastovus.
Taigi, aišku, kam skirtas integralas. Jo apibrėžimas kaip funkcijos reikšmių sandaugų suma be galo mažu argumento prieaugiu visiškai apibūdina pagrindinę šios sąvokos reikšmę kaip figūros plotą, kurį iš viršaus riboja funkcijos linija, ir briaunos pagal apibrėžimo ribas.
Žanas Gastonas Darboux, prancūzų matematikas, XIX a. antroje pusėjeamžiuje labai aiškiai paaiškino, kas yra integralas. Jis taip aiškiai pasakė, kad apskritai net vidurinės mokyklos mokiniui nebūtų sunku suprasti šią problemą.
Tarkime, yra bet kokios sudėtingos formos funkcija. Y ašis, ant kurios brėžiamos argumento reikšmės, yra padalinta į mažus intervalus, idealiu atveju jie yra be galo maži, bet kadangi begalybės sąvoka yra gana abstrakti, pakanka įsivaizduoti tik mažus segmentus, reikšmė iš kurių paprastai žymima graikiška raide Δ (delta).
Paaiškėjo, kad funkcija „supjaustyta“į mažas plyteles.
Kiekviena argumento reikšmė atitinka y ašies tašką, kuriame brėžiamos atitinkamos funkcijos reikšmės. Tačiau kadangi pasirinkta sritis turi dvi ribas, taip pat bus dvi funkcijos reikšmės, daugiau ir mažiau.
Didesnių verčių sandaugų suma prieaugyje Δ vadinama didele Darboux suma ir žymima S. Atitinkamai mažesnės vertės ribotame plote, padaugintos iš Δ, visos kartu sudaryti nedidelę Darboux sumą s. Pati atkarpa primena stačiakampę trapeciją, nes galima nepaisyti funkcijos linijos kreivumo su be galo mažu jos prieaugiu. Lengviausias būdas rasti tokios geometrinės figūros plotą – sudėti didesnės ir mažesnės funkcijos vertės sandaugas iš Δ prieaugio ir padalyti iš dviejų, tai yra nustatyti kaip aritmetinį vidurkį.
Štai koks yra Darboux integralas:
s=Σf(x) Δ yra maža suma;
S=Σf(x+Δ)Δ yra didelė suma.
Taigi, kas yra integralas? Plotas, kurį riboja funkcijos eilutė ir apibrėžimo ribos, bus:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Tai yra, didelių ir mažų Darboux sumų.c aritmetinis vidurkis yra pastovi reikšmė, kuri diferenciacijos metu nustatoma į nulį.
Remiantis šios sąvokos geometrine išraiška, aiškėja fizinė integralo prasmė. Figūros plotas, nubrėžtas greičio funkcija ir apribotas laiko intervalu išilgai abscisių ašies, bus nuvažiuoto kelio ilgis.
L=∫f(x)dx intervale nuo t1 iki t2, Kur
f(x) – greičio funkcija, tai yra formulė, pagal kurią jis keičiasi laikui bėgant;
L – kelio ilgis;
t1 – pradžios laikas;
t2 – kelionės pabaigos laikas.
Lygiai pagal tą patį principą nustatomas darbo kiekis, tik atstumas bus brėžiamas išilgai abscisių, o jėgos, veikiančios kiekviename konkrečiame taške, dydis bus brėžiamas išilgai ordinačių.
