Prizmė yra daugiakampis arba daugiakampis, kuris tiriamas kietosios geometrijos mokykloje. Viena iš svarbių šio daugiakampio savybių yra jo tūris. Straipsnyje apsvarstykime, kaip galima apskaičiuoti šią vertę, taip pat pateikite prizmių tūrio formules - taisyklingos keturkampės ir šešiakampės.
Prizmė stereometrijoje
Ši figūra suprantama kaip daugiakampis, susidedantis iš dviejų identiškų daugiakampių, esančių lygiagrečiose plokštumose, ir iš kelių lygiagretainių. Tam tikrų tipų prizmių lygiagrečiai gali būti stačiakampiai keturkampiai arba kvadratai. Toliau pateikiamas vadinamosios penkiakampės prizmės pavyzdys.
Norėdami sukurti figūrą, kaip parodyta aukščiau esančiame paveikslėlyje, turite paimti penkiakampį ir jį lygiagrečiai perkelti į tam tikrą atstumą erdvėje. Sujungę dviejų penkiakampių kraštines lygiagrečiais, gauname norimą prizmę.
Kiekvieną prizmę sudaro paviršiai, viršūnės ir briaunos. Prizmės viršūnėsskirtingai nuo piramidės, yra vienodos, kiekviena iš jų nurodo vieną iš dviejų bazių. Priedai ir kraštai yra dviejų tipų: tie, kurie priklauso pagrindams, ir tie, kurie priklauso šonams.
Prizmų yra kelių tipų (taisyklingos, įstrižos, išgaubtos, tiesios, įgaubtos). Toliau straipsnyje panagrinėkime, kokia formule apskaičiuojamas prizmės tūris, atsižvelgiant į figūros formą.
Bendroji prizmės tūrio nustatymo išraiška
Nepriklausomai nuo to, kokiam tipui priklauso tiriama figūra, ar ji tiesi ar įstriža, taisyklinga ar netaisyklinga, yra universali išraiška, leidžianti nustatyti jos tūrį. Erdvinės figūros tūris yra erdvės plotas, uždarytas tarp jos veidų. Bendra prizmės tūrio formulė yra:
V=So × h.
Čia So reiškia pagrindo plotą. Reikėtų atsiminti, kad mes kalbame apie vieną pagrindą, o ne apie du. H reikšmė yra aukštis. Tiriamos figūros aukštis suprantamas kaip atstumas tarp identiškų jos pagrindų. Jei šis atstumas sutampa su šoninių briaunų ilgiais, tada kalbama apie tiesią prizmę. Tiesioje figūroje visos kraštinės yra stačiakampiai.
Taigi, jei prizmė yra įstriža ir turi netaisyklingą pagrindo daugiakampį, tada jos tūrio skaičiavimas tampa sudėtingesnis. Jei figūra yra tiesi, tada tūrio skaičiavimas sumažinamas tik iki pagrindo ploto So.
Įprastos figūros tūrio nustatymas
Taisyklinga yra bet kuri prizmė, kuri yra tiesi ir turi daugiakampį pagrindą, kurio kraštinės ir kampai yra lygūs vienas kitam. Pavyzdžiui, tokie taisyklingi daugiakampiai yra kvadratas ir lygiakraštis trikampis. Tuo pačiu metu rombas nėra taisyklinga figūra, nes ne visi jo kampai yra vienodi.
Taisyklingosios prizmės tūrio formulė vienareikšmiškai išplaukia iš bendros V išraiškos, kuri buvo parašyta ankstesnėje straipsnio pastraipoje. Prieš rašant atitinkamą formulę, būtina nustatyti teisingo pagrindo plotą. Nesileidžiant į matematines detales, pateikiame nurodyto ploto nustatymo formulę. Jis yra universalus bet kokiam įprastam n-gon ir turi tokią formą:
S=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Kaip matote iš išraiškos, sritis Sn yra dviejų parametrų funkcija. Sveikasis skaičius n gali turėti reikšmes nuo 3 iki begalybės. Reikšmė a yra n kampo kraštinės ilgis.
Norint apskaičiuoti figūros tūrį, tereikia plotą S padauginti iš aukščio h arba iš šoninės briaunos ilgio b (h=b). Dėl to gauname tokią darbo formulę:
V=n / 4 × ctg (pi / n) × a2 × h.
Atkreipkite dėmesį, kad norint nustatyti savavališko tipo prizmės tūrį, reikia žinoti kelis dydžius (pagrindo kraštinių ilgius, aukštį, figūros dvikampius kampus), tačiau norint apskaičiuoti vertę V Taisyklinga prizmė, turime žinoti tik du tiesinius parametrus, pavyzdžiui, a ir h.
Keturkampės taisyklingosios prizmės tūris
Keturkampė prizmė vadinama gretasieniu. Jei visi jo veidai yra lygūs ir yra kvadratai, tada tokia figūra bus kubas. Kiekvienas mokinys žino, kad stačiakampio gretasienio ar kubo tūris nustatomas padauginus tris skirtingas jo puses (ilgį, aukštį ir plotį). Šis faktas išplaukia iš rašytinės bendrosios įprastos figūros tūrio išraiškos:
V=n/4 × ctg (pi / n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi / 4) × a2× h=a2 × h.
Čia 45° kotangentas yra lygus 1. Atkreipkite dėmesį, kad aukščio h lygybė ir pagrindo a kraštinės ilgis automatiškai veda į kubo tūrio formulę.
Šešiakampės taisyklingosios prizmės tūris
Dabar pritaikykite aukščiau pateiktą teoriją, kad nustatytumėte šešiakampio pagrindo figūros tūrį. Norėdami tai padaryti, tereikia pakeisti reikšmę n=6 formulėje:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
Rašytinė išraiška gali būti gaunama savarankiškai, nenaudojant universalios formulės S. Norėdami tai padaryti, įprastą šešiakampį turite padalyti į šešis lygiakraščius trikampius. Kiekvieno iš jų kraštinė bus lygi a. Vieno trikampio plotas atitinka:
S3=√3/4 × a2.
Padauginus šią reikšmę iš trikampių skaičiaus (6) ir aukščio, gauname aukščiau pateiktą tūrio formulę.
