Šteinerio teorema arba lygiagrečių ašių teorema inercijos momentui apskaičiuoti

2024 Autorius: Angel Austin | [email protected]. Paskutinį kartą keistas: 2023-12-17 05:34

Matematiniame sukamojo judėjimo aprašyme svarbu žinoti sistemos inercijos momentą apie ašį. Paprastai šio kiekio nustatymo procedūra apima integravimo proceso įgyvendinimą. Vadinamoji Steinerio teorema palengvina skaičiavimą. Apsvarstykime tai išsamiau straipsnyje.

Kas yra inercijos momentas?

Prieš pateikiant Šteinerio teoremos formuluotę, būtina išnagrinėti pačią inercijos momento sampratą. Tarkime, kad yra tam tikros masės ir savavališkos formos kūnas. Šis kūnas gali būti materialus taškas arba bet koks dvimatis ar trimatis objektas (stypas, cilindras, rutulys ir kt.). Jei aptariamas objektas sukamuoju judesiu aplink kokią nors ašį su pastoviu kampiniu pagreičiu α, tada galima parašyti tokią lygtį:

M=Iα

Čia reikšmė M reiškia bendrą jėgų momentą, kuris suteikia pagreitį α visai sistemai. Proporcingumo koeficientas tarp jų – I, vadinamasinercijos momentas. Šis fizinis dydis apskaičiuojamas pagal šią bendrą formulę:

I=∫_m (r²dm)

Čia r yra atstumas tarp elemento, kurio masė dm, ir sukimosi ašies. Ši išraiška reiškia, kad reikia rasti atstumų kvadratu r² ir elementariosios masės dm sandaugų sumą. Tai reiškia, kad inercijos momentas nėra gryna kūno savybė, skirianti jį nuo tiesinės inercijos. Tai priklauso nuo masės pasiskirstymo visame besisukančiame objekte, taip pat nuo atstumo iki ašies ir nuo kūno orientacijos jos atžvilgiu. Pavyzdžiui, strypas turės skirtingą I, jei jis bus pasuktas apie masės centrą ir apie galą.

Inercijos momentas ir Steinerio teorema

Žymusis šveicarų matematikas Jakobas Steineris įrodė teoremą apie lygiagrečias ašis ir inercijos momentą, kuris dabar vadinamas jo vardu. Ši teorema teigia, kad absoliučiai bet kurio savavališkos geometrijos standaus kūno inercijos momentas tam tikros sukimosi ašies atžvilgiu yra lygus inercijos momento apie ašį, kertančią kūno masės centrą ir lygiagrečiai pirmajai ašiai, sumai., o kūno masės sandauga padauginta iš atstumo tarp šių ašių kvadrato. Matematiškai ši formuluotė parašyta taip:

I_Z=I_O + ml²

I_Z ir I_O - inercijos momentai apie Z ašį ir jai lygiagrečią O ašį, kuri eina per kūno masės centrą, l - atstumas tarp linijų Z ir O.

Teorema leidžia, žinant I_O reikšmę, apskaičiuotibet kuriuo kitu momentu I_Z apie ašį, lygiagrečią su O.

Teoremos įrodymas

Steinerio teoremos formulę galite lengvai gauti patys. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite savavališką kūną xy plokštumoje. Tegul koordinačių pradžia eina per šio kūno masės centrą. Apskaičiuokime inercijos momentą I_O, kuris eina per pradžią statmenai xy plokštumai. Kadangi atstumas iki bet kurio kūno taško išreiškiamas formule r=√ (x² + y²), tada gauname integralą:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Dabar perkelkime ašį lygiagrečiai išilgai x ašies atstumu l, pavyzdžiui, teigiama kryptimi, tada naujos inercijos momento ašies apskaičiavimas atrodys taip:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Išskleiskite visą kvadratą skliausteliuose ir padalinkite integrandus, gausime:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x² +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Pirmasis iš šių terminų yra reikšmė I_O, trečiasis narys po integracijos suteikia terminą l²m, o čia antrasis narys yra nulis. Nurodytasis integralas nulinis dėl to, kad jis paimtas iš x ir masės elementų dm sandaugos, kurividurkis suteikia nulį, nes masės centras yra pradžioje. Dėl to gaunama Steinerio teoremos formulė.

Apsvarstytas atvejis plokštumoje gali būti apibendrintas į trimatį kūną.

Steinerio formulės tikrinimas strypo pavyzdyje

Pateikime paprastą pavyzdį, kad parodytume, kaip naudoti aukščiau pateiktą teoremą.

Žinoma, kad strypo, kurio ilgis L ir masė m, inercijos momentas I_O (ašis eina per masės centrą) yra lygus m L² /12, o momentas I_Z (ašis eina per strypo galą) yra lygus mL 2^{/3. Patikrinkime šiuos duomenis naudodami Steinerio teoremą. Kadangi atstumas tarp dviejų ašių yra L/2, tada gauname momentą I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Tai yra, mes patikrinome Steinerio formulę ir gavome tokią pačią I_Z reikšmę kaip ir š altinyje.

Panašius skaičiavimus galima atlikti ir kitiems korpusams (cilindrui, rutuliui, diskui), gaunant reikiamus inercijos momentus ir neatliekant integravimo.

Inercijos momentas ir statmenos ašys

Nagrinėjama teorema susijusi su lygiagrečiomis ašimis. Kad informacija būtų išsamesnė, taip pat naudinga pateikti statmenų ašių teoremą. Jis suformuluotas taip: savavališkos formos plokščiam objektui inercijos momentas aplink jam statmeną ašį bus lygus dviejų inercijos momentų sumai apie du vienas kitam statmenus ir gulinčiusobjekto ašių plokštumoje, kai visos trys ašys eina per tą patį tašką. Matematiškai tai parašyta taip:

I_z=I_x + I_y

Čia z, x, y yra trys viena kitai statmenos sukimosi ašys.

Esminis skirtumas tarp šios teoremos ir Steinerio teoremos yra tas, kad ji taikoma tik plokštiems (dvimačiams) kietiems objektams. Nepaisant to, praktikoje jis plačiai naudojamas, mintyse perpjaunant kūną į atskirus sluoksnius, o vėliau pridedant gautus inercijos momentus.